16.2二次根式的运算(第1课时） 教案 沪科版初中数学八年级（下）

第16章　二次根式
16.2　二次根式的运算
第1课时　二次根式的乘法与积的算术平方根
教学目标 1.理解二次根式的乘法法则. 2.理解积的算术平方根的性质. 3.会运用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行简单运算. 教学重难点 重点：理解二次根式的乘法法则与积的算术平方根的性质. 难点：会运用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行简单运算. 教学过程 复习巩固 1.二次根式的概念：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式. “”叫做二次根号，a叫做被开方数. 2.二次根式的性质： (1) 的性质： ，即二次根式的被开方数非负；，即二次根式的值非负. (2)的性质：＝|a|＝ 导入新课 问题1 运用运载火箭发射航天飞行器时，火箭必须达到一定的速度（第一宇宙速度），才能克服地球的引力，从而将飞船送入环地球运行的轨道.第一宇宙速度v与地球半径R之间存在如下关系：v12=gR，其中g是重力加速度.请用含g，R的代数式表示出第一宇宙速度v1. 问题2 飞行器脱离地心引力，进入围绕太阳运行的轨道所需要的速度称为第二宇宙速度.第二宇宙速度为v2=v1，请结合问题1用含g，R的代数式表示出第二宇宙速度v2. 【答案】（1）第一宇宙速度v1=. （2）第二宇宙速度v2=. 探究新知 探究点一　二次根式的乘法 活动1（自学提纲，生成问题）阅读教材P6的内容，完成下面的练习. 问题1 分别计算下列各题你有什么发现？ （1）×与； （2）×与； （3）×与. 【解】（1）×＝2×3＝6， ＝＝6. （2）×＝3×9＝27， ＝＝27. （3）×＝0.5×10＝5， ＝＝5. 发现：×＝；×＝；×思考：（学生交流，教师点评） 你发现了什么规律？你能用字母表示你所发现的规律吗？ 学生回答：·＝. 【师生总结】 二次根式的乘法法则:如果a≥0,b≥0，那么有·＝. 即两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根. 【教师活动】你能对这条性质进行证明吗？ 【学生活动】小组交流，在老师的指导下，写出证明过程. 因为当a≥0,b≥0时，==ab， 又=ab,ab的算术平方根只有一个，所以·＝. 【教师活动】若是三个或三个以上的二次根式相乘，该法则是否适合？ 拓展： 二次根式乘法法则同样适合三个及三个以上的二次根式相乘，即·…· (a≥0,b≥0,k≥0). 【教师活动】利用二次根式的性质进行计算时，应注意什么问题？ 【学生活动】学生根据二次根式有意义的条件，进行小组总结.即利用二次根式的性质进行计算时，注意被开方数必须是非负数. 【教师活动】根据等式的基本性质，二次根式的乘法法则如何写？ 【学生活动】可以写成=·.即积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积. 【教师活动】(引发学生思考)利用二次根式积的算术平方根的性质进行化简时，需要注意什么？ 【学生活动】(学生总结，老师点评)积的算术平方根是二次根式乘法法则的逆用，注意被开方数必须是非负数. 【师生总结】 通过上面的计算可得出下面的结论： 积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积. 用式子表示为·（a≥0，b≥0）. 例题讲解 【例1】　计算： （1）；（2）；（3）. 【解】（1）=； （2）===3； （3）==×=. 【教师活动】指导学生第三小题使用先使用乘法结合律，再运用乘法法则进行计算. 【学生活动】利用二次根式的乘法法则进行计算，总结规律. 归纳：(3)只需其中两个结合就可实现转化进行计算，说明二次根式乘法法则同样适合三个及三个以上的二次根式相乘. 跟踪训练 1.计算： (1)× ；(2)× ； (3)×；(4) ×. 【教师活动】(引导学生思考)要利用二次根式的乘法法则进行计算. 解：(1)×＝. (2)×＝＝. (3)×＝＝=18. (4)×＝＝. 【例2】　计算：；. 【解】 (2)×＝ (×)＝×9＝. 【教师活动】(引发学生思考)利用二次根式积的算术平方根的性质进行化简时，需要注意什么？ 【学生活动】根据老师的指导独立完成计算过程，再在小组内交流总结二次根式乘法的计算方法. 【师生总结】当二次根式根号外的因数不为1时，可类比单项式乘单项式的法则计算，即· (a≥0,b≥0). 跟踪训练 2.计算： ；（2）. 解：==×=9. （2）=（-3）××2×=-6=-6 =-30. 【例3】　化简： (1) ；(2) (a≥0，b≥0)；(3). 【解】(1)＝×＝4×9＝36. (2)··2a2ab. (3)= =×=×=45. 【教师活动】(引发学生思考)利用二次根式积的算术平方根的性质进行化简时，需要注意什么？ 【学生活动】根据积的算术平方根等于算术平方根的积进行运算，交流在做题中的注意事项，对此类题的解题方法进行总结. 【题后总结】(学生总结，老师点评)运用性质进行二次根式的运算过程中，可以把被开方数中的“完全平方因式（因数）”，用它的算术平方根代替，由根号内移到根号外，从而对二次根式进行化简. 跟踪训练 3.化简: （1） ；（2）;（3）. 解：（1） （2）=×=6×16=96. （3）==×=×=5. 【总结】 化简二次根式的步骤： 1.把被开方数分解因式(或因数) . 2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根的积. 3.如果因式中有平方式(或平方数)，应用＝|a|把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化简. 课堂练习 1.若·，则（　　） A.x≥6 　　　　B.x≥0 C.0≤x≤6 　　 　　D.x为一切实数 2.下列运算正确的是（　　） A.2×3=6 B.=-=5-3=2 C.=×=（-2）×（-4）=8 D.=×=5×3=15 3.计算： （1）×= ；（2）×= ； （3）×= . 4.化简： (1)；　　(2)； (3)；　　(4) (a≥0,b≥0). 5.计算：(1)； (2) ； (3)； (4)·(a≥0,b≥0). 6.设长方形的面积为S，相邻两边分别为a，b.已知，求S. 参考答案 1.A 2.D 3.（1）　（2）　（3） 4.解：(1)＝2；　(2)＝3； (3)＝2；　(4)＝2ab. 5.解： ＝ . ＝6×10＝60. （4）·＝ ＝＝＝. 6.解：S＝ab＝ ＝. 课堂小结 1.二次根式的乘法法则. 2.两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根.用式子·(a≥0,b≥0) ；··…·＝(a≥0，b≥0，k≥0). 3.积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积.用式子表示为· (a≥0，b≥0). 布置作业 教材第7页练习 板书设计 第1课时　二次根式的乘法与积的算术平方根 一、二次根式的乘法法则 （a≥0,b≥0）. 两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根. 二、积的算术平方根 ·（a≥0，b≥0）. 积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积. 教学反思 教学反思 教学反思 教学反思 教学反思