19.3矩形、菱形、正方形（第1课时） 教案 沪科版初中数学八年级（下）

第19章 四边形
19.3 矩形、菱形、正方形
第1课时 矩形的定义与性质
教学目标 1.了解矩形的有关概念，理解它与平行四边形之间的关系. 2.掌握矩形的有关性质，发展学生合情推理意识，掌握几何思维方法. 3.培养严谨的推理能力，以及自主合作精神；体会逻辑推理的思维价值. 教学重难点 重点：探索并证明矩形的性质定理. 难点：应用矩形的性质定理解决相关问题. 教学过程 导入新课 1.复习回顾 平行四边形的定义，平行四边形的性质. 2.活动 观察下列图片，找出你所熟悉的图形. 问题1 在观察图片后，你能从中发现你熟悉的图形吗？你认为它们有什么样的共同特征呢？ 问题2 请同学们观察，图中的平行四边形与□ABCD相比较，还有不同点吗？ 教师适时归纳总结，同学们观察的很仔细，这些平行四边形中有一个角是直角，像这样的平行四边形叫做矩形. 同学们，你们能举出一些生活中矩形的例子吗？与同伴交流. 探究新知 一、预习新知 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 问题 改变平行四边形活动框架，将框架夹角变为90°，平行四边形成为一个矩形，这说明平行四边形与矩形具有怎样的从属关系？ 矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，但平行四边形不一定是矩形. 二、合作探究 教师为了加深学生的理解，也为了继续研究矩形的性质，让大家拿出制作好的教具一起探究. 探究活动一 矩形四角的大小关系 问题 矩形是平行四边形的特例，属于平行四边形，因此它具有平行四边形的所有性质.矩形是否具有它独特的性质呢？ 【学生活动】测量一个矩形的四个角，发现四个角的度数分别是多少度. 【教师总结】矩形的四个角都是直角. 学生写出证明过程. 已知：矩形ABCD，如图. 求证：∠A=∠B=∠C=∠D. 证明：由定义知，矩形必有一个角是直角，设∠A=90°. ∵ AB∥DC, AD∥BC, ∴ ∠B =∠C=∠D=90°（两直线平行，同旁内角互补）. 即矩形ABCD的四个角都是直角. 探究活动二 对角线的数量关系 【师生活动】用橡皮筋做出两条对角线，让学生观察这两条对角线的关系. 【教师总结】矩形的两条对角线相等. 【学生活动】分析已知和求证，小组讨论证明过程，由一名学生口述证明过程. 已知：矩形ABCD，如图： 求证：AC=BD. 证明: ∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ ∠ABC=∠BCD=90°，AB＝DC， 在Rt△ABC和Rt△DCB中，, ∴ Rt△ABC≌Rt△DCB（SAS）, ∴ AC=BD. 探究活动三 直角三角形中斜边上的中线与斜边的数量关系 如图：矩形ABCD中，AO＝_____AC，BO＝______BD.BO是Rt△ABC的什么线？由此你可以得到什么结论？ 观察、思考后发现AO＝AC，BO＝BD，BO是Rt△ABC的中线.  【教师总结】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 例题讲解 【例】如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝120°，AD＝4 cm，求矩形对角线的长. 【解】∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AC=BD，∴ OA＝OB. 又∠AOB＝120°， ∴ ∠OAB＝∠OBA＝=30°. 在Rt△ABD中，BD＝2AD＝8 cm. ∴ 矩形的对角线长为8 cm. 跟踪训练 如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，点E、点F分别在AO、DO上，且∠EBO＝∠FCO． （1）求证：OE＝OF； （2）若∠EBO＝∠ACB＝30°，BC＝，求△BEO的面积． 【教师活动】（1）欲证明OE＝OF，只要证明△EBO≌△FCO即可； （2）利用等腰三角形的性质得∠OBC＝30°，由三角形的内角和定理得∠BEO＝90°，再由直角三角形30°角的性质和三角形面积公式即可解决问题． 【学生活动】根据老师的分析，先小组交流证题思路，再独立完成证明过程，最后小组交流，纠正错误. （1）证明：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ OB＝BD，OC＝AC，且AC＝BD， ∴ OB＝OC. 在△EBO和△FCO中， ∵ ∴ △EBO≌△FCO（ASA）， ∴ OE＝OF. （2）解：∵ OB＝OC， ∴ ∠OBC＝∠OCB. ∵∠EBO＝∠ACB＝30°， ∴ ∠OBC＝30°， ∴ ∠BEC＝180°﹣30°﹣30°﹣30°＝90°. ∵ BC＝2， ∴ BE＝BC＝. 在Rt△BEO中，∵ ∠EBO＝30°， ∴ OE＝1， ∴ △BEO的面积＝. 课堂练习 1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A.对角相等 B.对边相等 C.对角线相等 D.对角线互相平分 2.已知矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线所夹锐角的度数为 ( ) A．50° B．60° C．70° D．80° 3.如图，已知在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于O，∠ACB＝30°，AB＝5㎝，则AC＝ ㎝，BD＝ ㎝. 4.如图，在矩形ABCD中，点E，F在对角线BD上.请添加一个条件，使得结论“AE＝CF”成立，并加以证明. 5.如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，DF＝DC，DF⊥AE于F． （1）求证：AE＝BC； （2）如果AB＝3，AF＝4，求EC的长． 参考答案 1.C 2.D 3.10 10 4.解：添加条件：BE＝DF（或DE＝BF或AE∥CF或∠AEB＝∠DFC或∠DAE＝∠BCF或∠AED＝∠CFB或∠BAE＝∠DCF等）. 选择BE＝DF. 证明：在矩形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD， ∴ ∠ABE＝∠CDF. ∵ BE＝DF，∴ △ABE≌△CDF（SAS）. ∴ AE＝CF. 5.（1）证明：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ ∠B＝90°，AB＝DC，AD＝BC，AD∥BC， ∴ ∠AEB＝∠DAF. ∵ DF⊥AE， ∴ ∠AFD＝90°＝∠B. ∵ DF＝DC， ∴ AB＝DF. 在△ABE和△DFA中， ∴ △ABE≌△DFA（AAS）， ∴ AE＝AD， ∴ AE＝BC. （2）解：由（1）得△ABE≌△DFA， ∴ BE＝AF＝4，AE＝BC. ∵ ∠B＝90°， ∴ AE＝＝＝5， ∴ BC＝5， ∴ EC＝BC﹣BE＝5﹣4＝1． 课堂小结 1.矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.矩形的性质： （1）边：对边平行且相等. （2）角：四个角都是直角. （3）对角线：对角线互相平分且相等. 3. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 4.矩形性质的应用，将矩形的问题转化为三角形的问题. 布置作业 教材第88页练习. 板书设计 第1课时　矩形的定义与性质 1.矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.矩形的性质定理： 矩形的四个角都是直角； 矩形的对角线相等. 3.直角三角形： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 教学反思 教学反思 教学反思 教学反思 教学反思