19.3矩形、菱形、正方形（第2课时矩形的判定） 教学课件 沪科版初中数学八年级（下）

(共21张PPT)
19.3矩形、菱形、正方形
第2课时　矩形的判定　
第19章 四边形
学 习 目 标
2
经历矩形判定定理的猜想与证明过程；
理解并掌握矩形的判定定理；（重点）
能应用矩形的判定定理解决简单的证明题和计算题. （难点）
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新课导入
一位很有名望的木工师傅，招收了两名徒弟，一天，师傅有事外出，两徒弟就在家练习用两块四边形的废料各做了一扇矩形的门，做完之后，两人都说对方的门不是矩形，而自已的是矩形.
　　除了矩形的定义外，有没有
其他判定矩形的方法呢？
问题
你能想一个办法确定
谁做的门是矩形吗？
情境一：
工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形，你知道为什么吗？
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形.
你能证明上述结论吗？
知识讲解
已知：如图,在□ABCD中, AC=DB.
求证：□ABCD是矩形.
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴AD = BC,
∵DC = CD,AC = DB,
∴ △ADC≌ △ BCD ,∴∠ADC = ∠BCD.
∵∠ADC + ∠BCD = 180°,
∴ ∠ADC = ∠BCD= 90°,
∴ □ ABCD是矩形（矩形的定义）.
A
B
C
D
矩形的判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形.
情境二：某同学用“边——直角、边——直角、边——直角、边”这样四步，画出了一个四边形，他说这就是一个矩形，他的判断对吗？为什么？
猜想：有三个角是直角的四边形是矩形 .
你能证明上述结论吗？
矩形的判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形.
已知：四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°.
D
A
B
C
求证：四边形ABCD是矩形.
证明：∵∠A＝∠B ＝∠C ＝90°，　
∴ ∠B＋∠C＝180° ,∠A＋∠B＝180°，　
∴ AB∥CD， AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.　
∵∠A＝90°,　
∴四边形ABCD是矩形.
例1已知:如图,在△ABC中,AB=AC,点D是AC的中点,直线AE∥BC,过点D作直线EF∥AB,分别交AE,BC于点E,F.
求证:四边形AECF是矩形.
A
B
C
D
E
F
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分析：根据题意可先利用三角形全等证明AE＝CF，从而得四边形AFCE是平行四边形，根据四边形ABFE是平行四边形可得AB＝EF,得出AC＝EF，证出四边形AFCE是矩形.
证明：∵AE∥BC，
∴∠1=∠2.
在△ADE和△CDF中
∵∠1=∠2,∠ADE=∠CDF,AD=CD，
∴△ADE≌△CDF.
∴AE=CF.
∴四边形AECF是平行四边形.
又∵四边形ABFE是平行四边形,∴ EF = AB.
∵AC=AB,∴EF=AC.
∴四边形AECF是矩形.
A
B
C
D
E
F
G
H
O
已知：矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点，AE=BF=CG=DH.
求证：四边形EFGH是矩形.
证明： ∵四边形ABCD是矩形,
∴ AO=BO=CO=DO.
又∵ AE=BF=CG=DH,
∴OE=OF=OG=OH,
∴四边形EFGH是平行四边形.
又∵EO+OG=FO+OH,
即EG=FH,
∴四边形EFGH是矩形.
练一练：
例2.如图， □ ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H，求证：四边形 EFGH为矩形．
A
B
D
C
H
E
F
G
证明：在□ ABCD中，AD∥BC,
∴∠DAB+∠ABC=180°.
∵AE与BG分别为∠DAB、
∠ABC的平分线,
∴四边形EFGH是矩形．
同理可证∠AED=∠EHG=90°,
∴∠AFB=90°，
∴∠GFE=90°.
∴ ∠BAE+ ∠ABF= ∠DAB+ ∠ABC=90°.
如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，AE平分∠BAC的外角，且∠AEB＝90°．
求证：四边形ADBE是矩形．
A
B
C
D
E
F
练一练：
A
B
C
D
E
F
证明：
∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1＝∠2，
∵AE是∠BAF的平分线，∴∠3＝∠4，
∵∠1+∠2+∠3+4＝180°，
∴∠2+∠3＝90°，
即∠DAE＝90°，
∵AB＝AC，∠1＝∠2，∴AD⊥BC，
即∠ADB＝90°，
∵∠AEB＝90°，∴四边形ADBE是矩形．
1
2
3
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随堂训练
　
1.下列说法正确的是(　　)
(1)对角线相等的四边形是矩形;
(2)对角线互相平分且相等的四边形是矩形;
(3)有一个角是直角的四边形是矩形;
(4)有三个角是直角的四边形是矩形;
(5)四个角都相等的四边形是矩形;
(6)对角线相等且互相垂直的四边形是矩形.
A.(1)(2)(3) B.(2)(4)(5)
C.(4)(5)(6) D.(3)(4)(6)
B
2.如图所示,工人师傅做铝合金窗框分下面几个步骤进行:
① ② ③ ④
(1)先截出两对符合规格的铝合金窗料,如图①所示,即AB＝CD,EF＝GH.
(2)摆放成如图②的四边形，这时窗框的形状是 　　　　　
根据的数学道理是　　　　 .
(3)将直角尺靠紧窗框的一个角(如图③)调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时(如图④)，说明窗框合格.这时窗框的形状是 ，根据的数学道理是 .
平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
矩形
有一个角是直角的平行四边形是矩形
3.如图所示,在□ABCD中,AB＝6,BC＝8,AC＝10,求证：四边形ABCD是矩形.
证明: ∵ 在△ABC中,
AB＝6,BC＝8,AC＝10,
∴ AC2＝AB2+BC2,
∴ ∠ABC＝90°.
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ 四边形ABCD是矩形.
4.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长OA到点N，使ON＝OB，再延长OC到点M，使 CM＝AN.
求证：四边形NDMB为矩形.
证明：∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴ AO＝OC，OD＝OB.
∵ AN＝CM，ON＝OB，
∴ ON＝OM＝OD＝OB，
∴ 四边形NDMB为平行四边形，MN＝BD，
∴ 平行四边形NDMB为矩形.
5.如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB ＝ 4 cm，求这个□ABCD的面积.
分析：根据等边三角形的性质求出OA＝OB＝AB＝4，根据平行四边形的性质求出OA＝OC,OB＝OD,得出AC＝BD＝8，证出四边形ABCD是矩形，由勾股定理求出BC的长即可解决问题.
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA＝OC，OB＝OD.
又∵ △ABO是等边三角形，
∴ OA＝OB＝AB＝4.
∴ OA＝OB＝OC＝OD＝4.
∴ AC＝BD＝2OA＝2×4＝8.
∴□ABCD是矩形.（对角线相等的平行四边形是矩形）
∴ ∠ABC＝90°.（矩形的四个角都是直角）
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
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∴
课堂小结
有一个角是直角的平行四边形是矩形
对角线相等的平行四边形是矩形
有三个角是直角的四边形是矩形
运用定理进行计算和证明
矩形的判定
定义
判定定理