17.2一元二次方程的解法（第2课时配方法） 教学课件 沪科版初中数学八年级（下）

(共21张PPT)
第 17章 一元二次方程
17.2 一元二次方程的解法
第2课时 配方法
学 习 目 标
1
2
了解配方的概念.
掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题.(重点）
3
探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.（难点）
复 习
新课导入
解下列方程
（1）3x2-1=5；（2）（x-1）2-9=0 ；（3）x2+8x+16=9.
方程（1)(2）可转化成x2=p或（x＋n）2= p（p≥0）的形式，由直接开平方法可得方程的根为x= 或x＋n= .
方程x2+8x+16=9能不能转化成（x＋n）2= p（p≥0）的形式？
想一想
方程（3）怎么解呢？
知识讲解
★ 配方的方法
你还记得吗？填一填下列完全平方公式.
(1) a2+2ab+b2=( )2；
a+b
(2) a2-2ab+b2= ( )2.
a-b
探究交流
做一做：填上适当的数，使下列等式成立
1.x2+12x+ =(x+6)2；
2.x2-6x+ =(x-3)2；
3.x2-4x+ =(x - )2；
4.x2+8x+ =(x + )2.
问题：上面等式的左边的常数项和一次项系数有什么关系？
62
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4
先对原一元二次方程配方，使它出现完全平方式后，再直接开平方的求解方法，叫做配方法.
对于形如 x2+ax 的式子如何配成完全平方式？
二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方.
★ 用配方法解方程
探究交流
怎样解方程x2+6x+4=0？
1.把方程变成（x+n)2=p （p≥0）的形式.
x2+6x+4=0
x2+6x=-4
移项
x2+6x+9=-4+9
两边都加上9
二次项系数为1的完全平方式：
常数项等于一次项系数一半的平方.
(x+3)2=5
配方
2.用直接开平方法解方程 (x+3)2=5
(x+3)2=5
开方
x+3=或x+3 =
求解
配方法解方程的基本思路
把方程化为（x+n)2=p的形式，将一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程求解．
方法归纳
在方程两边都加上一次项系数一半的平方.注意是在二次项系数为1的前提下进行的.
方程配方的方法
配方法解方程的基本步骤
一般步骤 方法 例：
一移 移项 将常数项移到右边，含未知数的项移到左边 2－=－1
二化 二次项系数化为1 左、右两边同时除以二次项系数 － =
三配 配方 左、右两边同时加上一次项系数一半的平方
四开 开平方 利用平方根的意义直接开平方
五解 解两个一元一次方程 移项，合并
可化为的形式的一元二次方程的根
（1）当>0 时，方程 有两个不相等的实数根：，；
（2）当＝0 时，方程 有两个相等的实数根： ；
（3）当<0 时，方程 无实数根.
解下列方程：
例1
∴ x1＝ x2＝ -2.
（1）x2+4x+4 ＝ 0 ；
解：移项，得x2+4x ＝ -4.
配方，得x2+4x+22＝ -4+22，
即（x+2）2＝0，
方程的二次项系
数不是1时，为便于
配方，可以将方程
各项的系数除以二
次项系数．
移项和二次项系数化为1这两个步骤能不能交换一下呢
∴ x1 ＝ 1，x2 ＝ .
（2）2 x2x1＝0 ；
解：移项，得2 x2 x ＝ 1.
二次项系数化为1，得x2x＝ .
配方，得x2x+ =,
即 ,
由此可得＝，
配方，得
因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，(x－1)2都是非负数，即上式都不成立，所以原方程无实数根．
解：移项，得
二次项系数化为1，得
3x2－6x=-4,
x2－2x=－ ,
x2－2x+12=－ +12，
即
(x－1)2=－ .
试用配方法说明：不论k取何实数，多项式k2－4k＋5的值必定大于零.
解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1
=（k－2）2＋1
因为（k－2）2≥0，所以（k－2）2＋1≥1.
所以k2－4k＋5的值必定大于零.
例2
★ 配方法的应用
配方法的应用
类别 解题策略
求最值或证明代数式的值为恒正（或负）
对于一个关于x的二次多项式通过配方转化成a(x+m)2＋n的形式后，(x+m)2≥0，n为常数，当a＞0时，可知其最小值；当a＜0时，可知其最大值
完全平方式中的配方
如：已知x2－2mx＋16是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于16，即m2=16，m=±4
利用配方构成非负数和的形式
对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口往往是配方成多个完全平方式得其和为0，再根据非负数的和为0，各项均为0，从而求解.如：a2＋b2－4b＋4=0,则a2＋(b－2)2=0,即a=0，b=2
1．将二次三项式x2-4x+1配方后得（ ）
A．（x-2）2+3 B．（x-2）2-3 C．（x+2）2+3 D．（x+2）2-3
2．已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（ ）
A．x2-8x+（-4）2=31 B．x2-8x+（-4）2=1
C．x2+8x+42=1 D．x2-4x+4=-11
3．如果mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m≠0）的左边是一个关于x的完全平方式，则m等于（ ）
A．1 B．-1 C．1或9 D．-1或9
随堂训练
B
B
C
4.解下列方程：
（1）x2+4x-9=2x-11；（2）x(x+4)=8x+12；
（3）4x2-6x-3=0； （4） 3x2+6x-9=0.
解：x2+2x+2=0，
(x+1)2=-1.
此方程无解.
解：x2-4x-12=0，
(x-2)2=16.
x1=6,x2=-2.
解：x2+2x-3=0，
(x+1)2=4.
x1=-3,x2=1.
解：
5.如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，问几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半？
解：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．
所以2秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．
A
C
B
P
Q
根据题意，得
整理，得x2-14x+24=0,
即(x-7)2=25,解得x1=12，x2=2，
x1=12，x2=2都是原方程的根，但x1=12不合题意，舍去．
6.应用配方法求最值.
(1) 2x2 - 4x+5的最小值；
(2) -3x2 + 5x +1的最大值.
解：（1） 2x2 - 4x +5 = 2(x - 1)2 +3 ,
所以当x =1时，有最小值，为3.
（2） -3x2 + 12x - 16 = -3(x - 2)2 - 4 ,
所以当x =2时,有最大值，为-4.
课堂小结
配方法
定义
通过配成完全平方形式解一元二次方程的方法
方法
步骤
一移常数项；
二配方[配上 ]；
三写成（x+n)2=p (p ≥0);
四直接开平方
五解两个一元一次方程
特别提醒：在使用配方法解方程之前先把方程化为x2+px+q=0的形式.
应用
求代数式的最值或证明
在方程两边都配上一次项系数一半的平方