17.5一元二次方程的应用（第1课时变化率及销售问题） 教学课件 沪科版初中数学八年级（下）

(共18张PPT)
第 17章 一元二次方程
17.5　一元二次方程的应用
第1课时　平均变化率及销售问题
学 习 目 标
1
2
掌握建立数学模型以解决变化率及销售问题.(重点）
正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型.（难点）
新课导入
青山村种的水稻每公顷产量的年平均增长率为.
第三年种的水稻平均每公顷的产量为 　　 　 　.
第一年平均每公顷产8 000 kg,
第二年种的水稻平均每公顷的产量为 　　　 　 ；
8 000（1+ ）kg
8 000 kg
知识讲解
1.平均变化率问题
探 究
问题1：前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000 元，求甲种药品成本的年平均下降率.
解：设甲种药品成本的年平均下降率是x，则去年生产1吨甲种药品的成本是 元，如果保持这个下降率，则现在生产1吨甲种药品的成本是 元.
5000(1-x)
5000(1-x)2
于是可列方程 5000(1-x)2=3000，
解方程得，
x1≈0.225，x2≈1.775.
根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5％.
注意：下降率不能超过1
问题2：前年生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨乙种药品的成本是3600 元，求乙种药品成本的年平均下降率.
解：设乙种药品成本的年平均下降率是y，
则根据题意，可列方程 6000(1-y)2=3600，
解方程得，
y1≈0.225，y2≈1.775（不合题意，舍去）.
所以乙种药品成本的年平均下降率约为22.5％.
下降率y
第一次降低前的量
6000(1-y)
第一次降低后的量
6000
下降率y
第二次降低后的量
第二次降低前的量
6000(1-y)(1-y)
分析：
思 考
1.药品年平均下降额大能否说年平均下降率（百分数）就大？
答：不能.
甲种药品成本的年平均下降额为（5000-3000）÷2=1000（元），乙种药品成本的年平均下降额为（6000-3600）÷2=1200（元）.
显然，乙种药品成本的年平均下降额较大,但是甲、乙两种药品成本平均下降率相等，都为22.5%.
2.你能总结出有关增长率和降低率的有关数量关系吗？
答：类似地, 这种增长率的问题在实际生活中普遍存在,有一定的模式.若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(其中增长取“+”,降低取“－”).
某公司1 月份的生产成本是400 万元，由于改进生产技术，生产成本逐月下降，3 月份的生产成本是361 万元. 假设该公司2，3，4 月每个月生产成本的下降率都相同.
(1)求每个月生产成本的下降率.
（2）请你预测4 月份该公司的生产成本.
解：（1）设该公司每个月生产成本的下降率为x，
根据题意，得400(1-x)2 ＝ 361.
解得x1 ＝ 5%， x2 ＝ 1.95>1（不合题意，舍去）.
答：每个月生产成本的下降率为5%.
（2）361×（1-5%）＝ 342.95（万元）.
答：预测4 月份该公司的生产成本为342.95 万元.
例1
某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元．求3月份到5月份营业额的月平均增长率．
例2
解：设3月份到5月份营业额的月平均增长率为x，根据题意，得
400×(1＋10%)(1＋x)2＝633.6.
解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)．
答：3月份到5月份营业额的月平均增长率为20%.
注意：增长率不可为负，但可以超过1.
新华商场销售某种冰箱,每台进货价为2 500元.调查发现，当销售价为2 900元时,平均每天能售出8台;而当销售价每降低50元时,平均每天就能多售出4台.商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5 000元,每台冰箱的定价应为多少元
分析：本题的主要等量关系是：每台冰箱的销售利润×平均每天销售冰箱的数量＝5 000元.
如果设每台冰箱降价x元，那么每台冰箱的定价就是（2 900- x）元，每台冰箱的销售利润为（2 900- x-2 500）元，平均每天销售冰箱的数量为 台.这样就可以列出一个方程，从而使问题得到解决.
解：设每台冰箱降价x元. 根据题意,得
整理,得x2 - 300x + 22 500 ＝ 0.
解这个方程,得 x1 ＝ x2 ＝ 150.
2 900-150 ＝ 2 750.
所以，每台冰箱应定价为2 750元.
2.销售问题
例3
归纳：(1)单件商品利润＝单件商品售价－单件商品进价；
(2)利润率＝＝；
(3)售价＝进价×(1＋利润率)；
(4)总利润＝每件商品的利润×商品的销量.
随堂训练
C
D
1．一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元．设两次降价的百分率都为x，则x满足( )
A．16(1＋2x)＝25 B．25(1－2x)＝16
C．16(1＋x)2＝25 D．25(1－x)2＝16
2.某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个，如果每月的增长率x相同，那么 ( )
A．50(1＋x2)＝196　
B．50＋50(1＋x2)＝196x
C．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝196
D．50＋50(1＋x)＋50(1＋2x)＝196
3．某市某楼盘准备以每平方米5 000元的均价对外销售，由于有关部门关于房地产的新政策出台后，部分购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4 050元的均价开盘销售．若两次下调的百分率相同，求平均每次下调的百分率．
解：设平均每次下调的百分率为x，根据题意，得
5 000(1－x)2＝4 050.
解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9(不合题意，舍去)．
答：平均每次下调的百分率为10%.
4．据报道，某省农作物秸秆的资源巨大，但合理利用量十分有限，2017年的利用率只有30%，大部分秸秆被直接焚烧了，假定该省每年产出的农作物秸秆总量不变，且合理利用量的增长率相同，要使2019年的利用率提高到60%，求每年的增长率．(取≈1.41)
解：设该省每年产出的农作物秸秆总量为1，合理利用量的增长率为x，由题意，得
1×30%·(1＋x)2＝1×60%.
解得x1≈0.41＝41%，x2≈－2.41(不合题意，舍去)．
答：该省每年秸秆合理利用量的增长率约为41%.
5.某超市将进价为40元的商品按定价50元出售时，能卖500件 .已知该商品每涨价1元，销售量就 会减少10件，为获得8 000元的利润，且 尽量减少库存，售价应为多少？
解：设每件商品涨价x元，根据题意，得
（50＋x－40）（500－10x）＝8 000，即x2－40x＋300＝0.
解得x1＝10，x2＝30.
经检验，x1＝10，x2＝30都是原方程的解.
当x＝10时，售价为10＋50＝60（元），
销售量为500－10×10＝400（件）.
当x＝30时，售价为30＋50＝80（元），
销售量为500－10×30＝200（件）.
∵ 要尽量减少库存，∴ 售价应为60元.
6.菜农李伟种植的某蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售.
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金200元.试问小华选择哪种方案更优惠？请说明理由.
解：（1）设平均每次下调的百分率为x.由题意，得
5(1-x)2=3.2，
解得 x1=20%，x2=1.8 （舍去）.
∴平均每次下调的百分率为20%.
(2)小华选择方案一购买更优惠，理由如下：
方案一所需费用为：3.2×0.9×5000=14400（元）；
方案二所需费用为：3.2×5000－200×5=15000（元）.
∵14400＜15000，
∴小华选择方案一购买更优惠.
课堂小结
平均变化率问题
增长率问题
降低率问题
a(1-x)2=b,其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次数，b为降低后的量.注意1与x位置不可调换
a(1+x)2=b,其中a为增长前的量，x为增长率，2为增长次数，b为增长后的量
注意：下降率不能超过1
注意：增长率不可为负，但可以超过1
销售问题
(1)单件商品利润＝单件商品售价－单件商品进价；
(2)利润率＝＝；
(3)售价＝进价×(1＋利润率)；
(4)总利润＝每件商品的利润×商品的销量.