16.2二次根式的运算（第2课时二次根式的除法与商的算术平方根） 教学课件 沪科版初中数学八年级（下）

(共29张PPT)
16.2 二次根式的运算
第16章 二次根式
第2课时　二次根式的除法与商的算术平方根
学 习 目 标
理解二次根式的除法法则.（重点）
会运用除法法则及商的算术平方根进行简单运算.（难点）
1
2
一般地，二次根式的乘法法则是
二次根式的乘法法则:
二次根式相乘，________不变，________相乘.
根指数
被开方数
注意：a，b都必须是非负数.
新课导入
1.知识回顾
　　站在水平高度为 h m的地方看到可见的水平距离为d 米，它们近似地符合公式为 .
解：
问题1 某一登山者爬到海拔100m处，即 时，他看到的水平线的距离d1是多少？
2.问题引入
新课导入
问题2 该登山者接着爬到海拔200米的山顶，即
时，此时他看到的水平线的距离d2是多少？
问题3 他从海拔100米处登上海拔200米高的山顶，那么他看到的水平线的距离是原来的多少倍？
解：
二次根式的除法该怎样算呢？
解：
思考：乘法法则是如何得出的？除法有没有类似的法则？
新课导入
(1) ___÷___=____;
= _____;
计算下列各式:
(2) ___÷___=____;
(3) ___÷___=____;
= _____;
= _____.
2
3
4
5
6
7
观察两者有什么关系？
二次根式的除法
1
知识讲解
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1)
(2)
(3)
思考 通过上述二次根式除法运算结果，联想到二次根式除法运算法则，你能说出二次根式 的结果吗？
特殊
一般
知识讲解
问题 在前面发现的规律 中，a、b的取值范围有没有限制呢？
知识讲解
a≥0，b＞0,当b=0时，等式两边的二次根式就没有意义啦！
二次根式的除法法则:
文字叙述:
算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根.
当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项式法则，易得
知识讲解
我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.
语言表述：商的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的商.
我们知道，把二次根式的乘法法则反过来就得到积的算术平方根的性质.
类似地，把二次根式的除法法则反过来，就得到
二次根式的商的算术平方根的性质:
2
商的算术平方根的性质
知识讲解
3
最简二次根式
知识讲解
　计算：（1）
；（2）
解：（1） = = = ；
（2） = = = =2.
分母有理化
二次根式的除法运算,通常采用分子、分母同乘以一个式子化去分母中的根号的方法来进行,把分母中的根号化去,就是分母有理化.
3
最简二次根式
知识讲解
1. 最简二次根式满足的条件
(1)被开方数的因数是整数,因式是整式;
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
2.化简时注意：
（1）有时需将被开方数分解因式；
（2）当一个式子的分母中含有二次根式时，一般应把分母有理化.
计算：
解:
除式是分数或分式时，先要转化为乘法再进行运算.
例1
知识讲解

归纳：类似(4)中被开方数中含有带分数，应先将带分数化成假分数，再运用二次根式除法法则进行运算.
知识讲解
＝４3＝12.
跟踪训练
知识讲解
1.计算：
(1) ；
(2) ÷ ；
(3) .
解：(1) = =
＝2 .
(2) ÷ = = = =2 ；
(3) = = =2 .
化简:
解:
还有其他解法吗
补充解法：
知识讲解
例2
知识讲解
=
解法1：
解法2：
2.化简：
解：
知识讲解
跟踪训练
知识讲解
例3
比较 2 和3 的大小.
解：2 = = = ；
3
=
=
= .
∵12＜18，
∴
∴
.
知识讲解
∴
思考：你还有其它的证明方法吗？
方法1： = ，
∴ .
方法2： = =
＜1，
归纳：比较两个二次根式大小的方法：可转化为比较两个被开方数的大小，即将根号外的正数平方后移到根号内，计算出被开方数后，再比较被开方数的大小，被开方数大的，其算术平方根也大.也可以采用作差法、作商法、平方法.
跟踪训练
知识讲解
3.比较大小
解：方法1：
知识讲解
解： ，
　　 . .
∵52＜54，∴ ，
∴ ， 即
两个负数比较大小，绝对值大的反而小
.
1.化简 的结果是（　　）
　A.9 　 B.3 　 C. D.
B
随堂训练
2.下列各式的计算中，结果为 的是（　　）
A. B.
C. D.
C
3.若使式子 成立，则实数k取值范围是（ ）
B
A.k≥1 　 B.k≥2
C. 1＜k≤2 　D. 1≤k≤2
随堂训练
C
知识讲解
4.下列根式中，是最简二次根式的是（　　）
A..
　　B.
C.
D.
5.把下列根式中化成最简二次根式：
（1） ；（2） ；（3） .
解：（1） = ；
（2） =3 ；
（3） =2 .
知识讲解
6.化简：
(1) ；（2） ；（3） ；（4） .
解：(1) = =4；
(2) = ；
(3) = = +1；
(4) = 11-2 .
知识讲解
7.计算：
× ÷
解：
× ÷
＝ ×
＝
＝
＝
.
二次根式的除法
法则
商的算术平方根
拓 展
课堂小结
）