17.5一元二次方程的应用（第2课时几何图形问题） 教学课件 沪科版初中数学八年级（下）

(共18张PPT)
第 17章 一元二次方程
17.5 一元二次方程的应用
第2课时　几何图形问题
学 习 目 标
1
2
掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.（难点）.
能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.（重点）
新课导入
复习交流
知识讲解
几何图形与一元二次方程
探 究
问题：要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形.如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度？（精确到0.1cm）
分析:这本书的长宽之比 ： , 正中央的矩形长宽之比 ： ，上下边衬与左右边衬之比 ： .
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设中央长方形的长和宽分别为9a和7a.由此得到上下边衬宽度之比为：
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解:设上下边衬宽为9xcm，左右边衬宽为7xcm.依题意,得
解方程得
故上下边衬的宽度为:
左右边衬的宽度为:
答：上下边衬的宽度为:1.8cm,左右边衬的宽度为1.4cm.
思考
如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？
解:设正中央的矩形两边分别为9xcm，7xcm.依题意,得
解得
故上、下边衬的宽度为:
左、右边衬的宽度为:
答：上下边衬的宽度为:1.8cm,左右边衬的宽度为1.4cm.
例1
如图，某小区在一个长为40 m，宽为26 m 的长方形场地ABCD 上修建三条同样宽的甬路，其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种草，若使每一块草坪的面积都为144 m2，求甬路的宽度.
解法1 ：设甬路的宽为x m，
根据题意，得40×26-（40x+2×26x-2x2）＝ 144×6，
整理，得x2-46x+88 ＝ 0，解得x1 ＝ 44， x2 ＝ 2.
因为甬路的宽必须小于m，即小于20 m，
所以x＝ 44 不符合题意，舍去，所以x＝ 2.
答：甬路的宽为2 m.
解法2 ：设甬路的宽为x m，根据题意，
得(40-2x)(26-x)＝ 144×6 ，
整理，得x2-46x+88 ＝ 0，解得x1 ＝ 44， x2 ＝ 2.
因为甬路的宽必须小于 m，即小于20 m，
所以x ＝ 44 不符合题意，舍去，所以x ＝ 2.
答：甬路的宽为2 m.
分析：将原图中三条甬路分别向上和向右平移至如图所示的位置，若设甬路的宽为x m，则草坪总面积为(40-2x)(26-x)m2，所列方程为(40-2x)(26-x)＝ 144×6.
我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些.
如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25 m)，现在已备足可以砌50 m长的墙的材料，当矩形花园的面积为300 m2时，求AB的长．
例2
解：设AB长为x m，则BC长为(50－2x)m.根据题意，得x(50－2x)＝300.
解得x1＝10，x2＝15.
当x＝10时，AD＝BC＝50－2x＝30>25，不合题意，所以x＝10应该舍去．
当x＝15时，AD＝BC＝50－2x＝20<25，所以x＝15满足条件．
答：AB的长为15 m.
随堂训练
C
B
1．绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为( )
A． x(x－10)＝900 B． x(x＋10)＝900
C．10(x＋10)＝900 D．2[x＋(x＋10)]＝900
2．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图)，原空地一边减少了1 m，另一边减少了2 m，剩余空地的面积为18 m2，求原正方形空地的边长，设原正方形空地的边长为x m，则可列方程为( )
A．(x＋1)(x＋2)＝18
B． x2－3x＋16＝0
C．(x－1)(x－2)＝18
D．x2＋3x＋16＝0
3．一个直角三角形的两条直角边相差5 cm，面积是7 cm2，则它的两条直角边长分别为 ．
4.在一幅长50 cm，宽30 cm的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形 挂图，　　　　如图所示．如果要使整个矩形挂图的面积是1 800 cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的方程为 ．
　　
x2＋40x－75＝0
2 cm，7 cm
5．某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2∶1.在温室内，沿前侧内墙保留3 m宽的空地，其他三侧内墙各保留1 m宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288 m2？
解：设矩形温室的宽为 x m，则长为2x m．根据题意，得
(x－2)(2x－4)＝288.
解得x1＝－10(不合题意，舍去)，x2＝14.
所以2x＝2×14＝28.
答：当矩形温室的长为28 m，宽为14 m时，蔬菜种植区域的面积是288 m2.
6. 如图1，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540平方米，求道路的宽.
解：设道路宽为x米，由平移得到图2，则宽为(20-x)米，长为（32-x)米.列方程,得
（20-x)(32-x)=540，
整理,得 x2-52x+100=0，
解得 x1=50(舍去），x2=2.
答：道路宽为2米.
图1
图2
7．已知，如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝7 cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动．
(1)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4 cm2
(2)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5 cm
(3)在问题(1)中，△PBQ的面积能否等于7 cm2？说明理由．
解：(1)设x秒后，△PBQ的面积等于4 cm2.根据题意，得x(5－ x)＝4.
解得x1＝1， x2＝4.
∵当x＝4时，2 x＝8>7，不合题意，舍去．
∴ x ＝1.
答：1 s后，△PBQ的面积等于4 cm2.
(2)设y秒后，PQ＝5 cm，则(5－ y)2＋(2 y)2＝25.
解得y1＝0(舍去)， y2＝2.
∴ y＝2.
答：2 s后，PQ的长度等于5 cm.
(3)设a秒后，△PBQ的面积等于7 cm2.根据题意，得a(5－a)＝7.
此方程无解．
∴△PBQ的面积不能等于7 cm2.
课堂小结
几何图形与一元二次方程问题
几何图形
常见几何图形面积是等量关系
类 型
面积问题
常采用图形平移聚零为整，列方程
动态几何问题