19.3矩形、菱形、正方形（第1课时矩形的定义与性质） 教学课件 沪科版初中数学八年级（下）

(共23张PPT)
19.3　矩形、菱形、正方形
第1课时 矩形的定义与性质　　　
第19章 四边形
学 习 目 标
2
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探索并掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个定理．（重点）
理解矩形的概念，明确矩形与平行四边形的区别与联系.
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探索并证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题．（重点）
新课导入
1.平行四边形的定义？平行四边形的性质？
2.问题1：在观察图片后，你能从中发现你熟悉的图形吗？
你认为它们有什么样的共同特征呢？
问题2：请同学们观察，彩图中的平行四边形与?ABCD相比较，还有不同点吗？
结论：这些平行四边形中有一个角是直角
预习新知
有一个角是直角的平行四边形是矩形
矩形的定义：
矩形是特殊的平行四边形
知识讲解
探究活动一：矩形四角的大小关系
矩形的四个角都是直角.
问题2：既然它具有平行四边形的所有性质，那么矩形是否具有它独特的性质呢？
已知：矩形ABCD.如图：
求证：∠A=∠B=∠C=∠D.
证明：由定义知，矩形必有一个角是直角，设∠A=90°.
D
A
B
C
∵AB∥DC, AD∥BC,
∴∠B =∠C=∠D=90°.（两直线平行，同旁内角互补）
即矩形ABCD的四个角都是直角.
矩形是一个特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？
猜想：矩形的四个角都是直角．
观察内角的变化、测量一下每个角的度数
证明猜想1：矩形的四个角都是直角．
已知：如图，四边形ABCD是矩形.
求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
A
B
C
D
证明： ∵四边形ABCD是矩形,
∴ ∠A=90°.
又矩形ABCD是平行四边形,
∴ ∠A=∠C , ∠B = ∠D,
∠A +∠B = 180°,
∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90°,
即矩形的四个角都是直角.
探究活动二：对角线的数量关系
学生用橡皮筋做出两条对角线，让学生观察这两条对角线的关系？
结论：矩形的两条对角线相等.
已知：矩形ABCD，如图：
求证：AC=BD.
证明: ∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BCD=90°,AB=DC,
在Rt△ABC和Rt△DCB中,
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（SAS）,
∴AC=BD.
A
B
C
D
探究活动三：直角三角形中斜边上的中线与斜边的数量关系
如图：矩形ABCD中，AO＝_____AC，BO＝______BD.BO是Rt△ABC的什么线？由此你可以得到什么结论？
A
B
C
D
O
结论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
BO是Rt△ABC中斜边AC上的中线.
BO等于AC的一半.
∵ AC=BD,BO=DO,
∴ BO= BD,BO= AC.
具备平行四边形所有的性质
A
B
C
D
O
角
边
对角线
对边平行且相等
对角相等，邻角互补
对角线互相平分
矩形的一般性质：
例 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°,AB=4㎝,求矩形对角线的长.
∴ AC=BD，∴ OA＝OB.
∵ ∠AOB=120°,
在Rt△ABD中，BD＝2AD＝8 cm.
∴ 矩形的对角线长 8㎝.
解：∵ 四边形ABCD是矩形,
D
C
B
A
o
∴∠OAB=∠OBA=
=30°.
A
B
C
D
E
F
O
如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，点E、点F分别在AO、DO上，且∠EBO＝∠FCO．
（1）求证：EO＝FO；
（2）若∠EBO＝∠ACB＝30°，BC＝
，求△BEO的面积．
练一练
A
B
C
D
E
F
O
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝ BD，OC＝ AC，且AC＝BD，
∴OB＝OC，
在△EBO和△FCO中，
∵ ，
∴△EBO≌△FCO（ASA），
∴OE＝OF；
A
B
C
D
E
F
O
（2）解：∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵∠EBO＝∠ACB＝30°，
∴∠OBC＝30°，
∴∠BEC＝180°﹣30°﹣30°﹣30°＝90°，
∵BC＝ ，
∴BE＝ BC＝ ，
Rt△BEO中，∵∠EBO＝30°，
∴OE＝1，
.
∴△BEO的面积=
随堂训练
1、矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A.对角相等 B.对边相等
C.对角线相等 D.对角线互相平分
C
　
2. 已知矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线所夹锐角的度数为 ( )
　A．50° B．60° C．70° D．80°
D
3.如图：已知：在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于O，∠ ACB＝30°，AB＝5㎝，则AC＝ ㎝，BD＝ ㎝.
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4.如图，在矩形ABCD中，点E，F在对角线BD上.请添加一个条件，使得结论“AE＝CF ”成立，并加以证明.
解：添加条件：BE＝DF（或DE＝BF或AE∥CF或∠AEB＝∠DFC或∠DAE＝∠BCF或∠AED＝∠CFB或∠BAE＝∠DCF等）.
选择BE＝DF.
证明：在矩形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，
∴ ∠ABE＝∠CDF.
∵ BE＝DF，∴ △ABE≌△CDF（SAS）.
∴ AE＝CF.
5.如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，DF＝DC，DF⊥AE于F．
（1）求证：AE＝BC；
（2）如果AB＝3，AF＝4，求EC的长．
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，AB＝DC，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAF，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD＝90°＝∠B，
∵DF＝DC，
∴AB＝DF，
在△ABE和△DFA中 ，
∴△ABE≌△DFA（AAS），
∴AE＝AD，
∴AE＝BC；
（2）解：由（1）得：△ABE≌△DFA，
∴BE＝AF＝4，AE＝BC，
∵∠B＝90°，
∴AE＝ = ＝5，
∴BC＝5，
∴EC＝BC﹣BE＝5﹣4＝1．
课堂小结
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．　　
矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
矩形的 两条对角线互相平分
矩形的两组对边分别相等
矩形的两组对边分别平行
矩形的四个角都是直角
矩形 的两条对角线相等
边
对角线
角
矩
形
的
性
质