19.2平行四边形（第5课时） 教案 沪科版初中数学八年级（下）

第19章 四边形
19.2 平行四边形
第5课时 利用对角线判定平行四边形
教学目标 1.让学生探索并学会证明“对角线互相平分的四边形是平行四边形”. 2.使学生能够应用平行四边形的判定定理解决问题. 教学重难点 重点: 运用对角线互相平分的四边形是平行四边形这一定理. 难点：平行四边形的性质和判定的综合运用. 教学过程 新课引入 问题 如图,作两条直线相交于点O,在直线上截取OA＝OC,在直线上截取OB=OD,连接AB,BC,CD,DA.这样画出的四边形ABCD的对角线互相平分,它是平行四边形吗 为什么 大胆猜想，你可以给出证明吗？ 猜想：四边形ABCD是平行四边形. 探究新知 定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形. 【教师活动】分析题目中的已知条件和求证的结论，引导学生利用平行四边形的定义、判定定理1、判定定理2分别进行证明. 【学生活动】根据老师的分析，写出已知和求证，分析三种判定方法，选择一种自己认为较好的方法写出证明过程，在小组内交流总结. 已知：如图，四边形ABCD，AC，BD交于点O且OA＝OC，OB＝OD. 求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明：如图， ∵ 在△AOB与△COD中， ∴ △AOB≌△COD（SAS）， ∴ AB＝CD ，∠3＝∠4， ∴ AB∥CD ， ∴ 四边形ABCD是平行四边形. 【总结】 定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形. 符号语言：∵ OA＝OC，OB＝OD， ∴ 四边形ABCD是平行四边形. 例题讲解 【例1】已知，如图，在平行四边形ABCD中，点E，F在对角线AC上，并且AE＝CF. 求证:四边形BFDE是平行四边形. 【证明】如图，连接BD交AC于点 O. ∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ OA＝OC，OB＝OD. 又∵ AE＝CF, ∴ OA-AE＝OC-CF, ∴ OE＝OF. ∵ OB＝OD, ∴ 四边形BFDE是平行四边形. 【教师活动】分析题目中的条件，引导学生连接BD，利用平行四边形的性质证明OB＝OD，OA＝OC，再进一步证明OE＝OF. 【学生活动】独立完成证明过程，总结证明的方法，交流自己在做题中发现的规律. 【总结】在证明一个四边形是平行四边形时，若原图中有其中一条对角线，则通常利用对角线互相平分证明四边形是平行四边形. 跟踪训练 1.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BO＝DO，点E，F分别在AO，CO上，且BE∥DF，AE＝CF． 求证：四边形ABCD为平行四边形． 证明：∵ BE∥DF， ∴ ∠BEO＝∠DFO. 在△BEO与△DFO中， ∴ △BEO≌△DFO（AAS）， ∴ EO＝FO. ∵ AE＝CF， ∴ AE+EO＝CF+FO，即AO＝CO. ∵ BO＝DO， ∴ 四边形ABCD为平行四边形． 【教师活动】巡视学生做题情况，及时进行点拨. 【学生活动】一名学生在黑板板书，其余的独立完成. 【拓展探究】（小组探究，老师指导） 【例2】已知，如图，AB，CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E，F分别是OC，OD的中点.求证： (1)△AOC≌△BOD； (2)四边形AFBE是平行四边形. 【教师活动】(引发学生思考)(1)利用已知条件和全等三角形的判定方法即可证明△AOC≌△BOD；(2)此题已知AO＝BO，要证四边形AFBE是平行四边形，只需证OE＝OF. 【学生活动】一名学生在黑板上板书证明过程，其余学生先独立完成，再在小组内交流. 【证明】 (1)∵ AC∥BD， ∴ ∠C＝∠D. 在△AOC和△BOD中， ∴ △AOC≌△BOD(AAS). (2)∵ △AOC≌△BOD， ∴ CO＝DO. ∵ E，F分别是OC，OD的中点， ∴ OF＝OD，OE＝OC， ∴ EO＝FO. 又∵ AO＝BO， ∴ 四边形AFBE是平行四边形. 【总结】(学生总结，老师点评)在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法.熟练掌握平行四边形的判定定理是解决问题的关键. 跟踪训练 2.如图，四边形ABCD中AC、BD相交于点O，延长AD至点E，连接EO，并延长交CB的延长线于点F，∠E＝∠F，AD＝BC． （1）求证：O是线段AC的中点： （2）连接AF、EC，证明四边形AFCE是平行四边形． 证明：（1）∵ ∠E＝∠F， ∴ AD∥BC. ∵ AD＝BC， ∴ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AC，BD互相平分. 即O是线段AC的中点． （2）∵ AD∥BC， ∴ ∠EAC＝∠FCA. 在△OAE和△OCF中， ∴ △OAE≌△OCF（ASA）． ∴ OE＝OF. 又∵ OA＝OC， ∴ 四边形AFCE是平行四边形． 【教师活动】巡视学生做题情况，及时进行点拨，引导学生正确书写证明过程. 【学生活动】先在小组内交流证题思路，再按照思路写出证明过程，最后小组与小组交流，整理证明过程. 课堂练习 1.如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（　　） A．OA=OC，OB=OD B．AB=CD，AO=CO C．AB=CD，AD=BC D．∠BAD=∠BCD，AB∥CD 2.小玲的爸爸在钉制平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条AC，BD的中点重叠，并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形.这种方法的依据是(　 　) A.对角线互相平分的四边形是平行四边形 B.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 C.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D.两组对边分别平行的四边形是平行四边形 3.如图，AC，BD是相交的两条线段，点O为它们的中点.当BD绕点O旋转时，连接AB，BC，CD，DA，所得到的四边形ABCD始终为 形. 4.如图，四边形ABCD的对角线交于点O，从下列条件①AD∥BC，②AB＝CD，③AO＝CO，④∠ABC＝∠ADC中选出两个，使得四边形ABCD是平行四边形，则你选的两个条件是 .(填写一组序号即可) 5.如图，四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F，连接CF．四边形BDFC是平行四边形吗？证明你的结论． 参考答案 1.B 2.A 3.平行四边 4.①③(答案不唯一) 5.解：四边形BDFC是平行四边形．理由如下： ∵ ∠A＝∠ABC＝90°， ∴ ∠A+∠ABC＝180°， ∴ BC∥AF， ∴ ∠BCE＝∠FDE. ∵ E是CD中点， ∴ CE＝DE. 在△BCE和△FDE中， ∴ △BCE≌△FDE（ASA）， ∴ BE＝EF. 又CE＝DE， ∴ 四边形BDFC为平行四边形． 课堂小结 平行四边形的判定方法 布置作业 教材第82页练习. 板书设计 第5课时 利用对角线判定平行四边形 定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形. 符号语言：∵ OA＝OC,ＯB＝ＯD， ∴ 四边形ABCD是平行四边形 . 教学反思 教学反思 教学反思 教学反思 教学反思