19.3矩形、菱形、正方形（第5课时正方形） 教学课件 沪科版初中数学八年级（下）

(共21张PPT)
19.3矩形、菱形、正方形
第5课时　正方形　　　
第19章 四边形
学 习 目 标
2
理解正方形的概念及相关性质；
探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别；（重点）
掌握正方形的判定定理，并会解决相关问题；（难点）
进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用.
1
3
4
知识讲解
情景一
问题:
从这个图形中你能得到什么？
你是怎样想到的？

┓
90°
当 =90°时,这个四边形还是菱形,但它是特殊的菱形,是一个内角为直角的菱形,也叫正方形.
问题:
情景二
1.图中CD在移动时，这个图形始终是怎样的图形？（CD在移动的过程中始终保持与AB平行）
2.当CD移动到C D 位置，且 AD ＝AB时，此时的图形还是矩形吗？
A
B
C
D
A
B
C
D
当AD＝AB时,这个四边形是矩形,它是特殊的矩形,是一组邻边相等的矩形,也叫正方形.
1.正方形的定义：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形.
2.（学生动手操作，教师引导）准备一张正方形纸片，折一折,观察并思考：正方形是不是轴对称图形 如果是,那么对称轴有几条
【结论】正方形是轴对称图形，对称轴有4条.
3.继续观察思考：正方形有哪些性质？
（1）正方形的四个角都是直角,四条边相等.
（2）正方形的对角线相等且互相垂直平分.
探究一 正方形性质
性质1：正方形的边角性质
如图,四边形ABCD是正方形.
求证：正方形ABCD四条边相等,四个角都是直角.
证明：∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠A＝90°, AB＝BC.（正方形的定义）
又∵ 正方形是平行四边形，
∴ 四边形ABCD是矩形,（矩形的定义）
四边形ABCD是菱形.(菱形的定义)
∴ ∠A＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝ 90°,
AB＝ BC＝CD＝AD.
性质2：正方形对角线性质
如图,四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O.
求证：AO＝BO＝CO＝DO,AC⊥BD.
证明：∵正方形ABCD是矩形,
∴ AO＝BO＝CO＝DO.
∵ 正方形ABCD是菱形.
∴ AC⊥BD.
正方形的两条对角线互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角
四条边都相等，对边平行
四个角都是直角
边
对角线
角
正方形的性质
O
A
B
C
D
归纳：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.
总结
平行四边形
矩形
菱形
正
方
形
探究二 正方形、菱形、矩形、平行四边形间的从属关系
矩 形
〃
〃
正方形
邻边
相等
〃
〃
一组邻边相等的矩形是正方形
菱 形
一个角
是直角
正方形
∟
一个角为直角的菱形是正方形
定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
探究三 正方形判定
例1 如图，在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC延长线上一点,且CE＝CF，则BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.
分析：两线段的关系包含着数量关系和位置关系，根据正方形的性质可得BC＝DC，∠BCE＝∠DCF＝90°，然后利用“边角边”证明△BCE和△DCF全等，得出BE＝DF.延长BE交DF于点M，进而求出∠CBE+∠F＝90°，从而证得BE⊥DF.
M
解：BE＝DF,且BE⊥DF.理由如下：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ BC＝DC,∠BCE＝90°.（正方形的四条边相等,四个角都是直角）
∴ ∠DCF＝180°-∠BCE＝180°-90°＝90°.
∴ ∠BCE＝∠DCF.
又∵ CE＝CF,
∴ △BCE≌△DCF,
∴ BE＝DF.
延长BE交DF于点M（如图所示）,
∵ △BCE≌△DCF ,
∴ ∠CBE＝∠CDF.
∵ ∠DCF ＝90°,
∴ ∠CDF +∠F ＝90°.
∴ ∠CBE+∠F＝90°,
∴ ∠BMF＝90°.
∴ BE⊥DF.
如图，在正方形ABCD中，△BCE是等边三角形，求证：∠EAD＝∠EDA＝15°.
证明：∵ △BCE是等边三角形，
∴ BE＝CE＝BC,∠EBC＝∠ECB＝60°.
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB＝BC＝CD,∠ABC＝∠DCB＝90°.
∴ AB＝BE＝CE＝CD,∠ABE＝∠DCE＝30°，
∴ △ABE，△DCE是等腰三角形.
∴ ∠BAE＝∠BEA＝∠CDE＝∠CED＝ （180°-30°）＝75°，
∴ ∠EAD＝∠EDA＝90°-75°＝15°.
练一练
例2 如图，A′，B′，C′，D′分别是正方形ABCD四条边上的点，且A A′=B B′=C C′=D D′.求证：四边形A′B′C′D′是正方形.
D ′ 　
D　
A　
B　
C　
A ′ 　
C ′ 　
B ′ 　
2
3
1
证明： ∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA,
又∵A A′=B B′=C C′=D D′，
∴D′A = A′B = B′C = C′D
∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
∴△AA′D≌△BB′A′≌△CC′B′≌△DD′C′.
∴A′B′=B′C′=C′D′=D′A.
∴四边形A′B′C′D′是菱形.
又∵∠1=∠3,∠1+∠2=90°，
∴∠2+∠3=90°
∴∠D′A′B′=90°.
所以四边形A′B′C′D′是正方形.
如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形.
解：∵ BF∥CE，CF∥BE，
∴ 四边形BECF是平行四边形.
又∵ 在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，
∴ ∠EBC＝∠ECB＝45°，
∴ BE＝CE，∠BEC＝90°，
∴ 四边形BECF是菱形.
又∵ ∠BEC＝90°，
∴ 四边形BECF是正方形.
练一练
随堂训练
112.5 °
A
1.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　）
A.对角线互相平分
B.对角线互相垂直
C.对角线相等
D.对角线互相垂直且相等
2.如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE＝AB，则∠EBC的度数是 .
4.已知正方形ABCD中,AC=10,P是AB上一点,
PE⊥AC于E，PF⊥BD于F,则PE+PF=____.
5
30°
3.以正方形ABCD的边DC向外作等边△DCE,
则∠AEB=_____.
P
A
B
C
D
E
F
O
E
A
B
C
D
5.如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点F，∠E＝90°，ED＝EC．
求证：四边形DFCE是正方形．
A
B
C
D
E
F
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠FDC＝∠DCF＝45°，
∵∠E＝90°，ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD＝45°，
∴∠FCE＝∠FDE＝∠E＝90°，
∴四边形DFCE是矩形，
∵DE＝CE，
∴四边形DFCE是正方形．
6.如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC为对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的长.
解：∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ ∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1 cm.
∵ EF⊥AC，
∴ ∠EFA＝∠EFC＝90°.
又∵ ∠ECF＝45°，∴ △EFC是等腰直角三角形，
∴ EF＝FC.
∵ ∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE，
∴ △ABE≌△AFE，
∴ AB＝AF＝1cm，BE＝FE,∴ FC＝BE.
在Rt△ABC中，由勾股定理得
∴ FC＝AC－AF＝(
－1)cm，
－1)cm.
∴ BE＝(
课堂小结