19.2平行四边形（第4课时） 教案 沪科版初中数学八年级（下）

第19章 四边形
19.2 平行四边形
第4课时 利用边的关系判定平行四边形
教学目标 1.使学生理解并能够证明平行四边形的判定定理，即一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 2.掌握两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 3.让学生能够应用平行四边形的定义和平行四边形的前两个判定定理判定四边形为平行四边形. 教学重难点 重点: 运用平行四边形的判定方法判定有关的平行四边形. 难点：对平行四边形判定方法的探究. 教学过程 复习巩固 平行四边形的定义是什么？ 答：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形还有哪些性质？ 答：（1）平行四边形的两组对边分别平行; （2）平行四边形的对边相等； （3）平行四边形的对角相等，相邻两角互补； （4）平行四边形的对角线互相平分. 新课导入 为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的夹在铁轨之间的枕木长相等就可以了，你能说出其中的道理吗？ 前两节课我们学行四边形的定义和性质，从这节课开始我们来探究平行四边形的判定方法. 探究新知 探究一 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 活动 将线段AB按图中所给的方向和距离,平移成线段A′B′，顺次连接点A, B, B′, A′,构成一个一组对边平行且相等的四边形AB B′A′，你能说出它一定是平行四边形吗 为什么 【教师活动】在平移过程中，对应线段有哪些性质？对应点的连线有哪些性质？ 【学生活动】测量、思考、交流结论. 【结论】平移过程中对应线段平行且相等；对应点的连线平行（活在同一条直线上）且相等. 【探究证明】 已知:如图,在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD. 求证:四边形ABCD是平行四边形. 探究：要证明四边形ABCD是平行四边形,可转化为证明两组对边分别相等,从而作辅助线,用全等三角形来证明相应的边相等. 证明:如图，连接AC. ∵ AB∥CD, ∴ ∠1＝∠2. ∵ AB＝CD,AC＝CA, ∴ △ABC≌△CDA(SAS). ∴ ∠ACB＝∠CAD. ∴ AD∥CB. ∴ 四边形ABCD是平行四边形. 【总结】一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 符号语言：∵ AB綊DC， ∴ 四边形ABCD是平行四边形. 探究二 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 活动 如图,过点A画两条线段AB，AD,以点B为圆心，以AD为半径画弧,再以点D为圆心、AB长为半径画弧,两弧相交于点C，连接BC，DC.这样画出的四边形ABCD的两组对边分别相等,它是平行四边形吗 为什么？ 【探究证明】 已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝CD,BC＝AD. 求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明：（方法一）如图，连接AC. 在△ABC和△CDA中， ∵ AB＝CD，BC＝DA，AC＝CA， ∴ △ABC≌△CDA， ∴ ∠ACB＝∠CAD，∠DAC＝∠BCA， ∴ AB∥CD , AD∥CB， ∴ 四边形ABCD是平行四边形（定义）. （方法二）如图，连接AC. 在△ABC和△CDA中， ∵ AB＝CD，BC＝DA，AC＝CA， ∴ △ABC≌△CDA， ∴ ∠CAB＝∠ACD， ∴ AB∥CD . ∵ AB＝CD, ∴ 四边形ABCD是平行四边形（判定定理1）. 【总结】 定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 符号语言：∵ AB＝DC,AD＝BC， ∴ 四边形ABCD是平行四边形. 例题讲解 【例1】如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE，四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由. 【教师活动】首先根据条件证明△AFD≌△CEB， 可得到AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，可证出AD∥CB，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证出结论. 【学生活动】独立完成解答过程，小组内交流纠正. 【解】四边形ABCD是平行四边形.证明如下： ∵ DF∥BE，∴ ∠AFD＝∠CEB. 又∵ AF＝CE，DF＝BE，∴ △AFD≌△CEB(SAS)， ∴ AD＝CB，∠DAF＝ ∠BCE， ∴ AD∥CB， ∴ 四边形ABCD是平行四边形. 跟踪训练 1.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点. 求证：四边形EBFD是平行四边形. 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AB＝CD，EB //FD． 又∵ EB＝AB，FD＝CD， ∴ EB＝FD． ∴ 四边形EBFD是平行四边形． 【例2】如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝∠D． 求证：四边形ABCD为平行四边形． 【教师活动】首先证得△ABC≌△CDA，利用全等三角形的性质得到AB＝CD，BC=AD，从而判定四边形ABCD为平行四边形． 【学生活动】根据老师的分析，先独立完成证明过程，再小组内分享自己的证明过程. 【证明】连接AC，如图所示. ∵ AB∥CD，∴ ∠BAC＝∠ACD， 在△ABC和△CDA中， ∴ △ABC≌△CDA（AAS）， ∴ BC＝AD，∴ AB＝CD，BC=AD. ∴ 四边形ABCD为平行四边形． 跟踪训练 2.如图，已知△ABC，分别以△ABC的三边为边在△ABC的同侧作三个等边三角形：△ABE，△BCD，△ACF.求证：四边形DEAF是平行四边形． 【教师活动】分析题目条件，引导学生证明四边形的两组对边分别相等． 【学生活动】根据老师的分析，先独立完成证明过程，再小组内分享自己的证明过程. 证明：∵ △ABE，△BDC都是等边三角形， ∴ BE＝AB，BD＝BC，∠EBA＝∠DBC＝60°， ∴ ∠DBE＝60°﹣∠DBA，∠ABC＝60°﹣∠DBA， ∴ ∠DBE＝∠ABC. 在△DBE和△CBA中， ∴ △DBE≌△CBA（SAS），∴ DE＝AC. 又∵ △ACF是等边三角形，∴ AC＝AF， ∴ DE＝AF． 同理可得：△ABC≌△FDC， ∴ DF＝AB＝AE． ∵ DE＝AF，EA＝DF， ∴ 四边形DEAF为平行四边形. 【小组交流结论】当一个图中出现2个等边三角形时就可以找出一对全等三角形. 课堂练习 1.在下面给出的条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是(　 　) A.AB＝BC，AD＝DC B.AB＝AD，AD＝BC C.AB＝BC，AD＝AB D.AB＝CD，AD＝BC 2.若AD＝8，AB＝4，则当BC＝__ __，CD＝__ __时，四边形ABCD是平行四边形. 3.如图，点D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连接AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，则四边形ABCD是 ，理由是 . 4.如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使四边形ABCD是平行四边形. 5.如图，∠MON＝∠PMO，OP＝x-3，OM＝4，ON＝3，MN＝5，MP＝11-x.求证：四边形OPMN是平行四边形. 6.如图，在□ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，E，F为垂足.求证：四边形AFCE是平行四边形. 参考答案 1.D 2.8 4 3.平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 4.AD∥BC或AB＝CD 5.证明：在△MON中，OM＝4，ON＝3，MN＝5， ∴ OM 2+ON 2＝MN 2，∴ △MON是直角三角形. ∴ ∠MON＝∠PMO＝90°. 在Rt△POM中，OP＝x-3，OM＝4，MP＝11-x， 由勾股定理可得，OM 2+MP 2＝OP 2， 即42+(11-x)2＝(x-3)2，解得x＝8. ∴ OP＝x-3＝8-3＝5，MP＝11-x＝11-8＝3， ∴ OP＝MN，MP＝ON， ∴ 四边形OPMN是平行四边形. 6.证明：∵ 四边形ABCD为平行四边形， ∴ AD＝BC，AD∥BC，∴ ∠ADE＝∠CBF. 又∠AED＝∠CFB＝90°，∴ △AED≌△CFB， ∴ AE＝CF. 又∵ ∠AEF＝∠CFE＝90°， ∴ AE∥CF， ∴ 四边形AFCE是平行四边形. 课堂小结 定义：一组对边分别平行的四边形是平行四边形 平行四边形的判定定理1：一组对边平行且相等的四 平行四边形的判定 边形是平行四边形. 平行四边形的判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 布置作业 教材第85页习题19.2第9题. 板书设计 第4课时 利用边的关系判定平行四边形 定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 符号语言：∵ AB
綊DC，∴ 四边形ABCD是平行四边形. 定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 符号语言：∵ AB＝DC，AD＝BC，∴ 四边形ABCD是平行四边形. 教学反思 教学反思 教学反思 教学反思 教学反思 教学反思