17.5一元二次方程的应用（第2课时） 教案 沪科版初中数学八年级（下）

第17章 一元二次方程
17.5　一元二次方程的应用
第2课时　几何图形问题
教学目标 1.掌握建立数学模型以解决与面积有关的实际问题，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型. 2.正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型. 3.培养运用一元二次方程分析和解决实际问题的能力. 教学重难点 重点：能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题. 难点：掌握面积法建立一元二次方程的数学模型. 教学过程 导入新课 【师生活动】教师展示图片，学生进行口答. 探究新知 问题 要设计一本书的封面（如图所示）,封面长27,宽21，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形.如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度？（精确到0.1） 【师生活动】教师展示问题，学生先独立思考，然后带着问题在小组内进行交流，教师巡视，学生若存在困难教师可追问. 【教师追问1】本题中存在哪些数量关系？ 【教师追问2】上、下边衬距离与左、右边衬距离相等吗？ 【教师追问3】如何利用已知的数量关系选取未知数？ 【师生活动】学生根据教师的问题，进一步思考，交流，并尝试进行解答. 通过分析，可设中央长方形的长和宽分别为9和7. 由此得到上、下边衬宽度之比为=9：7. 上、下边衬距离相等，左、右边衬距离相等，可设上、下边衬宽为，左、右边衬宽为. 依题意,得， 解得或 （不合题意，舍去）. 故上、下边衬的宽度为（cm）, 左、右边衬的宽度为（cm）. 教师板书过程. 教师追问4：如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？ 【师生活动】学生先独立思考，同桌之间合作交流，然后在练习本上书写证明过程，教师用投影仪等设备进行展示. 新知应用 【例1】 如图，某小区在一个长为40 m，宽为26 m 的长方形草坪ABCD 上修建三条同样宽的甬路，其中两条与AB 平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若使每一块草坪的面积都为144 m2，求甬路的宽度. 【师生活动】教师出示问题，学生先尝试自己解决，并写出解答过程，然后小组内进行交流.找1~2位学生对题目进行分析，用长方形的面积减去三条路的面积加上重叠部分宽为的两个小正方形的面积等于六块草坪的面积.若两位同学的方法一样，教师可引导学生寻求其他解题方法. 【教师追问1】还有没有其他的解题思路？ 【师生活动】教师提出问题后，学生进行交流，分析，将原图中三条甬路分别向上和向右平移至如图所示的位置，若设甬路的宽为x m，则草坪总面积为，所列方程为. 明确解题思路，学生再进一步改正自己存在的问题. 【教师追问2】比较两种解题方法，哪一种更为简单？总结解决此类应用题的方法？ 【师生活动】学生进行思考总结，交流后，请一位同学进行总结，教师补充板书. 【归纳总结】我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程更容易些. 【例2】 如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25 m)，现在已备足可以砌50 m长的墙的材料，当矩形花园的面积为300 m2时，求AB的长. 【师生活动】教师展示例题，学生独立思考，交流，小组讨论，发表意见.设AB长为，则BC长为 m.根据题意，得.解得.在确定方程的根是不是符合题意时，教师可进一步追问. 【教师追问】怎样确定的取值范围？ 【师生活动】学生相互交流讨论，因为围墙MN最长可利用25 m，所以BC的长不超过25 m，即，同时，所以，所以. 课堂练习 1.绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米.设绿地的宽为米，根据题意，可列方程为( ) A.x B. C. D. 2.公园有一块正方形的空地，从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1，另一边减少了2，剩余空地的面积为18，求原正方形空地的边长，设原正方形空地的边长为，则可列方程为( ) A. B. C. D. 3.一个直角三角形的两条直角边相差5，面积是7，则它的两条直角边长分别为 ___________. . 4.在一幅长50 cm，宽30 cm的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图,如图所示.如果要使整个矩形挂图的面积是1 800，设金色纸边的宽为，那么满足的方程为_____________. 5.某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2∶1.在温室内，在蔬菜种植区域前侧与内墙保留3宽的空地，与其他三侧内墙之间各保留1宽的通道.当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288？ 6.如图（1），在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪.要使草坪的面积为540平方米，求道路的宽. （1） （2） 7.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝7，点P从点A开始沿AB边向点B以1的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2的速度移动. (1)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4 (2)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5 (3)在问题(1)中，△PBQ的面积能否等于7？说明理由. 参考答案 1.B 2.C 3.2，7 4. 5.解：设矩形温室的宽为，则长为. 根据题意，得. 解得(不合题意，舍去)，. 所以. 答：当矩形温室的长为28，宽为14时，蔬菜种植区域的面积是288. 6.解：设道路宽为米，由平移得到图（2），则草坪宽为(20-)米，长为（32-)米. 列方程,得. 整理,得. 解得（不合题意，舍去），. 答：道路宽为2米. 7.解：(1)设秒后，△PBQ的面积等于4. 根据题意，得，解得. ∵当时，，∴ 不合题意，舍去. ∴. 答：1 s后，△PBQ的面积等于4 . (2)设秒后，PQ＝5，则, 解得(不合题意，舍去)，，所以. 答：2 s后，PQ的长度等于5. (3)设秒后，△PBQ的面积等于7. 根据题意，得. 此方程无解. ∴△PBQ的面积不能等于7. 课堂小结 学生先自己进行总结，然后同桌交流,教师点评. 布置作业 完成课本45页习题17.5第3题. 板书设计 第2课时　几何图形问题 解答面积问题的思路： 常采用图形平移聚零为整，列方程. 教学反思 教学反思 教学反思 教学反思 教学反思