19.2平行四边形（第5课时利用对角线判定平行四边形） 教学课件 沪科版初中数学八年级（下）

(共20张PPT)
19.2　平行四边形
第5课时　　利用对角线判定平行四边形　
第19章 四边形
学 习 目 标
让学生探索并学会证明“对角线互相平分的四边形是平行四边形”.
使学生能够应用平行四边形的判定定理解决问题.
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新课导入
【问题】如图,作两条直线 ， ,相交于点O,在直线 上截取OA=OC,在 直线上截取OB=OD,连接AB,BC,CD,DA.这样画出的四边形ABCD的对角线互相平分,它是平行四边形吗 为什么 大胆猜想，你可以给出证明吗？
猜想：四边形ABCD是平行四边形.
A
B
C
D
,
　　如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD．求证：四边形ABCD是平行四边形．
　猜想 ：对角线互相平分的四边形是平行四边形．　　
D
A
B
C
O
　　证明：∵　OA=OC，OB=OD，∠1=∠2，
∴　△AOD≌△COB(SAS)．
∴　∠3=∠4．
∴　AD∥BC．
同理　AB∥DC．
∴　四边形ABCD是平行四边形．
1
2
3
4
知识讲解
　 符号语言：
∵OA＝OC,OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
　　 定理 对角线互相平分的四边形是平行四边形．　　
例1 已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，并且AE=CF.
D
O
A
B
C
E
F
证明：连接BD，交AC于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴ AO=CO，BO=DO.
∵AE=CF,
∴AO-AE=CO-CF , 即EO=FO.
又 BO=DO,
∴ 四边形BFDE是平行四边形.
求证：四边形BFDE是平行四边形
例2 已知，如图，AB，CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E，F分别是OC，OD的中点.求证：
(1)△AOC≌△BOD；
(2)四边形AFBE是平行四边形.
分析：(1)利用已知条件和全等三角形的判定方法即可证明△AOC≌△BOD；
(2)此题已知AO＝BO，要证四边形AFBE是平行四边形，只需证OE＝OF.
证明：(1)∵AC∥BD，
∴∠C＝∠D.
在△AOC和△BOD中，
∴△AOC≌△BOD(AAS).
(2)∵△AOC≌△BOD，
∴CO＝DO.
∵E，F分别是OC，OD的中点，
∴OF＝ OD，OE＝ OC，
∴EO＝FO.
又∵AO＝BO，
∴四边形AFBE是平行四边形.
文字语言 图形语言 几何语言
平行四边形判定方法
判定
方法1
定义法
判定方法2
判定方法3
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
O
A
B
C
D
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
∵AB//CD, AD//BC,
∴四边形ABCD是
平行四边形
∵AB=CD,AD=BC,
∴四边形ABCD是
平行四边形
∵ ∠ A= ∠ C,
∠ B= ∠ D,
∴四边形ABCD是
平行四边形
∵AO=CO,BO=DO,
∴四边形ABCD是
平行四边形
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
对角线互相平分的四边形是平行四边形
随堂训练
1.如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（　　）
A．OA=OC，OB=OD
B．AB=CD，AO=CO
C．AB=CD，AD=BC
D．∠BAD=∠BCD，AB∥CD
B
O
D
A
C
B
2.小玲的爸爸在钉制平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条AC，BD的中点重叠，并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形.这种方法的依据是(　 　)
A.对角线互相平分的四边形是平行四边形
B.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
C.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D.两组对边分别平行的四边形是平行四边形
A
3.如图，AC，BD是相交的两条线段，点O为它们的中点.当BD绕点O旋转时，连接AB，BC，CD，DA，所得到的四边形ABCD始终为 形.
平行四边
A
B
C
D
O
4.如图，四边形ABCD的对角线交于点O，从下列条件①AD∥BC，②AB＝CD，③AO＝CO，④∠ABC＝∠ADC中选出两个，使得四边形ABCD是平行四边形，则你选的两个条件是 .(填写一组序号即可)
A
B
C
D
O
①③(答案不唯一)
5.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BO＝DO，点E、F分别在AO，CO上，且BE∥DF，AE＝CF．
求证：四边形ABCD为平行四边形．
A
B
C
D
E
F
O
证明：∵BE∥DF，
∴∠BEO＝∠DFO，
在△BEO与△DFO中，
，
∴△BEO≌△DFO（ASA），
∴EO＝FO，
∵AE＝CF，
∴AE+EO＝CF+FO，
即AO＝CO，
∵BO＝DO，
∴四边形ABCD为平行四边形．
∠BEO=∠DFO
BO=DO,
∠BOE=∠DOF
6.如图，四边形ABCD中AC、BD相交于点O，延长AD至点E，连接EO，
并延长交CB的延长线于点F，∠E＝∠F，AD＝BC．
（1）求证：O是线段AC的中点：
（2）连接AF、EC，证明四边形AFCE是平行四边形．
A
B
C
D
O
E
F
A
B
C
D
O
E
F
证明：（1）∵∠E＝∠F，
∴AD∥BC，
∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AC，BD互相平分；
即O是线段AC的中点．
（2）∵AD∥BC，
∴∠EAC＝∠FCA，
在△OAE和△OCF中，
∠EAO=∠FCO
AO=CO,
∠AOE=∠COF
∴△OAE≌△OCF（ASA）．
∴OE＝OF，
∴四边形AFCE是平行四边形．
7.如图，四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F，连接CF．四边形BDFC是平行四边形吗？证明你的结论．
A
B
C
D
E
F
解：四边形BDFC是平行四边形．理由如下：
∵∠A＝∠ABC＝90°，
∴∠A+∠ABC＝180°，
∴BC∥AF，
∴∠BCE＝∠FDE，
∵E是CD中点，
∴CE＝DE，
在△BCE和△FDE中，
∴△BCE≌△FDE（ASA），
∴BE＝EF，
∵CE＝DE，BE＝EF，
∴四边形BDFC为平行四边形．
A
B
C
D
E
F
∠BCE=∠FDE,
CE=DE,
∠CEB=∠DEF,
课堂小结
平行四边形的判定方法
定义法:两组对边分别平行的四边形叫平行四边形.
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
从边判定
从对角线判定