教学课件：七下·湘教·2.2.1 平方差公式
文档属性
| 名称 | 教学课件：七下·湘教·2.2.1 平方差公式 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 698.7KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-02-21 19:31:07 | ||
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文档简介
(共20张PPT)
第二章 整式的乘法
2.2 乘法公式
2.2.1 平方差公式
学 习 目 标
1
3
2
会根据特殊形式的多项式相乘，推导出平方差公式，了解公式的几何背景.
掌握平方差公式的结构特征.（重点）
能灵活运用平方差公式进行运算.（难点）
新课导入
小霞同学去商店买了单价10.2元/千克的糖果9.8千克，小霞同学马上说：“应付99.96元。”售货员很惊讶：“你真是个神童！”小霞同学说：“过奖了，我只是利用了数学上刚学过的一个公式而已！”
知识讲解
动脑筋
计算下列各式，你能发现什么规律：
(，
= ，
(
(，
.
12
22
32
42
我们用多项式乘法来推导一般情况
( )
=
=
结论
叫做平方差公式.
我们把
即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差.
1.（a – b ) ( a + b) = a2 - b2
2.（b + a )( -b + a ) = a2 - b2
公式变形：
3.(－ m+n) (－ m － n) =
m2 － n2.
说一说
如图（a），将边长为a的大正方形
（a）
剪去一个边长为b 的小正方形，
并将剩余部分沿虚线剪开，
得到两个长方形，
再将这两个长方形拼成如图（b）.
你能用这两个图来解释平方差公式吗？
（b）
平方差公式有什么特点？
(a+b)(a－ b)=
a2－ b2
左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数
右边是相同项的平方减去相反项的平方
注意： ①公式中的和单项式，也可以是多项式．②只有符合公式结构特征的才能运用公式，否则仍用多项式相乘法则.
对于满足平方差公式特征的多项式的乘法，可以利用该公式进行简便计算.
运用平方差公式计算：
（1）()；
（2）().
分析：可以把“2”看成平方差公式中的“”，“1”看成“”.
分析：可以把“”看成平方差公式中的“”看成“”.
例1
解： （1）
=
= 41.
（2）)
=
运用平方差公式计算：
（1） ；
（2）().
例2
（2） (
= (
=
= ()
计算： 1 002 × 998 ．
解： 1 002 × 998
= (1 000 +2)(1 000-2)
= 1 0002 -22
= 1 000 000 - 4
= 999 996
例3
随堂训练
1.下列运算中，可用平方差公式计算的是( )
A．(x＋y)(x＋y) B．(－x＋y)(x－y)
C．(－x－y)(y－x) D．(x＋y)(－x－y)
C
2.计算（2x+1）（2x-1）等于（ ）
A．4x2-1 B．2x2-1 C．4x-1 D．4x2+1
A
3.两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那
么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的
面积，差是________．
10
4.利用平方差公式计算：
(1)(3x－5)(3x＋5)；
(2)(－2a－b)(b－2a)；
(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)．
解：(1)原式=(3x)2－52＝9x2－25.
(2)原式=(－2a)2－b2＝4a2－b2.
(3)原式=(－7m)2－(8n)2＝49m2－64n2.
5.先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.
原式＝5×12－5×22＝－15.
解：原式＝4x2－y2－(4y2－x2)
＝4x2－y2－4y2＋x2
＝5x2－5y2.
当x＝1，y＝2时，
6.计算： 20212 － 2020×2022.
解：
20212 － 2020×2022
= 20212 － (2021－1)×(2021+1)
= 20212
－ （20212－12 )
= 20212
－ 20212+12
=1.
7.已知x≠1，计算：(1＋x)(1－x)＝1－x2，(1－x)(1＋
x＋x2)＝1－x3，(1－x)(1＋x＋x2＋x3)＝1－x4.
(1)观察以上各式并猜想：(1－x)(1＋x＋x2＋…＋xn)＝
________；(n为正整数)
(2)根据你的猜想计算：
①(1－2)(1＋2＋22＋23＋24＋25)＝________；
②2＋22＋23＋…＋2n＝________(n为正整数)；
③(x－1)(x99＋x98＋x97＋…＋x2＋x＋1)＝________；
1－xn+1
-63
2n＋1－2
x100－1
(3)通过以上规律请你进行下面的探索：
①(a－b)(a＋b)＝________；
②(a－b)(a2＋ab＋b2)＝________；
③(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝________．
a2－b2
a3－b3
a4－b4
8.给出下列算式: 32－12=8 =8×1；
52－32=16=8×2；
72－52=24=8×3；
92－72=32=8×4.
（1）观察上面一系列式子，你能发现什么规律？
（2）用含n的式子表示出来 （n为正整数）.
（3）计算 20052－20032= ，此时n = .
连续两个奇数的平方差是8的倍数.
（2n+1)2－ (2n－1)2=8n
8016
1002
课堂小结
平方差公式
(a+b)(a－ b)=
a2－ b2.
即两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差.
第二章 整式的乘法
2.2 乘法公式
2.2.1 平方差公式
学 习 目 标
1
3
2
会根据特殊形式的多项式相乘，推导出平方差公式，了解公式的几何背景.
掌握平方差公式的结构特征.（重点）
能灵活运用平方差公式进行运算.（难点）
新课导入
小霞同学去商店买了单价10.2元/千克的糖果9.8千克，小霞同学马上说：“应付99.96元。”售货员很惊讶：“你真是个神童！”小霞同学说：“过奖了，我只是利用了数学上刚学过的一个公式而已！”
知识讲解
动脑筋
计算下列各式，你能发现什么规律：
(，
= ，
(
(，
.
12
22
32
42
我们用多项式乘法来推导一般情况
( )
=
=
结论
叫做平方差公式.
我们把
即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差.
1.（a – b ) ( a + b) = a2 - b2
2.（b + a )( -b + a ) = a2 - b2
公式变形：
3.(－ m+n) (－ m － n) =
m2 － n2.
说一说
如图（a），将边长为a的大正方形
（a）
剪去一个边长为b 的小正方形，
并将剩余部分沿虚线剪开，
得到两个长方形，
再将这两个长方形拼成如图（b）.
你能用这两个图来解释平方差公式吗？
（b）
平方差公式有什么特点？
(a+b)(a－ b)=
a2－ b2
左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数
右边是相同项的平方减去相反项的平方
注意： ①公式中的和单项式，也可以是多项式．②只有符合公式结构特征的才能运用公式，否则仍用多项式相乘法则.
对于满足平方差公式特征的多项式的乘法，可以利用该公式进行简便计算.
运用平方差公式计算：
（1）()；
（2）().
分析：可以把“2”看成平方差公式中的“”，“1”看成“”.
分析：可以把“”看成平方差公式中的“”看成“”.
例1
解： （1）
=
= 41.
（2）)
=
运用平方差公式计算：
（1） ；
（2）().
例2
（2） (
= (
=
= ()
计算： 1 002 × 998 ．
解： 1 002 × 998
= (1 000 +2)(1 000-2)
= 1 0002 -22
= 1 000 000 - 4
= 999 996
例3
随堂训练
1.下列运算中，可用平方差公式计算的是( )
A．(x＋y)(x＋y) B．(－x＋y)(x－y)
C．(－x－y)(y－x) D．(x＋y)(－x－y)
C
2.计算（2x+1）（2x-1）等于（ ）
A．4x2-1 B．2x2-1 C．4x-1 D．4x2+1
A
3.两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那
么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的
面积，差是________．
10
4.利用平方差公式计算：
(1)(3x－5)(3x＋5)；
(2)(－2a－b)(b－2a)；
(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)．
解：(1)原式=(3x)2－52＝9x2－25.
(2)原式=(－2a)2－b2＝4a2－b2.
(3)原式=(－7m)2－(8n)2＝49m2－64n2.
5.先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.
原式＝5×12－5×22＝－15.
解：原式＝4x2－y2－(4y2－x2)
＝4x2－y2－4y2＋x2
＝5x2－5y2.
当x＝1，y＝2时，
6.计算： 20212 － 2020×2022.
解：
20212 － 2020×2022
= 20212 － (2021－1)×(2021+1)
= 20212
－ （20212－12 )
= 20212
－ 20212+12
=1.
7.已知x≠1，计算：(1＋x)(1－x)＝1－x2，(1－x)(1＋
x＋x2)＝1－x3，(1－x)(1＋x＋x2＋x3)＝1－x4.
(1)观察以上各式并猜想：(1－x)(1＋x＋x2＋…＋xn)＝
________；(n为正整数)
(2)根据你的猜想计算：
①(1－2)(1＋2＋22＋23＋24＋25)＝________；
②2＋22＋23＋…＋2n＝________(n为正整数)；
③(x－1)(x99＋x98＋x97＋…＋x2＋x＋1)＝________；
1－xn+1
-63
2n＋1－2
x100－1
(3)通过以上规律请你进行下面的探索：
①(a－b)(a＋b)＝________；
②(a－b)(a2＋ab＋b2)＝________；
③(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝________．
a2－b2
a3－b3
a4－b4
8.给出下列算式: 32－12=8 =8×1；
52－32=16=8×2；
72－52=24=8×3；
92－72=32=8×4.
（1）观察上面一系列式子，你能发现什么规律？
（2）用含n的式子表示出来 （n为正整数）.
（3）计算 20052－20032= ，此时n = .
连续两个奇数的平方差是8的倍数.
（2n+1)2－ (2n－1)2=8n
8016
1002
课堂小结
平方差公式
(a+b)(a－ b)=
a2－ b2.
即两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差.