18.1勾股定理（第2课时勾股定理的证明及应用） 教学课件 沪科版初中数学八年级（下）

(共20张PPT)
第 18章 勾股定理
18.1　勾股定理
第2课时　勾股定理的证明及应用
学 习 目 标
1
2
经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在教学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯.
通过对勾股定理的探索，在探索实践中理解并掌握勾股定理并且会运用勾股定理.（难点）
新课导入
1.勾股定理的内容是什么？
2.上节课我们仅仅是通过测量和数格子，对具体的直角三角形进行探索发现了勾股定理，对一般的直角三角形勾股定理是否成立呢？这需要进一步验证，如何验证勾股定理呢？
毕达哥拉斯证法，将四个全等的直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系后证明.
方法一
一、勾股定理的证明
知识讲解
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a,AC=b.
求证：
证明:取4个与Rt△ABC全等的直角三角形，把它们拼成如图1所示的正方形.
∴四边形
是正方形.
∵
=
=c,
a
b
a
a
a
b
b
b
c
c
c
c
∴a2+b2+2ab=c2+2ab，
∴a2 +b2 =c2.
∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,
S大正方形= 4S直角三角形+ S小正方形
=4× ab+c2
=c2+2ab，
温馨提示：上述这种验证勾股定理的方法是用面积法.
“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因为，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学大会的会徽.
a
b
c
S大正方形＝c2，
S小正方形＝(b-a)2，
S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
赵爽弦图
证明：
b-a
方法二
根据前面求出的C的面积直接填出下表：
A的面积 B的面积 C的面积
左图
右图
8
29
9
9
5
8
思考: 正方形A、B、C 所围成的三角形三条边之间有没有特殊关系？
SA+SB≠SC
答案：没有
a
a
b
b
c
c
∴a2 + b2 = c2.
方法三：
如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2 + b2 = c2.
例1 作8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，再作三个边长分别为a，b，c的正方形，将它们如下图所示拼成两个正方形．
证明：a2+b2 = c2.
【证明】由图易知，这两个正方形的边长都是a+b，
∴ 它们的面积相等．
左边大正方形面积可表示为a2+b2+ ab×4，
右边大正方形面积可表示为c2+
∵ a2+b2+
ab×4 = c2+
∴ a2+b2 = c2.
ab×4，
ab×4，
例2如图是某沿江地区交通平面图，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接M，O，Q三城市的沿江高速公路，已知沿江高速公路的建设成本为5 000万元/km，该沿江高速公路的造价预计是多少？
【解】在Rt△OMN中，根据勾股定理得
MN 2+ON 2 = OM 2，
∴ 302+402 = OM 2，
∴ OM = 50 km.
同理OQ = 130 km，
∴ 造价为（50+130）×5 000 = 900 000（万元）.
答：造价预计是900 000万元.
二、 勾股定理的应用
例3 现有一楼房发生火灾,消防队员决定用消防车上的云梯救人,如图，已知云梯最多只能伸长到10m,消防车高3m.救人时云梯伸至最长,在完成从9m高处救人后,还要从12m高处救人,这时消防车要从原处再向着火的楼房靠近多少米 (精确到0.1m)
分析:如图 (2),设A是云梯的下端点,AB是伸长后的云梯,B是第一次救人的地点,D是第二次救人的地点，过点A的水平线与楼房ED的交点为O.求出OB,OD的长度，在Rt△AOB中，利用勾股定理求出AO，设AC=m,则OC=，在Rt△COD中，根据勾股定理得出关于x的一元二次方程，解方程即可.
D
B
E
C
A
F
解：如图所示，根据题意得：BE=9m,OE=3m, DE=12m,
∴OB=9-3=6(m),OD=12-3=9(m).
在Rt△AOB中，AB=10m,∠AB=90°，
设AC=xm则OC=8-x，在Rt△COD中，
解得：x=8±
.
∵AC＜AO＜AB，∴x=3.6. O
答：消防车要从原处再向着火的楼房靠近3.6米.
,
∴
=
=64,∴AO=8（m）.
即
，
≈12.4,
∴
≈3.6.
D
B
O
E
C
A
F
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
（1）读懂题意，分析已知、未知间的关系；
（2）构造直角三角形；
（3）利用勾股定理等列方程；
（4）解决实际问题.
归纳总结
数学问题
直角三角形
勾股定理
实际问题
转化
构建
利用
解决
随堂训练
C
1．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝8，小正方形的面积为9，则大正方形的边长为（　　）
A．9 B．6 C．5 D．4
解析：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，
∵每一个直角三角形的面积为：
ab＝
×8＝4，
∴大正方形的边长为5．
ab+（a﹣b）2＝16+9＝25，
∴大正方形的面积为：4×
2. “赵爽弦图”巧妙地利用“出入相补”的方法证明了勾股定理．小明受此启发，探究后发现，若将4个直角边长分别为a、b，斜边长为c的直角三角形拼成如图所示的五边形，用等积法也可以证明勾股定理，则小明用两种方法表示五边形的面积分别是（用含有a、b、c的式子表示）　 　，　 　．
c2+ab a2+b2+ab
解析： ①S＝c2+
ab×2＝c2+ab，
②S＝a2+b2+
ab×2＝a2+b2+ab．
3.某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2 m，宽为1.5 m，现在需要在相对的顶点间用一块木板加固，则这块木板的长为______.
2.5 m
4.小颖用四块完全一样的长方形方砖，恰好拼成如图1所示图案，如图2，连接对角线后，她发现该图案中可以用“面积法”采用不同方案去证明勾股定理．设AE＝a，DE＝b，AD＝c，请你找到其中一种方案证明：a2+b2＝c2．
证明：∵AE＝a，DE＝b，AD＝c，
∴S正方形EFGH＝EH2＝（a+b）2，
S正方形EFGH＝4S△AED+S正方形ABCD＝4×
∴（a+b）2＝2ab+c2，
∴a2+b2＝c2．
+c2，
5.如图，高速公路的同侧有A，B两个村庄，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA1 = 2 km，BB1 = 4 km，A1B1 = 8 km.现要在高速公路上A1，B1之间设一个出口P，使A，B两个村庄到P的距离之和最短，求这个最短距离之和．
解：如图作点B关于MN的对称点B′，
连接AB′交A1B1于点P，连接BP.
则AP+BP = AP+PB′ = AB′，
易知点P即为到点A，B距离之和最短的点．
过点A作AE⊥BB′于点E，
则AE = A1B1 = 8 km，B′E = AA1+BB1 = 2+4 = 6( km)．
由勾股定理，得B′A2 = AE 2+B′E 2 = 82+62，
∴ AB′ = 10 km，即AP+BP = AB′ = 10 km.
故出口P到A，B两村庄的最短距离之和是10 km.
课堂小结
勾股定理证明及应用
证明
毕达哥拉斯证法
应用
赵爽弦图
利用勾股定理解决实际问题
其他方法