16.1二次根式 教学课件 沪科版初中数学八年级（下）

(共21张PPT)
16.1 二次根式
第 16章 二次根式
学 习 目 标
理解二次根式的概念.（重点）
掌握二次根式有意义的条件.（重点）
会利用二次根式的非负性解决相关问题.（难点）
1
2
3
问题1 什么叫做平方根
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.
问题2 什么叫做算术平方根
如果 x2 = a（x≥0），那么 x 称为 a 的算术平方根.
　用 表示.
新 课 导 入
问题3 什么数有算术平方根
　我们知道,负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.
2．5的平方根是_______　；5的算术平方根是____.
新课导入
思考
1．4的平方根是_____；0的平方根是______.
思考 用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？
(1)若面积为3 的正方形,则边长为 _____m；若面积
为S 的正方形的边长为_____m．
(2)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130m2，
则它的宽为_____m．
新课导入
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时
间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）
满足关系 h =5t2，如果用含有h 的式子表示 t ，
那么t为_____．
新课导入
问题1 这些式子分别表示什么意义？

①根指数都为2;
②被开方数为非负数.
问题2 这些式子有什么共同特征？
知识讲解
探究一 二次根式的定义
一般地，形如 （a≥0）的式子叫做二次根式,其中a是被开方数.
具有两个特征：
①外貌特征：含有“ ”.
②内在特征：被开方数a ≥0.
注意：a可以是数，也可以是式子.
知识讲解
二次根式的定义
探究二 二次根式的性质
问题1 二次根式 的被开方数a的取值范围是什么？它本身的值又是什么？
当a＞0， 表示a的算术平方根的平方，因此 =a；
当a=0, 表示0的算术平方根的平方，因此 =0；
这就是说，当a≥0时， = a.
的被开方数a的取值范围是a ≥0.
=a(a ≥0).
总结：
探究二 二次根式的性质
问题2 二次根式的被开方数a的取值范围是什么？它本身的值又是什么？
当a＞0, 表示的算术平方根，因此 =a；
当a=0, 表示0的算术平方根，因此 =0；
当a＜0, 表示的算术平方根，因此 =-a；
这就是说，当a≥0时， =a; 当a＜0时， =-a.
下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
解：
(1)(4)(6)中均是二次根式，其中a2+1属于“非负数+正数”的形式一定大于零.（2）中是整数，(3)中－120，(5)xy0 ，(7)中根指数是3，所以（2）（3）（5）（7）均不是二次根式.
是否含二次根号
被开方数是不是非负数
二次根式
不是二次根式
是
是
否
否
分析：
例1
知识讲解
跟踪训练
1.下列各式是否二次根式？说明理由．
（1） ；（2） （3） ； （4） .
（a＜0）
（4）
（a＜0）是二次根式．
解：（1）
是二次根式；
（2）
根号下小于零，不是二次根式；
（3）
是三次根式；
当x是怎样的实数时, 下列在实数范围内有意义
例2
知识讲解
(1)
(2)
.
解：(1)要使
有意义,必须x+3≥0.
解这个不等式,得x≥-3.
即当x≥-3时,
在实数范围内有意义.
(2)因为x为任何实数时都有
≥0,
在实数范围内都有意义.
所以当x为一切实数时,
知识讲解
.
例3计算:
例4 先化简再求值:
,其中x=4.
当x=4时， =∣x-π∣=∣4-π∣=4-π.
∴当x=4时，
=4-π.
解：
=
=∣x-π∣，
(1) ；
(2) .
解:(1) = =5 或 =
∣-5|=5；
(2) =∣1- ∣=-（1- ）= -1.
知识讲解
3.先化简，再求值．
已知a＝ ，求2-
+（a+1）（a﹣1）的值．
解：2﹣ +（a+1）（a﹣1）
＝2﹣ + -1
＝2﹣|a﹣2|+ -1
当a＝ 时，
原式＝2﹣（2﹣ ）+ -1=2-2+ +2-1= +1.
随堂训练
1.在 、 、 、 中，二次根式有
2.当分别取什么实数时，下列各式有意义？
（1）
（2）
（3）
解：（1）∵12-3a≥0，∴a≤4；
（2）∵a+2＞0，∴a＞－2；
（3）∵
+1≥0，∴a取任意实数.
随堂训练
3.计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
解：（1）10 （2）0.25 （3）
（4）-6
4.化简
（1）当
时，
（2）当
时，
时.
（3）当
随堂训练
4.解： + = + .
.
（1）当
时,x-1＜0, x-2＜0,∴原式=1-x+2-x=3-2x;
（2） 当
时，x-1＞0, x-2＜0, ∴原式=x-1+2-x=1;
（3）当
时, x-1＞0, x-2＞0, ∴原式=x-1+x-2=2x-3.
练随堂训
5.(1)已知a为实数，求代数式 + +
的值.
(2) 已知a为实数，求代数式
+
+
的值.
解：(1)由题意得：a+2≥0, -4-2a≥0
∴a=-2.
∴
+
+
=
=2.
(2) 由题意得：- ∵ ≥0 ，∴ =0，∴a=0.
≥0,
∴ = + =2+3=5.
二次根式
定义
带有二次根号
确定在实数范围内二次根式有意义的条件
抓住被开方数必须为非负数，建立不等式求出其解集
被开方数为非负数
课堂小结