17.2一元二次方程的解法（第1课时） 教案 沪科版初中数学八年级（下）
文档属性
| 名称 | 17.2一元二次方程的解法（第1课时） 教案 沪科版初中数学八年级（下） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 316.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-02-21 19:36:48 | ||
图片预览
文档简介
第17章 一元二次方程
17.2 一元二次方程的解法
第1课时 直接开平方法
教学目标 1.会利用直接开平方法解形如的方程. 2.初步了解形如方程的解法. 3.能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性. 4.通过解方程及实例探究过程，体会类比、转化、降次的数学思想方法. 教学重难点 重点：会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程. 难点：运用直接开平方法解形如或p（p≥0）的方程. 教学过程 导入新课 问题情境1 如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始，沿AB边向点B以1的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2的速度移动，如果AB=6，BC=12，P、Q都从B点同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8？ 【师生活动】教师出示问题，学生独立思考后，小组进行交流，小组代表汇报展示，教师做出点评.在求解方程时学生存在困难，教师可提出如下问题. 【教师追问】什么是平方根？ 【师生活动】学生根据教师提出的问题独立思考后进行回答.根据平方根的意义教师引导学生求出方程的解. 【解】设s后△PBQ的面积等于8,则PB=，BQ =2，依题意，得，即=8.根据平方根的意义，得=,即=,=-,可以验证，-都是方程的根，但移动时间不能为负值，所以s后△PBQ的面积等于8. 探究新知 解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流. （1）x2＝4；（2）x2＝0；（3）x2+1＝0. 【师生活动】教师先引导学生判定上面方程是一元二次方程，并指出二次项系数、一次项系数、常数项各是多少，再根据平方根的意义解方程. 【解】（1）根据平方根的意义，得x1=2, x2=-2. （2）根据平方根的意义，得x1=x2=0. （3）根据平方根的意义，得x2=-1. 【教师追问1】类似地，你能给出下列方程的解吗？ 【教师追问2】上述方程有什么共同点？你能归纳一下这类方程的解的情况吗？ 【师生活动】学生口答解方程过程，归纳出一般形式，并根据的取值范围得到方程的解的三种情况.教师板书. 【归纳总结】一般地，对于方程 , （1）当 时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根. （2）当时，方程有两个相等的实数根. （3）当 时,因为任何实数，都有，所以方程无实数根. 新知应用 【例1】 利用直接开平方法解下列方程: （1）x2＝25；（2）x2 - 900＝0. 【师生活动】学生独立思考后，选两名学生口答解答过程，然后师生一起进行评价. 【解】（1） ， （2）移项，得， 直接开平方，得， 直接开平方，得， . . 【例2】 对照例1中解方程的方法，你认为怎样解方程？ 【师生活动】学生独立思考，并给出解法.不难想到，这一类方程与没有实质差异，也可以根据平方根的意义，直接开平方求解.教师可引导学生将解方程的过程叙述为：对方程两边开平方，将它转化为两个一元一次方程，或，可得. 【教师追问】结合例1、例2思考，具备什么形式才能用直接开平方法以及直接开平方法的步骤. 【师生活动】学生先自己进行归纳总结，同桌之间进行交流，发表意见.教师板书. 【归纳总结】具备或者形式的一元二次方程可以根据平方根的意义进行直接开平方计算，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程转化为我们会解的方程了. 直接开平方法解一元二次方程的一般步骤：先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个完全平方式，右边是非负数的形式，然后用平方根的概念直接求解. 【例3】 解下列方程： 【师生活动】先让学生独立学习，选三名学生板演解方程过程，并进行评价，给出规范格式，完成例题. 【解】（1）∵是7的平方根， （2）∵是16的平方根， ， ∴ ， . 即或， ， . （3）移项，得， 两边都除以2，得, ∵ 是9的平方根， ∴ . 即或， . 【教师追问】利用直接开平方法应该注意什么问题？ 【师生活动】教师组织小组同学交流解此类方程注意的问题，然后总结归纳，教师做出点评. 【归纳总结】1.采用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的意义，直接开平方法只适用于能转化为或形式的方程，可得方程的根为或. 2.利用直接开平方法解一元二次方程时，只有当p为非负常数时，方程才有解，并且要注意开方的结果有“正、负”两种情况. 课堂练习 1.下列方程可用直接开平方法求解的是（ ） A. B. C. D. 2.对形如的方程，下列说法正确的是（ ） A.直接开平方得 B.直接开平方得 C.当时，直接开平方得 D.当时，直接开平方得 3.若，则＝ _________. 4.关于的一元二次方程没有实数根，则实数的取值范围是___________. 5.用直接开平方法解一元二次方程. 小明的解答如下： 移项，得.① 直接开平方，得.② 小明的解答有无错误？若有，错在第___步，原因是 __ ，写出正确的解答过程. 参考答案 1.A 2.C 3.7 4. 5.② 解：移项，得， 直接开平方，得， 所以. 课堂小结 学生先自己总结本节课主要内容，然后同桌之间交流，学生代表进行总结，教师点评，并引导学生形成本节课知识框架. 布置作业 完成教材第23页练习 板书设计 第1课时 直接开平方法 1.一般地，对于方程 , （1）当 时，根据平方根的意义，方程有两个不等 的实数根. （2）当时，方程有两个相等的实数根. （3）当 时,因为任何实数，都有，所以方程无实数根. 2.采用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的意义，直接开平方法只适用于能转化为或的形式的方程，可得方程的根为或. 教学反思 教学反思 教学反思 教学反思
17.2 一元二次方程的解法
第1课时 直接开平方法
教学目标 1.会利用直接开平方法解形如的方程. 2.初步了解形如方程的解法. 3.能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性. 4.通过解方程及实例探究过程，体会类比、转化、降次的数学思想方法. 教学重难点 重点：会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程. 难点：运用直接开平方法解形如或p（p≥0）的方程. 教学过程 导入新课 问题情境1 如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始，沿AB边向点B以1的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2的速度移动，如果AB=6，BC=12，P、Q都从B点同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8？ 【师生活动】教师出示问题，学生独立思考后，小组进行交流，小组代表汇报展示，教师做出点评.在求解方程时学生存在困难，教师可提出如下问题. 【教师追问】什么是平方根？ 【师生活动】学生根据教师提出的问题独立思考后进行回答.根据平方根的意义教师引导学生求出方程的解. 【解】设s后△PBQ的面积等于8,则PB=，BQ =2，依题意，得，即=8.根据平方根的意义，得=,即=,=-,可以验证，-都是方程的根，但移动时间不能为负值，所以s后△PBQ的面积等于8. 探究新知 解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流. （1）x2＝4；（2）x2＝0；（3）x2+1＝0. 【师生活动】教师先引导学生判定上面方程是一元二次方程，并指出二次项系数、一次项系数、常数项各是多少，再根据平方根的意义解方程. 【解】（1）根据平方根的意义，得x1=2, x2=-2. （2）根据平方根的意义，得x1=x2=0. （3）根据平方根的意义，得x2=-1. 【教师追问1】类似地，你能给出下列方程的解吗？ 【教师追问2】上述方程有什么共同点？你能归纳一下这类方程的解的情况吗？ 【师生活动】学生口答解方程过程，归纳出一般形式，并根据的取值范围得到方程的解的三种情况.教师板书. 【归纳总结】一般地，对于方程 , （1）当 时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根. （2）当时，方程有两个相等的实数根. （3）当 时,因为任何实数，都有，所以方程无实数根. 新知应用 【例1】 利用直接开平方法解下列方程: （1）x2＝25；（2）x2 - 900＝0. 【师生活动】学生独立思考后，选两名学生口答解答过程，然后师生一起进行评价. 【解】（1） ， （2）移项，得， 直接开平方，得， 直接开平方，得， . . 【例2】 对照例1中解方程的方法，你认为怎样解方程？ 【师生活动】学生独立思考，并给出解法.不难想到，这一类方程与没有实质差异，也可以根据平方根的意义，直接开平方求解.教师可引导学生将解方程的过程叙述为：对方程两边开平方，将它转化为两个一元一次方程，或，可得. 【教师追问】结合例1、例2思考，具备什么形式才能用直接开平方法以及直接开平方法的步骤. 【师生活动】学生先自己进行归纳总结，同桌之间进行交流，发表意见.教师板书. 【归纳总结】具备或者形式的一元二次方程可以根据平方根的意义进行直接开平方计算，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程转化为我们会解的方程了. 直接开平方法解一元二次方程的一般步骤：先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个完全平方式，右边是非负数的形式，然后用平方根的概念直接求解. 【例3】 解下列方程： 【师生活动】先让学生独立学习，选三名学生板演解方程过程，并进行评价，给出规范格式，完成例题. 【解】（1）∵是7的平方根， （2）∵是16的平方根， ， ∴ ， . 即或， ， . （3）移项，得， 两边都除以2，得, ∵ 是9的平方根， ∴ . 即或， . 【教师追问】利用直接开平方法应该注意什么问题？ 【师生活动】教师组织小组同学交流解此类方程注意的问题，然后总结归纳，教师做出点评. 【归纳总结】1.采用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的意义，直接开平方法只适用于能转化为或形式的方程，可得方程的根为或. 2.利用直接开平方法解一元二次方程时，只有当p为非负常数时，方程才有解，并且要注意开方的结果有“正、负”两种情况. 课堂练习 1.下列方程可用直接开平方法求解的是（ ） A. B. C. D. 2.对形如的方程，下列说法正确的是（ ） A.直接开平方得 B.直接开平方得 C.当时，直接开平方得 D.当时，直接开平方得 3.若，则＝ _________. 4.关于的一元二次方程没有实数根，则实数的取值范围是___________. 5.用直接开平方法解一元二次方程. 小明的解答如下： 移项，得.① 直接开平方，得.② 小明的解答有无错误？若有，错在第___步，原因是 __ ，写出正确的解答过程. 参考答案 1.A 2.C 3.7 4. 5.② 解：移项，得， 直接开平方，得， 所以. 课堂小结 学生先自己总结本节课主要内容，然后同桌之间交流，学生代表进行总结，教师点评，并引导学生形成本节课知识框架. 布置作业 完成教材第23页练习 板书设计 第1课时 直接开平方法 1.一般地，对于方程 , （1）当 时，根据平方根的意义，方程有两个不等 的实数根. （2）当时，方程有两个相等的实数根. （3）当 时,因为任何实数，都有，所以方程无实数根. 2.采用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的意义，直接开平方法只适用于能转化为或的形式的方程，可得方程的根为或. 教学反思 教学反思 教学反思 教学反思