18.2勾股定理的逆定理 教学课件 沪科版初中数学八年级（下）

(共23张PPT)
第 18章 勾股定理
18.2　勾股定理的逆定理
学 习 目 标
1
2
观察三边满足的三角形，猜想勾股定理逆定理的成立.
能运用勾股定理及的逆定理判断三角形是不是直角三角形.（重点）
能运用勾股定理的逆定理解决简单的实际问题.（难点）
3
新课导入
复习引入
B
C
A
问题1：在一个直角三角形中，三条边满足什么样的关系呢
如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.
b
c
a
问题2：求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边c的长：
① a＝3，b＝4；
② a＝2.5，b＝6；
③ a＝4，b＝7.5.
c=5
c=6.5
c=8.5
思考 ：以前我们已经学过了通过角的关系来确定直角三角形，如果一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是否为直角三角形呢？
知识讲解
一、勾股定理的逆定理
据说古埃及人用图1的方法画直角：把一根长绳打上13个等距离的结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（13）
（12）
（11）
（10）
（9）
思考：如果一个三角形三边长分别为3,4,5,那么这个三角形为直角三角形.你认为这个结论正确吗
下面有三组数分别是一个三角形的三边长a, b, c:
①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17.
问题 分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
都是直角三角形
下面有三组数分别是一个三角形的三边长a, b, c.
①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17.
问题：这三组数在数量关系上有什么相同点？
① 5,12,13满足52+122=132,
② 7,24,25满足72+242=252,
③ 8,15,17满足82+152=172.
a2+b2=c2
猜想：
命题2 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
△ABC≌ △ A′B′C′ 　　
？
∠C是直角　　　
△ABC是直角三角形　　
A　
B　
C　
a
b
c
　已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．
　求证：△ABC是直角三角形．
构造两直角边分别为a,b的Rt△A′B′C′
证一证:
证明：作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′=b，B′C′=a，
∴△ABC≌ △A′B′C′(SSS)，
∴∠C= ∠C′=90° ， 即△ABC是直角三角形.
则
A
C
a
B
b
c
勾股定理的逆定理:
如图，若a ，b ，c满足 a2+b2=c2 则∠C=90°.
A
C
B
a
b
c
勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应的角为直角.
特别说明：
归纳总结
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，
那么这个三角形是直角三角形.
二、勾股数
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
常见勾股数：
3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等.
勾股数拓展性质：
一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.
例1根据下列三角形的三边a,b,c的值，判断△ABC是不是直角三角形.如果是？指出那条边所对的角是直角.
(1) a=7 ， b=24 ，c=25;
解：(1)∵72+242=625，252=625，∴72+242=252，
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，
且∠C是直角.
(2) a=7 ，b=8 ，c=11.
(2)∵72+82=113，112=121，
∴72+82≠112，不符合勾股定理的逆定理，
∴这个三角形不是直角三角形.
运用勾股定理的逆定理判断直角三角形的一般步骤：
（1）找：确定三角形的最长边；
（2）算：分别计算出最长边的平方与另两边的平方和；
（3）比：通过比较来判断最长边的平方与另两边的平方和是否相等；
（4）判：作出结论，若相等，则说明这个三角形是直角三角形，否则不是直角三角形.
方法技巧：
例2 　判断满足下列条件的三角形是否为直角三角形.
（1）在△ABC 中，∠A ＝ 20°，∠B ＝ 70°；
（2）在△ABC 中，AC＝7，AB＝24，BC＝25 ；
（3）一个三角形的三边长a，b，c 满足（a+b)(a-b）＝ c2.
解：（1）在△ABC中，∵∠A+∠B=20°+70°=90°，∴△ABC是直角三角形；
（2）∵ ， ，
,
∴ ，
,
(3)∵（a+b）（a-b）=
,∴
，即
∴根据勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形.
∴
△ABC不是直角三角形；
判定三角形为直角三角形的方法
（1）用角判断：
①两个锐角互余的三角形是直角三角形；
②有一个角是90°的三角形是直角三角形；
（2）用边判断：如果已知条件与边有关，则可通过勾股定理的逆定理进行判断.
方法技巧：
【例3】已知:在△ABC中,三条边长分别为a=-1,b=2n,C=+1(n>1).求证:△ABC为直角三角形.
解：∵a +b =(n -1) +(2n)
=n4 -2n +1+4n
=n4 +2n +1
=(n +1)
=c ，
∴△ABC为直角三角形.(勾股定理的逆定理)
例4 下列几组数为勾股数的是（　　）
A.4，5，6 　　 B.12，16，20 　　
C.-10，24，26 　 　D.2.4，4.5，5.1
解析：
B
【例5】一个零件的形状如图1所示，按规定这个零件中∠A,∠DBC都应是直角.工人师傅量得这个零件各边尺寸如图2所示，这个零件符合要求吗？
解：∵ 32+42 = 52，
∴
.
又52+122 = 132，
∴ ,
∴ 这个零件符合要求.
图1
图2
结论：勾股定理的逆定理把一个三角形三边之间的数量关系（ a2+b2 = c2 ）转化为形的特征（三角形中有一个角是直角）.
随堂训练
1.下列各组数是勾股数的是 ( )
A.6，8，10 B.7，8，9
C.0.3，0.4，0.5 D.52，122，132
A
C
2.一块木板如图所示，已知AB＝4，BC＝3，DC＝12，AD＝13， ∠B＝90°，则木板的面积为( )
A.60 　　　 B.30 　　　　 C.24 　　　　 D.12
3．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝2，DB＝1，CD＝ ，则AC＝　 　．
∴DB2+CD2＝1+3＝4＝BC2，
∴△CDB是直角三角形，∠CDB＝90°，
∴∠CDA＝90°，
∵AB＝4，BD＝1，
∴AD＝3，
∴AC＝ .
＝
＝2
.
2
A
B
C
D
解析：∵BC＝2，DB＝1，CD＝
，
4.若 ，则以x，y，z为三边长的三角形是_________.
.
直角三角形
5.如图，哪些是直角三角形？哪些不是？
解：④⑤是直角三角形，因为三边满足勾股定理的逆定理.①②③⑥不是直角三角形.
解析：∵若 ，
∴∴，
∴为三边长的三角形是直角三角形.
6．已知△ABC的三边分别为，且满
c＝ ，求证：△ABC为直角三角形．
.
证明：∵＝4，∴（）2＝42，∴＝16，
∵＝1，∴＝14，
∵c＝ ，
∴c2＝14，∴，
∴△ABC为直角三角形．
课堂小结
勾股定理的逆定理
内容
如果三角形的三边长a ，b ，c满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
注意
最长边不一定是c， ∠C也不一定是直角
作用：从三边数量关系判定一个三角形是否是直角形三角形
勾股数
满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.