18.1勾股定理（第1课时勾股定理） 教学课件 沪科版初中数学八年级（下）
文档属性
| 名称 | 18.1勾股定理（第1课时勾股定理） 教学课件 沪科版初中数学八年级（下） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 2.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-02-21 19:36:48 | ||
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文档简介
(共17张PPT)
第 18章 勾股定理
18.1 勾股定理
第1课时 勾股定理
学 习 目 标
1
2
经历观察、分析等思维活动，体验勾股定理的探索过程.（重点）
会运用勾股定理解决一些简单问题. (难点）
新课导入
如图，从电线杆离地面8 m处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6 m，那么需要多长的钢索？
在直角三角形中，任意两条边确定了，另一条边也随之确定，三边之间存在一种特定的数量关系.事实上，古人已经发现了直角三角形的三条边长度的平方存在一种特殊的关系，那么这种关系是什么？
知识讲解
一、勾股定理的认识
问题1：请分别计算下面图中直角三角形三边长的平方是多少，它们满足上边所猜想的数量关系吗？
一直角边2
另一直角边2
斜边2
+
=
问题2 ：用，，分别表示三个正方形的边长，三者之间的面积关系如何表示？由三个正方形搭成的直角三角形三边的平方关系是否和上面的猜测相同？
三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，即
小正方形A、B的面积之和等于大正方形C的面积，即
问题3：在网格中的一般的直角三角形，如图，以它的三边为边长的三个正方形是否也有类似的面积关系？观察下边两幅图(每个小正方形的面积为单位1)：
这两幅图中小正方A,B的面积都容易求，那么该怎样求正方形C的面积呢？
根据前面求出的S3的面积直接填出下表：
S1的面积 S2的面积 S3的面积
左图
右图
9
18
25
9
9
16
思考: 直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？
SA+SB=SC
由前面的探索可以发现：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有 a2+b2=c2.
勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
几何语言：
∵在Rt△ABC中 ，∠C=90°，
∴a2+b2=c2（勾股定理）.
a
A
B
C
b
c
∟
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.
二、利用勾股定理进行计算
例1如图，已知在Rt△ABC中，两直角边AC＝5，BC＝12，求斜边上的高CD的长．
C
A
B
D
解：∵ 在△ABC中，∠ACB = 90°，AB = 5，BC = 12，
∴ 由勾股定理，得
AB2 = AC2+BC2 = 52+122 = 169 = 132，∴ AC = 13.
又∵S△ABC =
AB·CD =
AC·BC，
∴ CD ===
．
即斜边上的高CD的长是
.
方法总结： 由直角三角形的面积公式可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积.
例2在△ABC中，AB = 20，AC = 15，AD为BC边上的高，且AD = 12，求△ABC的周长.
图
解：考虑高AD在△ABC内和△ABC外两种情形；
（1）当高AD在△ABC内部时，如图 ，
在Rt△ABD中，由勾股定理，
得BD2＝AB2-AD＝ 202-122＝162，
∴ BD＝16.
在Rt△ACD中，由勾股定理，得
CD2＝AC2-AD2＝152-122＝92，
∴ CD＝9.
∴ BC＝BD+CD＝25，
∴ △ABC的周长为25+20+15＝60.
图
归纳：题中未给出图形时，作高构造直角三角形易漏掉钝角三角形的情况．如在本例中，易只考虑高AD在△ABC内的情形，忽视高AD在△ABC外的情形，导致漏解．
（2）当高AD在△ABC外部时，如图 ，
在Rt△ABD中，由勾股定理，
得BD2＝AB2-AD＝ 202-122＝162，
∴ BD＝16.
在Rt△ACD中，由勾股定理，得
CD2＝AC2-AD2＝152-122＝92，
∴ CD＝9.
∴ BC＝BD-CD＝7，
∴ △ABC的周长为7+20+15＝42.
综上所述，△ABC的周长为42或60.
随堂训练
B
C
1.某直角三角形的三边长分别为3，5，x，则符合条件的x的值有 ( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2.等腰三角形一腰长为5，这一腰上的高为3，则这个等腰三角形底边
长为（ ）
A．
B．
C．
或
D．4或
3.如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AD平分∠CAB，AC = 6，BC = 8，则CD = ______.
3
A
B
C
D
20
4.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝ ．
解析：∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
∴AB2+CD2＝AD2+BC2，
∵AD＝2，BC＝4，
∴AB2+CD2＝22+42＝20．
A
B
C
D
O
5.如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，CD＝12，BD＝9．
（1）求BC的长；
（2）求△ABC的面积．
解：（1）∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝∠CDA＝90°，
在Rt△BDC中，CD2+BD2＝BC2，即122+92＝BC2，
解得BC＝15；
（2）在Rt△ADC中，AD2+CD2＝AC2，
∴AD2+122＝202，解得AD＝16，
∴AB＝AD+BD＝16+9＝25．
∴S△ABC
=AB CD＝
×25×12＝150．
D
A
B
C
课堂小结
勾股定理
内容
在Rt△ABC中，∠C=90°,a,b为直角边，c为斜边，则有a2+b2=c2.
注意
在直角三角形中
看清哪个角是直角
已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论
第 18章 勾股定理
18.1 勾股定理
第1课时 勾股定理
学 习 目 标
1
2
经历观察、分析等思维活动，体验勾股定理的探索过程.（重点）
会运用勾股定理解决一些简单问题. (难点）
新课导入
如图，从电线杆离地面8 m处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6 m，那么需要多长的钢索？
在直角三角形中，任意两条边确定了，另一条边也随之确定，三边之间存在一种特定的数量关系.事实上，古人已经发现了直角三角形的三条边长度的平方存在一种特殊的关系，那么这种关系是什么？
知识讲解
一、勾股定理的认识
问题1：请分别计算下面图中直角三角形三边长的平方是多少，它们满足上边所猜想的数量关系吗？
一直角边2
另一直角边2
斜边2
+
=
问题2 ：用，，分别表示三个正方形的边长，三者之间的面积关系如何表示？由三个正方形搭成的直角三角形三边的平方关系是否和上面的猜测相同？
三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，即
小正方形A、B的面积之和等于大正方形C的面积，即
问题3：在网格中的一般的直角三角形，如图，以它的三边为边长的三个正方形是否也有类似的面积关系？观察下边两幅图(每个小正方形的面积为单位1)：
这两幅图中小正方A,B的面积都容易求，那么该怎样求正方形C的面积呢？
根据前面求出的S3的面积直接填出下表：
S1的面积 S2的面积 S3的面积
左图
右图
9
18
25
9
9
16
思考: 直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？
SA+SB=SC
由前面的探索可以发现：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有 a2+b2=c2.
勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
几何语言：
∵在Rt△ABC中 ，∠C=90°，
∴a2+b2=c2（勾股定理）.
a
A
B
C
b
c
∟
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.
二、利用勾股定理进行计算
例1如图，已知在Rt△ABC中，两直角边AC＝5，BC＝12，求斜边上的高CD的长．
C
A
B
D
解：∵ 在△ABC中，∠ACB = 90°，AB = 5，BC = 12，
∴ 由勾股定理，得
AB2 = AC2+BC2 = 52+122 = 169 = 132，∴ AC = 13.
又∵S△ABC =
AB·CD =
AC·BC，
∴ CD ===
．
即斜边上的高CD的长是
.
方法总结： 由直角三角形的面积公式可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积.
例2在△ABC中，AB = 20，AC = 15，AD为BC边上的高，且AD = 12，求△ABC的周长.
图
解：考虑高AD在△ABC内和△ABC外两种情形；
（1）当高AD在△ABC内部时，如图 ，
在Rt△ABD中，由勾股定理，
得BD2＝AB2-AD＝ 202-122＝162，
∴ BD＝16.
在Rt△ACD中，由勾股定理，得
CD2＝AC2-AD2＝152-122＝92，
∴ CD＝9.
∴ BC＝BD+CD＝25，
∴ △ABC的周长为25+20+15＝60.
图
归纳：题中未给出图形时，作高构造直角三角形易漏掉钝角三角形的情况．如在本例中，易只考虑高AD在△ABC内的情形，忽视高AD在△ABC外的情形，导致漏解．
（2）当高AD在△ABC外部时，如图 ，
在Rt△ABD中，由勾股定理，
得BD2＝AB2-AD＝ 202-122＝162，
∴ BD＝16.
在Rt△ACD中，由勾股定理，得
CD2＝AC2-AD2＝152-122＝92，
∴ CD＝9.
∴ BC＝BD-CD＝7，
∴ △ABC的周长为7+20+15＝42.
综上所述，△ABC的周长为42或60.
随堂训练
B
C
1.某直角三角形的三边长分别为3，5，x，则符合条件的x的值有 ( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2.等腰三角形一腰长为5，这一腰上的高为3，则这个等腰三角形底边
长为（ ）
A．
B．
C．
或
D．4或
3.如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AD平分∠CAB，AC = 6，BC = 8，则CD = ______.
3
A
B
C
D
20
4.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝ ．
解析：∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
∴AB2+CD2＝AD2+BC2，
∵AD＝2，BC＝4，
∴AB2+CD2＝22+42＝20．
A
B
C
D
O
5.如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，CD＝12，BD＝9．
（1）求BC的长；
（2）求△ABC的面积．
解：（1）∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝∠CDA＝90°，
在Rt△BDC中，CD2+BD2＝BC2，即122+92＝BC2，
解得BC＝15；
（2）在Rt△ADC中，AD2+CD2＝AC2，
∴AD2+122＝202，解得AD＝16，
∴AB＝AD+BD＝16+9＝25．
∴S△ABC
=AB CD＝
×25×12＝150．
D
A
B
C
课堂小结
勾股定理
内容
在Rt△ABC中，∠C=90°,a,b为直角边，c为斜边，则有a2+b2=c2.
注意
在直角三角形中
看清哪个角是直角
已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论