第16章分式16.3可化为一元一次方程的分式方程（第1课时） 教学详案--华师大版数学八年级（下）

第16章 分式
16.3　可化为一元一次方程的分式方程
第1课时　分式方程的概念及其解法
教学目标 1.使学生了解分式方程的概念，会解可化为一元一次方程的分式方程. 2.让学生探索可化为一元一次方程的分式方程的解法，了解数学思维中的化归思想. 教学重难点 重点：分式方程的概念. 难点：让学生明确分式方程验根的必要性. 教学过程 复习巩固 1（1）已知分式，当＝时，分式无意义. （2）分式与的最简公分母是. 最简公分母：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，它叫最简公分母. 2.方程：含有 未知数 的 等 式叫做方程. 3.整式方程：分母不含有未知数的方程叫做整式方程. 导入新课 【问题】轮船在顺水中航行千米所需的时间和逆水航行千米所需的时间相同.已知水流的速度是千米/时，求轮船在静水中的速度. 分析：（1）顺水速度=静水速度水流速度，逆水速度＝静水速度水流速度；（2）等量关系：顺水航行千米所需的时间＝逆水航行千米所需的时间. 解：设轮船在静水中的速度为千米/时，根据题意，得 探究新知 一、探索分式方程的概念 【讨论】方程有什么特点？同以前的方程有什么区别？请你举个类似的方程. 【活动安排】教师引导学生从未知数的角度将它同整式方程类比，从而得出分式方程的概念. 【总结】分式方程的概念： 方程中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程. 【注意】分式方程与整式方程的区别在于未知数是否含在分母，分母中含有未知数的方程叫做分式方程，反之则是整式方程. 例1 下列关于的方程中，是分式方程的是(　　) A.＝　　　　　　　B.＝ C.1＝　　　　　　　D.＝ 解析：A、 B中方程的分母中不含未知数，故不是分式方程；C中方程的分母中不含表示未知数的字母，π是常数；D中方程的分母中含未知数，故是分式方程. 【答案】D 【总结】（学生总结，老师点评） 如何判断一个方程是分式方程： 判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数，注意必须是表示未知数的字母. 【练一练】 下列方程是分式方程的是（ ） . . . . 【答案】D 二、探索分式方程的解法 【小组讨论】解分式方程. 【活动安排】让学生充分发表意见，相互补充，达成共识：将分式方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解，所乘整式取方程中出现的各分式的最简公分母. 【思考】 （1）分母中的最简公分母是什么？ （2）如何把分式方程的分母去掉？ 解： 【讨论】是否应该检验？如何检验？ 【总结】 （1）解分式方程的基本思想是：把分式方程转化为整式方程. （2）解分式方程的关键：分式方程两边同时乘最简公分母，约去分母后得到整式方程. 三、探索分式方程的增根 例2 解方程： 分析：首先分解因式，然后确定最简公分母，再在方程两边同时乘以，约去分母，化分式方程为整式方程，求出该整式方程的解，并验根. 【思考】解分式方程时，为什么要验根？ 【活动安排】学生观察解分式方程的过程，探究产生增根的原因，并与同学交流. 【教师总结】在解分式方程时，方程的两边同时乘最简公分母，若最简公分母为零时，此乘法就不合理，因而就产生了不适合原分式方程的根，即增根.若最简公分母不为零，此时就不会产生增根. （1）分式方程的增根不适合于原分式方程，而适合于分式方程转化而成的整式方程； （2）解分式方程进行检验的关键是看所求得的整式方程的根是否使原分式方程中的分式的分母为零.有时为了简便起见，也可将它代入所乘的整式（即最简公分母），看它的值是否为零.如果为零，即为增根. 四、讲解例题，巩固新知 例3 解方程： 【活动安排】（1）引导学生动手解题；（2）教师板书示范；（3）强调要检验整式方程的根是否为原分式方程的根. 解：方程两边同乘以，约去分母，得： 解这个整式方程，得. 检验：把代入，得 所以，是原方程的解. 【师生总结】如何解分式方程？ 关键：将分式方程转化为整式方程. 步骤：(1)去分母；(2)解整式方程；(3)检验；(4)写出方程的解. 简记为：“一化、二解、三检验”. 检验有两种方法：一是代入原方程，二是代入去分母时乘的最简公分母.一般是代入最简公分母检验. 去分母的方法：⑴把各分母分解因式； ⑵找出各分母的最简公分母； ⑶方程两边各项乘最简公分母. 【练一练】 解分式方程: ＝45. 解：方程的两边同乘2，得 960600＝90. 解这个方程，得＝4. 经检验，＝4是原方程的根. 五、拓展探究（小组讨论，师生互学） 在解方程＝2时，小亮的解法如下： 解：方程的两边同乘x2，得 1x＝12（x2）. 解这个方程，得x＝2. 【教师提问】x2是原方程的根吗？为什么？ 【学生活动】先独立思考，再与同伴交流，踊跃回答. 答：在上面的方程中, x＝2不是原方程的根,因为它使得原分式方程的分母为零. 【师生总结】 产生增根的原因：在方程的两边同乘了一个可能使分母为零的整式. 注意：解分式方程一定要验根！ 【示例展示】 当为何值时，分式方程 ＝4会产生增根？ 解：方程两边都乘x3， 得1m＝4（x3）， 解这个方程，得x＝. ∵x＝是原方程的增根， 且原方程的增根是x＝3， ∴＝3， 解得m＝1. 例4 若关于x的方程＝1的解是正数，则a的取值范围是 . 解析：去分母，得2xa＝x1，解得x＝1. ∵ 关于x的方程＝的解是正数， ∴＞0且x≠1，∴ 1＞0且1≠1， 解得a＜-1且a≠-2. 【答案】a＜1且a≠2 【方法总结】求出方程的解(用未知字母表示)，然后根据解的正负，列关于未知字母的不等式求解，特别注意分母不能为0. 例5 若关于的分式方程无解，求m的值. 【思考】无解说明什么？两种情况：一是所化成的整式方程无解；二是解得整式方程的解使最简公分母为0. 解：方程两边都乘(2)(2)，得2(2)m＝3(2)， 即(m1)＝10. ①当m1＝0时，此方程无解，此时m＝1； ②原方程的解使最简公分母为0，则＝2或＝2， 当＝2时，代入(m1)＝10，得(m1)×2＝10，解得m＝4； 当＝2时，代入(m1)＝10，得(m1)×(2)＝10， 解得m＝6，∴m的值是1或4或6. 【总结】分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义不一样：分式方程有增根仅仅是指求得的整式方程的解使最简公分母为0；分式方程无解不但包括求得的整式方程的解使最简公分母为0，而且还包括分式方程化为整式方程后无解. 课堂练习 1.下列方程是分式方程的是(　　) A.＝　　 B. ＝2 C.22 3＝0　 D.25＝ 2.以下是方程去分母后的结果，其中正确的是(　　) A.21x＝1 B. 2 C. 21x＝2x D.21x＝2 x 3.若方程＝有增根，则增根为(　　) A.0　 B.2　　 C.0或2　 D.1 4.解方程： (1) ； (2) ； (3) . 参考答案 1.A 2.D 3.A 4.解：(1) ＝1　(2) . (3)原分式方程无解. 课堂小结 1.解分式方程的一般步骤： （1）在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程. （2）解这个整式方程. （3）把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则须舍去. （4）写出原方程的根. 2.方程的增根： 若求出的解使得原分式方程的分母为零,我们称它为原方程的增根. 产生增根的原因:在方程的两边同乘了一个可能使分母为零的整式. 【注意】解分式方程一定要验根！ 布置作业 教材第16页习题16.3第1题. 板书设计 分式方程的概念及其解法 1.解分式方程的基本思路： 2.解分式方程的一般步骤： 3.方程的增根： 若求出的解使得原分式方程的分母为零,我们称它为原方程的增根. 教学反思 教学反思 教学反思 教学反思 教学反思 教学反思