19.1矩形（第2课时 矩形的判定） 教学课件--华师大版数学八年级（下）

(共23张PPT)
第19章 矩形、菱形与正方形
19.1 矩形　
第19章 矩形、菱形与正方形
第2课时 矩形的判定
学 习 目 标
1.掌握矩形常见的两种识别方法.（重点）
2.学会利用矩形的判定进行简单的证明.（难点）
小明利用周末的时间，为自己做了一个相框，你能帮助小明检验一下他所做的相框是矩形吗？
矩形有哪些性质？
矩形的对边平行且相等．
矩形的四个角为直角．
矩形的对角线互相平分且相等．
矩形既是中心对称图形又是轴对称图形．
新课导入
平行四
边形
一个角
是直角
∟
矩形
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
□ ABCD
∠A＝90°
□ ABCD是矩形
矩形的判定方法1
知识讲解
有一个角是直角的四边形是矩形吗？
有两个角是直角的四边形是矩形吗？
有三个角是直角的四边形是矩形吗？
知识讲解
1、任意作两条互相垂直的线段AB、AD；
2、过点B作垂直于AB的直线l；
3、过点D作垂直于AD的直线m，交l于点C，即得一个三个角都是直角的四边形ABCD．
四边形ABCD是矩形吗？
知识讲解
已知：在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°．
求证：四边形ABCD是矩形．
证明：∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
又∵∠A＝90°，
∴四边形ABCD为矩形(矩形的定义)．
命题：有三个角是直角的四边形是矩形．
定理：有三个角是直角的四边形是矩形．
矩形的判定方法2
知识讲解
矩形的判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形．
几何语言：
在四边形ABCD中，
∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
知识讲解
由矩形的性质“矩形的对角线相等”我们可以猜想：
“如果一个平行四边形的两条对角线相等，那么这个平行四边形是一个矩形”．
这个猜想成立吗？
知识讲解
1、任意作两条相交的直线，交点记为O；
2、以点O为圆心，适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段OA、OB、OC、OD；
3、顺次连结所得的四点，即得一个对角线相等的平行四边形ABCD．
四边形ABCD是矩形吗？
知识讲解
已知：四边形ABCD是平行四边形，AC=BD．
求证：四边形ABCD是矩形．
命题：对角线相等的平行四边形是矩形．
证明：在□ ABCD中， AB=DC，BD=CA，AD=DA，
∴△BAD≌△CDA．
∴∠BAD=∠CDA．
∵AB∥CD，
∴∠BAD +∠CDA=180°，
∴∠BAD＝90°，
∴四边形ABCD是矩形（有一个内角是直角的平行四边形是矩形）．
定理：对角线相等的平行四边形是矩形．
矩形的判定方法3
知识讲解
矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形．
□ ABCD
AC = BD
□ ABCD是矩形
对角线互相平分且相等的四边形是矩形吗？为什么？
四边形ABCD是矩形
结论：对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
知识讲解
你能帮助小明检验一下他所做的相框是矩形吗？用什么方法？为什么？
1、测量相框的对角线是否相等来判断所做的相框是否是矩形．
因为对角线相等的平行四边形是矩形．
2、测量相框的三个内角是否是直角来判断所做的相框是否是矩形．
因为有三个角是直角的四边形是矩形．
知识讲解
例4 如图，O是矩形ABCD的对角线AC与BD的交点，E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO上的一点，且AE=BF=CG=DH．
求证：四边形EFGH是矩形．
分析：根据已知条件，我们可以先证明四边形EFGH是平行四边形，再证明对角线EG和FH相等，即可得证．
例题讲解
证明: ∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=BO=CO=DO .
∵AE=BF =CG=DH，
∴OE=OF=OG=OH，
∴四边形EFGH是平行四边形 ．
∵EO+OG=OF+OH，即EG=FH，
∴四边形EFGH是矩形 （对角线相等的平行四边形是矩形）．
例题讲解
例5 如图，四边形ABCD是由两个全等正三角形ABD和BCD组成的，M、N分别为BC、AD的中点．
求证：四边形BMDN是矩形．
分析：由已知条件，可知BN⊥AD，DM⊥BC，因此，在四边形BMDN中，已有两个角是直角，只需再证明另一个角是直角即可得到它是一个矩形．
例题讲解
证明：∵△ABD和△BCD是全等的正三角形，
∴∠ADB＝∠CDB＝60°.
又∵M、N分别为BC、AD的中点，
∴BN⊥AD，DM⊥BC，∠BDM＝30°，
∴∠DNB＝∠DMB＝90°，
∴∠MDN＝∠ADB＋∠BDM＝90°，
∴四边形BMDN是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）．
例题讲解
例6 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AG是△ABC的外角∠FAC的平分线，DE∥AB，交AG于点E．
求证：四边形ADCE是矩形．
分析：根据已知条件AB＝AC，我们可以先通过证明四边形ABDE是平行四边形，得到DE＝AB＝AC，因此可以利用“对角线相等的平行四边形是矩形”这一判定定理证明四边形ADCE是矩形．
例题讲解
证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠B＝∠ACB，BD＝DC，
又∵AE是△ABC的外角∠CAF的平分线，
∴∠1＝　∠CAF＝ （∠B＋∠ACB）＝∠B，
∴AE∥BC.
又∵AB∥DE，∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE＝BD，AB＝DE，
∴AC＝DE，AE＝DC.
又∵AE∥DC，∴四边形ADCE是平行四边形，
∴四边形ADCE是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）．
例题讲解
1．下列条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是( )
A．AB∥CD，AB＝CD，AC＝BD
B．∠A＝∠B＝∠D＝90°
C．AB＝BC，AD＝CD，且∠C＝90°
D．AB＝CD，AD＝BC，∠A＝90°
2．已知点A、B、C、D在同一平面内，有6个条件：①AB∥CD，②AB＝CD，③BC∥AD，④BC＝AD，⑤AC＝BD，⑥∠A＝90°.从这6个条件中选出(直接填写序号)____个，能使四边形ABCD是矩形．
C
当堂检测
答案不唯一，只要写出一组即可 ①②⑥，①③⑥，①②⑤，①③⑤，②④⑤，②④⑥.
3．已知：如图，AB＝AC，AE＝AF，且∠EAB＝∠FAC，EF＝BC.求证：四边形EBCF是矩形．
证明：∵AE＝AF，∠EAB＝∠FAC，AB＝AC，
∴△AEB≌△AFC.
∴EB＝FC，∠ABE＝∠ACF.
又∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.
∴∠EBC＝∠FCB.
∵EB＝FC，EF＝BC，
∴四边形EBCF是平行四边形．
∴EB∥FC，∴∠EBC＋∠FCB＝190°.
∴∠EBC＝∠FCB＝90°，∴四边形EBCF是矩形．
当堂检测
课堂小结
矩形的判定
定义法
判定1
判定2
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
有三个角是直角的四边形是矩形．
对角线相等的平行四边形是矩形．