19.2平行四边形（第6课时三角形的中位线） 教学课件 沪科版初中数学八年级（下）

(共21张PPT)
19.2　平行四边形
第6课时　三角形的中位线　　
第19章 四边形
学 习 目 标
理解三角形中位线的定义.
理解并掌握三角形中位线的性质定理，能够应用这个定理解决有关的问题.（重点）
通过探索，猜想，证明三角形的中位线定理，进一步发展推理论证的能力．
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新课导入
动手操作（探究发现，教师点评）
你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗
连接每两边的中点,看看得到了什么样的图形
【结论】四个全等的三角形.
例1 已知,直线, ， , 互相平行,直线AC直线分别交直线 , , 于点A,B,C和点且AB=BC.
求证: .
探究一 一条直线截一组平行线的性质
分析：要证线段AB=BC，可考虑把线段转化在两个全等的三角形中，故过点
作EF∥AC，利用平行四边形的判定和性质证明即可.
A
B
C
E
F
知识讲解
结论：经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边.
证明：过点 作EF∥AC，分别交直线 ， 于点E,F.
∴四边形AB E,BCF 都是平行四边形.
∴E =AB, F=BC.
∵AB=BC,
∴E = F.
∵∠ E =∠ F ,∠ F=∠ F,
∴
∴
探究二 三角形的中位线定理
中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
①如果D，E分别为AB，AC的中点,连接DE, 那么DE为△ABC的中位线.
②如果DE为△ABC的中位线，那么 D，E分别为AB，AC的中点.
【问题1】
【问题2】除此之外△ABC还有其它中位线吗 你会画吗 （展示图形）
任意一个三角形都有三条中位线.
【问题3】
请你说出三角形的中线和中位线的区别.
中位线是两个中点的连线，而中线是一个顶点和对边中点的连线.
【问题4】
你能通过剪拼的方式，将一个三角形拼成一个与其面积相等的平行四边形吗？
【问题5】
如图，DE是△ABC的中位线，你能猜出DE与BC有怎样的位置关系和数量关系？能证明你的猜想吗？
猜想：DE∥BC，DE＝
BC.
已知：在△ABC中，DE是△ABC的中位线.
求证：DE∥BC ,DE＝ BC.
证明: （方法一）如图,过点D作DE′∥BC,交AC于点E′,则点E′与点E重合.
∴DE∥BC.
同理，过点D作DF∥AC,交BC于点F,则点F为BC的中点.
∴四边形DFCE是平行四边形.
A
B
C
D
E
F
BC.
∴DE=FC＝
（方法二）如图,延长DE至F,使EF＝DE,连接CF.
∵ AE＝CE, ∠AED＝∠CEF，DE＝FE，
∴△ADE≌△CFE(SAS) .
∴AD＝CF,∠A＝∠ECF.
∴CF∥AB.
∵AD＝BD,
∴BD＝CF.
∴四边形DBCF是平行四边形.
∴DF∥BC，DF＝BC.
BC.
∴DE∥BC，DE＝
三角形的中位线平行于三角形的
第三边且等于第三边的一半．
D
E
在△ABC中，若D、E分别是边AB、AC的中点，
则DE∥BC，DE= BC．
三角形中位线定理：
符号语言：
【例2】如图，在△ABC中，D，E分别为AC，BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若DF＝3，则AC的长为(　　)
A. 　　 　　 B.3 　 　　　C.6 　　　 D.9
解析：∵D，E分别为AC，BC的中点，∴DE∥AB，∴∠2＝∠3.
又∵AF平分∠CAB，∴∠1＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AD＝DF＝3，
∴AC＝2AD＝6.
答案：C.
【例3】如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，点N为BC的中点，AM平分∠BAC，CM⊥AM，垂足为点M，延长CM交AB于点D，求MN的长.
解：∵AM平分∠BAC，CM⊥AM，
∴AD＝AC＝3，DM＝CM.
∵BN＝CN，
∴MN为△BCD的中位线，
∴MN＝ (5-3)＝1.
随堂训练
1.如图所示，在△ABC中，点E，F分别为AB，AC的中点.若EF的长为2， 则BC的长为( )
A.1　　　　　B.2　　　　　C.4　　　　　　D.8
2.如图所示，在△ABC中，已知AB=8，∠C=90°，∠A=30°，
DE是△ABC的中位线，则DE的长为( )
A.4　　　　　B.3　　　　　C.2
　　　　　D.2
C
D
3.如图，C，D分别为EA，EB的中点，∠E＝30°，∠1＝110°，则∠2的度数为(　　)
A.80° 　　　　　 B.90°　　　　　 C.100° 　　　 D.110°
A
　　
4.如图所示，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E是BC的中点.若OE=
3 cm，则AB的长为( )
A.3 cm　　　　B.6 cm　　　　C.9 cm　　　　D.12 cm
5.如图所示，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，AC=12，
F是DE上一点，连接AF，CF，DF
=1.若∠AFC=
90°，则BC的长度为( )
A.12　　　　　　B.13　　　　　C.14　　　　　　D.15
B
C
　　
6.直角三角形两条边长分别是6和8，则连接两条直角边中点的线段长是( )
A.3　　　　　　B.5　　　　　C.4或5　　　　　D.5或3
7.如图所示，在△ABC中，BC>AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F，点E是AB的中点，连接EF.求证：EF∥BC.
C　
证明：∵CF平分∠ACB，DC＝AC，
∴CF是△ACD的中线，∴点F是AD的中点.∵点E是AB的中点，∴EF∥BD，即EF∥BC.
A
B
D
C
F
E
8.已知:如图,在四边形ABCD中, E,F,G,H分别为各边的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形.
证明:如图，连接AC.
∵E,F,G,H分别为各边的中点,
∴EF∥AC,EF＝ AC.
HG∥AC,HG＝ AC.
∴ EF∥HG, EF＝HG.
∴四边形EFGH是平行四边形.
9. 如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点
C，连接AC和BC，怎样量出A、B两点间的距离？
根据是什么？
N
M
解:分别找出AC、BC中点M、N，
量出M、N两点间距离，则AB=2MN.
根据是三角形中位线定理．
10.如图，E为平行四边形ABCD中DC边的延长线上一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC、BD于点F、G，连接AC交BD于点O，连接OF，判断AB与OF的位置关系和大小关系，并证明你的结论.
解：AB∥OF，AB＝2OF.
证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，OA＝OC.
∴∠BAF＝∠CEF，∠ABF＝∠ECF.
∵CE＝DC, CD＝AB，∴AB＝CE.
在△ABF和△ECF中，
∴△ABF≌△ECF(ASA)，∴BF＝CF.
∵OA＝OC，∴OF是△ABC的中位线，
∴AB∥OF，AB＝2OF.
课堂小结
1、三角形中位线的定义:
______________________叫做三角形的中位线 .
2、三角形的中位线与中线的区别：中位线是__________的连线；中线是_________的连线.
3、三角形的中位线定理：三角形两边中点的连线线____于三角形的第三边，并且等于第三边的____．
连接三角形两边中点的线段
中点与中点
顶点与中点
平行
一半