19.1多边形内角和（第2课时） 教案 沪科版初中数学八年级（下）

第19章 四边形
19.1 多边形内角和
第2课时 多边形的外角和
教学目标 1.理解并掌握多边形的外角和定理，且能够证明它. 2.能够综合应用多边形的内角和、外角和定理解决有关的问题. 3.了解四边形具有不稳定性. 4.经历多边形的外角和定理的探究过程，进一步体会转化的数学思想. 教学重难点 重点：多边形的外角和公式. 难点：能利用内角和与外角和公式解决实际问题. 教学过程 知识回顾 问题 （学生自主完成，老师引导） 1.七边形内角和为 . 2.多边形内角和为1 260°，则它是 边形. 3.多边形内角和为1 800°，则它是 边形. 探究新知 探究一 多边形的外角和 问题 （激发学习兴趣）1.清晨，小明沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步. （1）小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪些角？ （2）他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？ （3）在上图中，你能求出1+ 2+ 3+ 4+ 5的结果吗？你是怎样得到的？ 【教师活动】展示图片，引导学生回答问题. 【学生活动】先把每一个问号自己解答，再在小组内交流，整理答案，总结多边形的外角和. 【探究】（小组讨论，老师点拨） （1）身体转过的角是1，2，3，4，5，如图所示. （2）360°. （3）∵ ∠1+∠EAB＝180， ∠2+∠ABC＝180， ∠3+∠BCD＝180， ∠4+∠CDE＝180， ∠5+∠DEA＝180， ∴ ∠1+∠EAB+∠2+∠ABC+∠3+∠BCD+∠4+∠CDE+∠5+∠DEA＝900. ∵ 五边形的内角和为（5-2）×180＝540， 即∠EAB+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEA＝540°， ∴ ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝900°-540＝360. 【思考】（学生回答，老师点拨） 1.如果广场的形状是六边形，那么还有类似的结论吗？ 2.如果广场的形状是八边形呢？ 【学生活动】按照五边形外角和的推理方法，自己推理，得出结论，小组内交流. 【总结】（老师指导）从上面的问题中我们可以归纳出本节要学习的知识： 1.在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和. 2.多边形外角和定理：n边形的外角和都等于360°(n为不小于3的整数). 3.在多边形中，如果各条边都相等，各个角都相等，这样的多边形叫正多边形. 【例1】（小组讨论，老师指导）一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？ 【解】设这个多边形是n边形， 则它的内角和是（n-2）·180°，外角和等于360°， 所以（n-2）·180°＝3×360°. 解得n＝8 . 因此，这个多边形是八边形. 【例2】（拓展）如图所示，小明在操场上从A点出发，沿直线前进10米后向左转40°，再沿直线前进10米后，又向左转40，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了______米. 【探究】由题意知，如果小明能走回A点，那么他走过的路线即可构成一个边长为10米，每个外角都是40°的正多边形.因为360°÷40°＝9，所以他走过的路线可以构成一个边长为10米的正九边形，所以他回到A点所走的路程为10×9＝90(米). 【答案】90米 【总结】(学生总结，老师点评)从“转弯”的实际问题中抽象出有关多边形外角和的数学问题是解题的关键，然后利用多边形外角和定理进行解答. 【练习】（学生独立完成） 1.一个多边形的外角和是内角和的一半，则它的边数是(　　) A.7 　　 　　　B.6 　 　　　 C.4 　　　 D.5 2.如图，∠1,∠2,∠3,∠4是五边形ABCDE的外角，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝70°，则∠AED的度数是(　　) A.110° 　　　　　 B.108°　　　　　 C.105°　　　 D.100° 3.一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180°，这个多边形的边数是（ ） A.5 B.6 C.7 D.8 4.n边形的每个外角都等于45°，则n＝______. 5.已知多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1 350°, 求多边形的边数及外角的度数. 6.一个多边形减少一个内角后的度数和为2 300°. （1）求它的边数. （2）求减少的那个内角的度数. 答案：1.B 2.D 3.C 4.8 5.解：设该多边形的边数是n，所求外角的度数为x°， 则（n-2）180°+x°=1 350°， ∴ n=9，x=90. 即多边形的边数为9，所求外角的度数为90°. 6.解：设多边形的边数是n，减去内角的度数为x°， 则（n-2）180°-x°=2 300°， ∴ n=15，x=40. 探究二 四边形的不稳定性 1.四边形的不稳定性 和三角形不同，即使四边形的边长确定，它的形状也不能确定，我们把四边形的这个性质称为四边形的不稳定性. 2.四边形不稳定性的应用 课堂练习 1.在一个多边形的每一个顶点处取一个外角，这些外角中最多有钝角(　　) A.1个 B.2个　　 C.3个　 D.4个 2.如果一个多边形的内角和是其外角和的一半，那么这个多边形是(　　) A.六边形　 B.五边形　　 C.四边形 　 D.三角形 3.各内角都相等的多边形， 它的一个内角与一个外角的比是3∶2， 则它是(　　) A.四边形　 B.五边形　　 C.六边形　 D.八边形 4.若n边形的每个外角都等于45°，则n＝______. 5.如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的4个外角，若∠A＝120°，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ . 6.一个正多边形的一个内角比与它相邻的外角大36°，求这个正多边形的边数. 参考答案 1.C 2.D 3.B 4.8 5.300 6. 解：设外角为x°，则内角为x°+36°， x+36+x＝180，所以x＝72, 360°÷72°＝5.即这个正多边形的边数为5. 课堂小结 1. 多边形的外角：多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角. 2. 多边形的外角和：在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和. 3.多边形的外角和等于360°. 布置作业 教材第74页习题19.1第3，4题. 板书设计 第2课时 多边形的外角和 1.多边形的外角：多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角. 2.多边形的外角和定理：多边形的外角和等于360. 3.四边形的不稳定性. 例1 一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？ 例2 如图所示，小明在操场上从A点出发，沿直线前进10米后向左转40°，再沿直线前进10米后，又向左转40，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了______米. 教学反思 教学反思 教学反思 教学反思