17.4一元二次方程的根与系数的关系 教学课件 沪科版初中数学八年级（下）

(共20张PPT)
第 17章 一元二次方程
17.4　一元二次方程的根与系数的关系
学 习 目 标
1
2
理解一元二次方程的根与系数的关系.（难点）
不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.（重点）
新课导入
复习交流
1.一元二次方程的求根公式是什么？
想一想：方程的两根x1和x2与系数a,b,c还有其他关系吗？
2.如何用判别式 b2 - 4ac 来判断一元二次方程根的情况？
对于一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0)
当b2 - 4ac > 0 时,方程有两个不相等的实数根.
当b2 - 4ac = 0 时,方程有两个相等的实数根.
当b2 - 4ac < 0 时,方程无实数根.
知识讲解
★ 探索一元二次方程的根与系数的关系
算一算：解下列方程并完成填空：
（1）x2+3x-4=0; (2)x2-5x+6=0; (3)2x2+3x+1=0.
一元二次方程 两 根 关 系
x1 x2 x2+3x-4=0
x2-5x+6=0
1
2
3
x1+x2=-3，
x1 · x2=-4
x1+x2=5，
x1 · x2=6
猜一猜
（1）若一元二次方程的两根为x1,x2,则有x-x1=0,且x-x2=0,那么方程（x-x1)(x-x2)=0(x1,x2为已知数）的两根是什么？将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1, x2与p,q之间的关系吗？
重要发现
如果方程x2+px+q=0的两根是x1, x2,那么x1+x2= , x1 ·x2=q.
(x-x1)(x-x2)=0
x2-(x1+x2)x+x1·x2=0
x2+px+q=0
x1+x2= -p ,x1 ·x2=q
猜一猜
（2）如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么，你可以发现什么结论？
证一证：
一元二次方程的根与系数的关系 （韦达定理）
如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么
注意：满足上述关系的前提条件
b2-4ac≥0.
下列方程的两根和与两根积各是多少？
⑴ x2－3x+1=0 ； ⑵ 3x2－2x=2；
⑶ 2x2+3x=0； ⑷ 3x2=1 .
注意：在使用根与系数的关系时:
(1)不是一般式的要先化成一般式；
(2) 在使用x1+x2= 时，“－ ”不要漏写.
ax2+bx+c=0(a≠0)
两边都
除以a
例1
★ 一元二次方程的根与系数的关系的应用
解：根据根与系数的关系可知：
不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和.
例2
已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.
解：设方程 5x2+kx-6=0的两个根分别是x1、x2，其中x1=2 .
所以 x1 · x2=2x2 =
即x2=
由于x1+x2=2+ =
所以k=-7.
所以方程的另一个根是 ，k=-7.
例3
若关于x的方程x2＋(a-1) x＋a2＝0的两个根互为倒数，求的值．
例4
解：因为方程的两根互为倒数，所以两根的积为1．
由根与系数的关系，得a2＝1．
解得a＝±1．
当a＝1时，原方程化为x2＋1＝0，根的判别式Δ<0，此方程没有实数根，所以舍去a＝1．所以a＝-1．
总结
归纳：求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.
常见的变形:
2．若x1，x2是一元二次方程x2－2x－3＝0的两个根，则x1x2的值是( )
A．2 B．－2 C．4 D．－3
随堂训练
1．若x1，x2是一元二次方程x2＋10x＋16＝0的两个根，则x1＋x2的值是( )
A．－10 B．10 C．－16 D．16
3．若x1，x2是方程x2－2mx＋m2－m－1＝0的两个根，且x1＋x2＝1－x1x2，则m的值为( )
A．－1或2 B．1或－2 C．－2 D．1
A
D
D
4.如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另一个根是 ，m = .
5.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2 和 1 ，则 p = , q= .
1
-2
-3
6.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且（x1+1)(x2+1)=4.
（1）求k的值； （2）求(x1-x2)2的值.
解：（1）根据根与系数的关系可得，
所以（x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=
解得k=-7.
（2）因为k=-7,
所以
7．已知关于x的方程x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0有两个实数根x1，x2.
(1)求实数k的取值范围；
(2)若x1，x2满足 ＝16＋x1x2，求实数k的值．
解：(1)∵关于x的方程x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0有两个实数根x1，x2，
∴Δ＝(2k－1)2－4(k2－1)＝－4k＋5≥0，
解得k≤.
∴实数k的取值范围为k≤.
(2)∵关于x的方程x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0有两个实数根x1，x2，
∴x1＋x2＝1－2k，x1x2＝k2－1.
∵ ＝(x1＋x2)2－2x1x2＝16＋x1x2，
∴(1－2k)2－2(k2－1)＝16＋(k2－1)，即k2－4k－12＝0，
解得k＝－2或k＝6(不符合题意，舍去)．
∴实数k的值为－2.
课堂小结
根与系数的关系
（韦达定理）
内 容
如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么x1+x2= -p ,x1 ·x2=q
如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么
应 用
常见变形