19.3矩形、菱形、正方形（第3课时菱形的定义与性质） 教学课件 沪科版初中数学八年级（下）

(共23张PPT)
19.3 矩形、菱形、正方形
第3课时　菱形的定义与性质　
第19章 四边形
学 习 目 标
2
能从现实生活中抽象出图形的过程，了解菱形的概念及其与平行四边形的关系.
1
应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题．（难点）
探索菱形性质的过程，发展合情推理能力.（重点）
3
导入新课
1.复习回顾
平行四边形的定义？平行四边形的性质？
2.活动
观察下列图片，找出你所熟悉的图形.
问题1：在观察图片后，你能从中发现你熟悉的图形吗？
你认为它们有什么样的共同特征呢？
问题2：请同学们观察，彩图中的平行四边形与□ABCD相比较，还有不同点吗？
知识讲解
思考:如果从边的角度,将平行四边形特殊化,内角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等,这个特殊的平行四边形叫什么呢
平行四边形
定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
菱形
邻边相等
菱形是特殊的平行四边形.
平行四边形不一定是菱形.
将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可得到一个菱形.
菱形的性质
画出菱形的两条折痕,并通过折叠手中的图形回答以下问题：
１.菱形是轴对称图形吗？
2.菱形有几条对称轴？
3.对称轴之间有什么关系？
4.你能看出图中哪些线段和角相等？
相等的线段：
相等的角：
等腰三角形有：
直角三角形有：
全等三角形有：
菱形ABCD中，
AB=CD=AD=BC
OA=OC,OB=OD
∠DAB=∠BCD , ∠ABC =∠CDA
∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90°
∠1=∠2=∠3=∠4,∠5=∠6=∠7=∠8
△ABC , △ DBC , △ACD,△ABD
Rt△AOB, Rt△BOC ,Rt△COD, Rt△DOA
Rt△AOB ≌Rt△BOC≌Rt△COD ≌Rt△DOA
△ABD≌△CBD ,△ABC≌△ADC
菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质.
由此我们可以得到菱形的性质：
菱形是轴对称图形, 对称轴有两条,是菱形两条对角线所在的直线.
问题:猜想菱形的四条边在数量上有什么关系 菱形的两条
对角线有什么关系
猜想1 菱形的四条边都相等.
猜想2 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对
角线平分一组对角.
已知：如图，四边形ABCD是菱形.
求证:(1)AB = BC = CD =AD；
(2)AC⊥BD；
∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD.
又∵AB = CD，AD = BC,
∴AB = BC = CD =AD.
A
B
C
O
D
证一证
B
A
D
O
C
（2）∵AB = AD,
∴△ABD是等腰三角形.
又∵四边形ABCD是菱形,
∴OB = OD .
在等腰三角形ABD中,
∵OB = OD，
∴AO⊥BD，AO平分∠BAD，
即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC.
同理可证∠DCA=∠BCA，
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
例1 如图，已知菱形的两条对角线长分别为，.
求菱形的面积.
A
B
C
D
O
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD,
∴S菱形ABCD=S△ABD +S△CBD
= BD·AO+ BD·CO
= BD(AO+OC)
= AC·BD.
你有什么发现？
总结：菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半
解：设菱形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O,AC=，BD=.
如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB＝2．
（1）求菱形ABCD的周长；
（2）若AC＝2，求菱形ABCD的面积．
练一练
A
B
C
D
O
解：（1）∵四边形ABCD是菱形，AB＝2，
∴BC＝CD＝AD＝AB＝2，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝8；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝ AC＝1，
∴BD＝2OB＝2 ，
∴形ABCD的面积＝ AC×BD＝ ×2×2＝2 .
∴OB＝ ＝ ，
例2　如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O, ∠BAD＝60°，BD＝6.
求菱形的边长AB和对角线AC的长.
分析：①因为菱形的邻边相等，一个内角是60°.这样就可以得到等边三角形ABD,又BD＝6，所以菱形的边长也是6；②由菱形的对角线互相垂直，可以得到直角三角形AOB.由菱形的对角线互相平分，可以得到OB＝3，根据勾股定理就可以求出OA的长，从而可求出AC.
解:∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB＝AD(菱形的四条边都相等)，
AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直)，
OB＝OD＝ BD＝ ×6＝3(菱形的对角线互相平分).
在等腰三角形ABD中，∵ ∠BAD＝ 60°，
∴ △ABD 是等边三角形，∴ AB＝BD＝6.
在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2+OB2＝AB2 ，
∴AB
∴ AC＝2OA＝6 (菱形的对角线互相平分).
练一练
如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE：AC＝1：2，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．
（1）求证：OE＝CD；
（2）若菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，求AE的长．
A
B
C
D
O
E
F
分析：（1）先求出四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出∠COD＝90°，证明OCED是矩形，可得OE＝CD即可；
（2）根据菱形的性质得出AC＝AB，再根据勾股定理得出AE的长度即可．
A
B
C
D
O
E
F
（1）证明：在菱形ABCD中，OC＝ AC．
∵DE：AC＝1：2，
∴DE＝OC，
∵DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵AC⊥BD，
∴平行四边形OCED是矩形．
∴OE＝CD．
（2）解：在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴AC＝AB＝4．
∴在矩形OCED中，
CE＝OD＝ ＝ ＝2．
在Rt△ACE中，
AE＝ ＝ ＝ .
随堂训练
B
3.如图，菱形ABCD的周长为48cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长为_______.
6cm
1.菱形不具备的性质是（　　）
A.四条边都相等 B.对角线一定相等
C.是轴对称图形 D.是中心对称图形
2.已知四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为菱形，还
需要 添加一个条件，这个条件是(　　)
A.AB＝BC　 　B.AB＝CD C.AD＝BC D.AC＝BD
A
B
C
D
O
E
A
4.如图，已知菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则这个菱形的高DE为
D
E
A
B
C
4.8cm
5.如图，O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点，CD＝5cm，OD＝3cm；过点C作CE∥DB，过点B作BE∥AC，CE与BE相交于点E.
(1)求OC的长；
(2)求四边形OBEC的面积．
解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.
在RT△OCD中，由勾股定理得OC＝4cm.
(2)∵CE∥DB，BE∥AC，
∴四边形OBEC为平行四边形.
又∵AC⊥BD，即∠COB＝90°，
∴平行四边形OBEC为矩形.
∵OB＝OD＝3cm，
∴S矩形OBEC＝OB·OC＝4×3＝12(cm2)．
D
B
A
C
E
O
6.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH．
（1）求证：∠OHD＝∠ODH；
（2）若OC＝4，BD＝6，求菱形ABCD的周长和面积．
D
E
A
B
C
O
分析:（1）先根据菱形的性质得OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC，则利用DH⊥AB得到DH⊥CD，∠DHB＝90°，所以OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，得到OH＝OD＝OB，利用等腰三角形的性质证明结论；
（2）先根据菱形的性质得OD＝OB＝ BD＝3，
OA＝OC＝4，BD⊥AC，再根据勾股定理计算出CD，然后利用菱形的性质和面积公式求菱形ABCD的周长和面积．
（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC，
∵DH⊥AB，
∴∠DHB＝90°，
∴OH＝ BD＝OD，∴∠OHD＝∠ODH；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴OD＝OB＝ BD＝3，
∴菱形ABCD的周长＝4CD＝20
菱形ABCD的面积=
×6×8＝24．
OA＝OC＝4，BD⊥AC，
在 Rt△OCD中，CD＝ =5，
课堂小结
菱形的性质及计算
菱形的性质
有关计算
边
1.周长=边长的四倍
2.面积=底×高=两条对角线乘积的一半
角
对角线
1.两组对边平行且相等；
2.四条边相等
两组对角分别相等，邻角互补
1.两条对角线互相垂直平分；
2.每一条对角线平分一组对角