第19章矩形、菱形与正方形19.1矩形（第2课时） 教学详案--华师大版数学八年级（下）

第19章 矩形、菱形与正方形
19.1 矩形
第2课时 矩形的判定
教学目标 1.经历利用矩形的定义探究矩形的判定方法的过程，培养学生动手实验、观察、推理的意识，发展学生的形象思维和逻辑思维能力. 2.掌握矩形常见的两种识别方法. 3.学会利用矩形的判定进行简单的证明，培养学生演绎能力. 4.在探究矩形的识别方法的活动中获得成功的体验，从而锻炼学生克服困难的意志，建立学生的自信心. 教学重难点 重点：矩形判别方法的探究. 难点：运用矩形的判别方法进行证明或计算. 教学过程 新课导入 1.矩形的定义是什么？它能作为矩形的一个判别方法吗？ 2.矩形是轴对称图形吗？矩形是中心对称图形吗？ 3.矩形有哪些不同于平行四边形的性质？（数形结合加以解释） 矩形特有的性质：矩形的对角线相等且互相平分；矩形的四个角都是直角. 合作探究 【问题】矩形作为特殊的平行四边形，它具有“矩形的对角线相等”及“矩形的四个角都是直角”这样的特殊的性质.那么将这两个命题的条件和结论互换，会得到什么样的命题，这两个新命题成立吗？下面我们开始研讨. 【思考】对于一般的四边形，能否也可以找到判定它是矩形的方法？由矩形的另一条性质“矩形的四个角都是直角”，那么反过来，四个角都是直角的四边形是平行四边形吗？三个角都是直角的四边形是矩形吗？ 【活动】教师引导学生用矩形的定义进行证明，学生思考并讨论. 【教师总结】先证该四边形是平行四边形，再利用矩形的定义判定. 【结论】矩形的判定定理（一）：三个角都是直角的四边形是矩形. 几何语言： ∵ 在四边形ABCD中, ∠A＝∠B＝∠C＝90°， ∴ 四边形ABCD是矩形. 【操作展示】 （1）取两根长度不等的绳子，让两根绳子的中点重合并固定在桌面上，分别拉紧绳子的端点，并用笔和直尺画出绳子四个端点的连线.若两根绳子的长度相等，重复做上面的实验，体会所得到的图形的形状. （2）学生动手：画两条对角线相等的平行四边形，并与同伴交流、比较. 【猜想】对角线相等的平行四边形是矩形. 【验证】已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AB＝CD.求证：四边形ABCD是矩形. 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ ABCD（平行四边形的性质）， ∴ ∠ABC+∠DCB＝180°(两直线平行，同旁内角互补). 又∵ AC＝BD，BC＝BC， ∴ △ABC≌△DCB（SSS）, ∴ ∠ABC＝∠DCB＝90°, ∴四边形ABCD是矩形. 【结论】矩形的判定定理（二）：对角线相等的平行四边形是矩形. 几何语言： ∵ 在ABCD中,AC＝BD， ∴ ABCD是矩形. 例题讲解 例1 如图，点O是矩形ABCD的对角线AC与BD的交点，E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO上的一点，且AE＝BF＝CG＝DH. 求证：四边形EFGH是矩形. 证明：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AO＝BO＝CO＝DO. ∵ AE＝BF＝CG＝DH， ∴ OE＝OF＝OG＝OH， ∴ 四边形EFGH是平行四边形. ∵ EO +OG＝FO +OH，即EG＝FH， ∴ 四边形EFGH是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）. 例2 如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB ＝ 4 cm，求这个ABCD的面积. （教师引导，学生分析） 分析：根据等边三角形的性质求出OA＝OB＝AB＝4，根据平行四边形的性质求出OA＝OC,OB＝OD,得出AC＝BD＝8，证出四边形ABCD是矩形，由勾股定理求出BC的长即可解决问题. 解：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ OA＝OC，OB＝OD. 又∵ △ABO是等边三角形， ∴ OA＝OB＝AB＝4. ∴ OA＝OB＝OC＝OD＝4. ∴ AC＝BD＝2OA＝2×4＝8. ∴ ABCD是矩形.（对角线相等的平行四边形是矩形） ∴ ∠ABC＝90°.（矩形的四个角都是直角） 在Rt△ABC中， 由勾股定理，得, ∴ . ∴ . 【点评】本题考察了等边三角形和平行四边形的性质、矩形的判定及勾股定理的应用，难度不大，注意掌握数形结合思想的应用. 例3 已知，如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AG是 △ABC的外角∠FAC的平分线，DE∥AB，交AG于点E． 求证：四边形ADCE是矩形． 分析：首先利用外角性质得出∠B＝∠ACB＝∠FAE＝∠EAC，进而得到AE∥CD，即可求出四边形AEDB是平行四边形，再利用平行四边形的性质求出四边形ADCE是平行四边形，即可求出四边形ADCE是矩形． 证明：∵ AB＝AC，AD⊥BC， ∴ ∠B＝∠ACB，BD＝DC，∠ADC＝90°. 又∵ AE是∠CAF的平分线，∴ ∠FAE＝∠EAC. ∵ ∠B+∠ACB＝∠FAE+∠EAC， ∴ ∠B＝∠ACB＝∠FAE＝∠EAC，∴AE∥CD. 又∵ DE∥AB，∴ 四边形AEDB是平行四边形，∴ AE平行且等于BD. 又BD＝CD，∴ AE平行且等于CD， ∴ 四边形ADCE是平行四边形. 又∵ ∠ADC＝90°，∴ 平行四边形ADCE是矩形． 即四边形ADCE是矩形． 课堂练习 1．下列条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是( ) A．AB∥CD，AB＝CD，AC＝BD B．∠A＝∠B＝∠D＝90° C．AB＝BC，AD＝CD，且∠C＝90° D．AB＝CD，AD＝BC，∠A＝90° 2．已知点A，B，C，D在同一平面内，有6个条件：①AB∥CD，②AB＝CD，③BC∥AD，④BC＝AD，⑤AC＝BD，⑥∠A＝90°.从这6个条件中选出(直接填写序号) 个，能使四边形ABCD是矩形． 3．已知：如图，四边形ABCD是由两个全等的正三角形ABD和正三角形BCD组成的，M，N分别为BC，AD的中点．求证：四边形BMDN是矩形． 4．已知：如图，AB＝AC，AE＝AF，且∠EAB＝∠FAC，EF＝BC.求证：四边形EBCF是矩形． 参考答案 1． C 2．答案不唯一，只要写出一组即可：①②⑥，①③⑥，①②⑤，①③⑤，②④⑤，②④⑥. 3．证明：∵ △ABD和△BCD是两个全等的正三角形， ∴ AD＝BD＝AB＝BC，∠ADB＝∠DBC＝60°， ∴ AD∥BC. 又∵ M为AD中点，∴ MBBC，MB⊥BC， ∴ ∠DMB＝90°. 同理DNAD， ∴ MB＝DN， ∴ 四边BMDN是平行四边形.又∵ ∠DMB＝90°， ∴ 平行四边形BMDN是矩形，即四边形BMDN是矩形. 4．证明：∵ AE＝AF，∠EAB＝∠FAC，AB＝AC， ∴ △AEB≌△AFC， ∴ EB＝FC，∠ABE＝∠ACF. 又∵ AB＝AC，∴ ∠ABC＝∠ACB， ∴ ∠EBC＝∠FCB. ∵ EB＝FC，EF＝BC， ∴ 四边形EBCF是平行四边形， ∴ EB∥FC，∴ ∠EBC＋∠FCB＝180°， ∴ ∠EBC＝∠FCB＝90°， ∴ 四边形EBCF是矩形． 课堂小结 矩形的判定思路： 布置作业 教材P106第1-3题. 板书设计 19.1 矩形 第2课时 矩形的判定 矩形的判定方法： 1. 有一个角是直角的平行四边形是矩形； 2.对角线相等的平行四边形是矩形； 3.三个角都是直角的四边形是矩形. 教学反思 教学反思 教学反思 教学反思