17.2一元二次方程的解法（第2课时） 教案 沪科版初中数学八年级（下）

第17章 一元二次方程
17.2 一元二次方程的解法
第2课时　配方法
教学目标 1.了解配方的概念. 2.理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题. 3.探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系. 4.通过配方法解方程进一步体会类比、转化、降次的数学思想方法. 5.通过运用配方法解一元二次方程策略研究，培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养. 教学重难点 重点：掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题. 难点：探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系. 教学过程 导入新课 解下列方程 ； ； . 【师生活动】教师设疑，先让学生尝试解决，前两个学生可利用直接开平方法解方程，学生进行口答.第三个方程，学生解答可能存在困难，让学生带着问题进入新知探究. 【解】(1)移项，得， (2)移项，得, 系数化为1，得, 开平方，得, 开平方，得=, 或, . . 探究新知 问题1 你还记得吗？填一填下列完全平方公式. (1) （ ）2 ； (2) （ ）2. 做一做：填上适当的数，使下列等式成立. (1)； (2); (3)； (4). 【师生活动】教师出示问题，学生先独立思考、合作学习，然后教师组织交流，进行汇报.如果学生对3，4小题有困难，教师可引导学生复习完全平方公式的特点：首平方，尾平方，积的2倍放中央. 【教师追问】上面等式的左边的常数项和一次项系数有什么关系？对于形如的式子如何配成完全平方式？ 【师生活动】学生独立思考后，小组合作探究，学生代表口答，师生共同归纳总结，教师板书. 【解】(1)； (2). 做一做：(1)； (2)； (3)； (4). 【归纳总结】对于二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方.对于形如的式子配成完全平方式应加上一次项系数一半的平方，即. 先对原一元二次方程配方，使它出现完全平方式后，再直接开平方的求解方法，叫做配方法. 【教师追问】仿照上面的例题你能自己举一个例子吗？ 【师生活动】学生举例，学生点评，教师点评. 问题2 怎样解方程？ 【师生活动】先让学生观察、尝试.如果学生有困难，教师可以通过如下问题引导学生思考. 【教师追问1】我们已经会解哪一类一元二次方程？能将这个方程转化为会解的形式吗？ 【教师追问2】怎样把方程变成的形式？ 【师生活动】学生思考教师提出的问题，并根据配方的方法尝试把方程左边配成完全平方的形式，二次项系数为1，应该是加上一次项系数一半的平方，同学在练习本上进行解答，教师选取部分学生解答情况进行展示，师生共同规范步骤. 【解】 【教师追问3】结合上述解答过程，你能说出解一元二次方程的具体步骤是什么吗？要注意什么问题？ 【师生活动】学生独立思考、讨论、总结，根据上面例题，教师引导学生得出配方法的具体步骤： 【归纳总结】 一般步骤方法例：一移移项将常数项移到右边，含未知数的项移到左边二化二次项系数化为1左、右两边同时除以二次项系数 三配配方左、右两边同时加上一次项系数一半的平方四开开平方利用平方根的意义直接开平方五解解两个一元一次方程移项、合并
要注意保证变形的过程是恒等变形，配方时必须把二次项系数化为1. 新知应用 【例1】 （1）；（2）； （3） 【师生活动】教师出示例题，学生独立完成，请学生板书，师生一块规范格式完成例题.这里要强调根据实际意义检验方程的根. 【教师追问】通过解以上方程，你能归纳配方法解方程的思路吗？ 【师生活动】先有学生自己归纳，通过补充完善，得出配方法解方程的一般思路，教师板书. 【解】（1）. 移项，得配方，得 即∴ （2）. 移项，得 二次项系数化为1，得 配方，得即 由此可得 ∴ （3） 移项，得二次项系数化为1，得 配方，得即故无解. 【归纳总结】把方程化为的形式，将一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程求解. 可化为的形式的一元二次方程的根. 1.当时，方程有两个不相等的实数根：，； 2.当时，方程有两个相等的实数根：； 3.当时，方程无实数根. 【例2】 试用配方法说明：不论取何实数，多项式的值必定大于零. 【师生活动】学生先独立思考，教师组织进行交流，学生发表意见，教师引导学生要想确定代数式的值大于零应该化成完全平方的形式，所以先进行配方，根据配方的方法，二次项系数为1，应该加上一次项系数一半的平方，保持代数式不变性，再减去加的这个数，最后师生总结解决此类问题的方法. 【解】 因为， 所以 所以的值必定大于零. 【归纳总结】 类别解题策略求最值或证明代数式的值为恒正（或负）对于一个关于x的二次多项式通过配方转化成的形式后，，为常数，当>0时，可知其最小值；当<0时，可知其最大值完全平方式中的配方如：已知是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于16，即利用配方法构成非负数和的形式对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口往往是配方成多个完全平方式得其和为0，再根据非负数的和为0，各项均为0，从而求解，如：， 则， 即，
课堂练习 1.将二次三项式配方后得（ ） A. B. C. D. 2.已知，左边化成含有的完全平方形式，其中正确的 是（ ） A. B. C. D. 3.若的左边是一个关于的完全平方式，则等于（ ） A.1 B.-1 C.1或9 D.-1或9 4.解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）. 5.如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8，CB=6，点P、Q同时由A，B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1，问几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半？ 6.应用配方法求最值. (1) 的最小值； (2) 的最大值. 参考答案 1.B 2.B 3.C 4.解：（1）， （2）， （3）， （4）， 5.解：设s后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半， 由题意得 整理，得, 即, 解得. 经检验都是原方程的根， 但不合题意，舍去. 所以2 s后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半. 6.解：（1）， 所以当时，有最小值为3. （2）， 所以当时,有最大值为-4. 课堂小结 提醒：在使用配方法解方程之前先把方程化为的形式. 布置作业 完成教材第25页练习 板书设计 第2课时　配方法 1.配方法步骤：一移、二化、三配、四开、五解. 2.可化为的形式的一元二次方程的根. 当时，方程有两个不相等的实数根：； 当时，方程有两个相等的实数根：； 当时，方程无实数根. 教学反思 教学反思 教学反思 教学反思 教学反思 教学反思