19.3矩形、菱形、正方形（第4课时菱形的判定） 教学课件 沪科版初中数学八年级（下）

(共22张PPT)
19.3矩形、菱形、正方形
第4课时 菱形的判定　
第19章 四边形
学 习 目 标
2
探究菱形的判定定理，并识记菱形的判定定理.（重点）
1
会用菱形的判定方法进行有关的证明和计算．（难点）
导入新课
1.复习回顾
（1）菱形的定义？
答：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
（2）菱形的性质（边、角、对角线、对称性）？
①菱形的四条边相等；
②菱形的对角线互相垂直平分；
③菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线.
2.思考？
菱形的定义可以作为菱形的判定吗？
知识讲解
根据菱形的定义,可得菱形的第一个判定方法：
AB=AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形.
数学语言
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
A
B
C
D
思考 还有其他的判定方法吗？
如图,以点A为端点任意画两条相等的线段AB和AD,再分别以点B,D为圆心、AB长为半径画弧,两弧相交于点C,连接BC,DC,
C
A
B
D
想一想：根据作法四边形ABCD是菱形吗 为什么
你能验证你的作法对吗？
探究一 四边相等的四边形是菱形
证明：∵AB=BC=CD=AD;
∴AB=CD , BC=AD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵AB=BC,
∴四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
已知：如图，四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD.
求证：四边形ABCD是菱形.
四条边都相等的四边形是菱形.
AB=BC=CD=AD
几何语言描述：
∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD，
∴四边形 ABCD是菱形.
A
B
C
D
菱形ABCD
菱形的判定定理：
四边形ABCD
A
B
C
D
探究二 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
如图,画两条互相垂直的直线 和 ,两直线相交于点O,在上取两点A,C、使OA=OC,在 上取两B,D,使OB=OD,顺次连点A,B,C,D,四边形ABCD是菱形吗 为什么？
A
B
C
D
你能证明这一猜想吗？
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？
O
用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个平行四边形.那么转动木条,这个平行四边形什么时候变成菱形 对此你有什么猜想？
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
小实验
A
B
C
O
D
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD相交于点O ，AC⊥BD.
求证：□ABCD是菱形.
证明： ∵四边形ABCD是平行四边形.
∴OA=OC.
又∵AC⊥BD,
∴BD是线段AC的垂直平分线.
∴BA=BC.
∴四边形ABCD是菱形（菱形的定义）.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
AC⊥BD
几何语言描述：
∵在□ABCD中，AC⊥BD,
∴ □ABCD是菱形.
A
B
C
D
菱形ABCD
A
B
C
D
□ABCD
菱形的判定定理：
证明： ∵ ∠1= ∠2,
又∵AE=AC,AD=AD,
∴ △ACD≌ △AED (SAS).
同理△ACF≌△AEF(SAS) .
∴CD=ED, CF=EF.
又∵EF=ED,∴CD=ED=CF=EF,
∴四边形ABCD是菱形.
2
例1 如图,在△ABC中, AD是角平分线,点E、F分别在
AB、 AD上,且AE=AC,EF = ED.
求证：四边形CDEF是菱形.
A
C
B
E
D
F
1
H
G
F
E
D
C
B
A
证明：连接AC、BD.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD.
∵点E、F、G、H为各边中点，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形.
如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是菱形.
练一练：
例2.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，E为AD延长线上一点，CF∥BE交AD于点F，连接BF、CE．四边形BECF是菱形吗？请说明理由．
A
B
C
D
E
F
分析：AB＝AC，AD是角平分线可得BD＝CD，再由CF∥BE，利用ASA易证得△BDE≌△CDF，即可得CF＝BE，然后由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证得四边形BFCE是平行四边形；由AB＝AC，D是BC边的中点，即可得AD⊥BC，又由四边形BFCE是平行四边形，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可证得四边形BFCE是菱形．
证明：∵AB＝AC，AD是角平分线，
∴BD＝CD，
∵CF∥BE，
∴∠DBE＝∠FCD，
在△CDF和△BDE中，
，
∴△BDE≌△CDF（ASA），
∴CF＝BE，
又∵CF∥BE，
∴四边形BFCE是平行四边形；
∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
又∵四边形BFCE是平行四边形，
∴四边形BFCE是菱形．
∠DBE＝∠FCD，
BD＝CD，
∠BDE＝∠CDF，
A
B
C
D
E
F
如图， ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AO=4，BO=3.
求证：四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
O
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∵ OA=4,OB=3,AB=5，
证明：
即AC⊥BD，
∴ AB2=OA2+OB2，
∴△AOB是直角三角形，
∴四边形ABCD是菱形.
练一练：
随堂训练
1.下列命题中正确的是(　 )
A.对角线相等的四边形是菱形
B.对角线互相垂直的四边形是菱形
C.对角线相等的平行四边形是菱形
D.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
2.如图，下列条件能使?ABCD是菱形的是(　 )
①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④BD平分∠ABC.
A.①③　　 B.②③　 　C.③④ 　　D.①③④
D
D
3.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A<90°，BC，CA，AB的中点分别为点D，F，E，则四边形AFDE是 .
菱形
4.在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是
① ∠ABC=90°；② ⊥BD；③ AB=BC； ④ AB∥CD
①或③
5.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF.
（1）求证：AF＝DB；
（2）求证：四边形ADCF是菱形.
∵ △ABC是直角三角形，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，
证明：（1）∵ AF∥BC，∴ ∠AFE＝∠DBE.
∴ AE＝DE，BD＝CD.
在△AFE和△DBE中，∠AFE＝∠DBE, ∠FEA＝∠BED,AE＝DE，
∴ △AFE≌△DBE,∴ AF＝BD.
（2）由（1）知，AF＝BD,∵ BD＝CD,∴ AF＝CD.
∵ AF∥BC，∴ 四边形ADCF是平行四边形.
∵ ∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴ AD＝DC，∴ 四边形ADCF是菱形.
6. 如图,矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F,求证：四边形AFCE是菱形．
A
B
C
D
E
F
O
1
2
证明: ∵四边形ABCD是矩形,
∴AE∥FC，∴∠1=∠2.
∵EF垂直平分AC，
∴AO = OC .
又∠AOE =∠COF，
∴△AOE≌△COF，∴EO =FO.
∴四边形AFCE是平行四边形.
又∵EF⊥AC
∴ 四边形AFCE是菱形.
课堂小结
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
四边相等的四边形是菱形.
运用定理进行计算和证明
菱形的判定
定义法
判定定理