19.3矩形、菱形、正方形（第3课时） 教案 沪科版初中数学八年级（下）

第19章 四边形
19.3 矩形、菱形、正方形
第3课时　菱形的定义与性质
教学目标 1.能从现实生活中抽象出图形的过程，了解菱形的概念及其与平行四边形的关系. 2.探索菱形性质的过程，发展合情推理能力. 3.在证明性质和运用性质解决问题的过程中进一步发展学生逻辑推理能力. 教学重难点 重点：探索并证明菱形的性质定理. 难点：应用菱形的性质定理解决相关问题. 教学过程 导入新课 1.复习回顾 平行四边形的定义？平行四边形的性质？ 2.活动 观察下列图片，找出你所熟悉的图形. 问题1 在观察图片后，你能从中发现你熟悉的图形吗？ 你认为它们有什么样的共同特征呢？ 问题2 请同学们观察，图中的平行四边形与□ABCD相比较，还有不同点吗？ 教师：同学们观察的很仔细，这些平行四边形的邻边相等，像这样的平行四边形叫做菱形. 同学们你能举出一些生活中菱形的例子吗？与同伴交流. 比如： 探究新知 一、预习新知 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 问题：平行四边形与菱形有什么关系？ 菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，但平行四边形不一定是菱形. 二、合作探究 1.想一想 教师：菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质.你能列举一些这样的性质吗？ 学生：菱形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分. 教师：同学们，你认为菱形还具有哪些特殊的性质？请你与同伴交流. 猜想归纳：①菱形的四条边都相等. ②菱形的两条对角线互相垂直平分. 2.做一做 教师：请同学们用菱形纸片折一折，回答下列问题： （1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？ （2）菱形中有哪些相等的线段？ 教师： 折纸归纳： ①菱形是轴对称图形，有两条对称轴，是菱形对角线所在的直线，两条对角线互相垂直. ②菱形的四条边相等. 3.验证菱形性质 已知：如图在菱形ABCD中，AB＝AD,对角线AC与BD相交于点O. 求证：（1）AB＝BC＝CD＝AD； （2）AC⊥BD. 证明：（1）∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ AB ＝ CD，AD＝ BC（菱形的对边相等）. 又∵ AB＝AD，∴ AB＝BC＝CD＝AD. （2）∵ AB＝AD，∴ △ABD是等腰三角形. 又∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ OB＝OD（菱形的对角线互相平分）. 在等腰三角形ABD中， ∵ OB＝OD，∴ AO⊥BD，即AC⊥BD. 性质1 菱形的四条边相等. 性质2 菱形的对角线互相垂直. 例题讲解 【例1】已知菱形的两条对角线长分别是a,b，求菱形的面积. 【解】设菱形ABCD的两条对角线AC,BD相交于点O，AC=a,BD=b. 因为四边形ABCD是菱形， 所以AC⊥BD.（菱形的对角线互相垂直） 所以＝+ ＝ 【教师活动】（引导学生思考）根据菱形的对角线互相垂直，可以把菱形ABCD的面积看成两个三角形面积的和，按照三角形面积进行计算，同时巡视学生做题，指导做题中出现的错误. 【学生活动】尝试把菱形分割成两个三角形△ABD与△CBD或者△ABC与△CAD，分别计算菱形面积，最后把计算结果进行比较，总结菱形的面积计算公式. 【师生总结】菱形面积有两种计算：一是根据平行四边形面积可得，面积等于底×高；二是根据对角线互相垂直，面积=×对角线×对角线. 跟踪训练 1.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB＝2． （1）求菱形ABCD的周长； （2）若AC＝2，求菱形ABCD的面积． 解：（1）∵ 四边形ABCD是菱形，AB＝2， ∴ BC＝CD＝AD＝AB＝2， ∴ 菱形ABCD的周长＝4AB＝8. （2）∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝1， ∴ OB＝＝＝， ∴ BD＝2OB＝2， ∴ 菱形ABCD的面积＝AC×BD＝×2×2＝2：2020/ 【例2】如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O, ∠BAD＝60°，BD＝6，求菱形的边长AB和对角线AC的长. 【解】∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ AB＝AD(菱形的四条边都相等)， AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直)， OB＝OD＝BD＝×6＝3(菱形的对角线互相平分). 在等腰三角形ABD中，∵ ∠BAD＝ 60°， ∴ △ABD 是等边三角形， ∴ AB＝BD＝6. 在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2+OB2＝AB2 ， ∴ OA＝， ∴ AC＝2OA＝6(菱形的对角线互相平分). 【教师活动】①因为菱形的邻边相等，一个内角是60°.这样就可以得到等边三角形ABD.又BD＝6，所以菱形的边长也是6；②由菱形的对角线互相垂直，可以得到直角三角形AOB.由菱形的对角线互相平分，可以得到OB＝3，根据勾股定理就可以求出OA的长，从而可求出AC. 【学生活动】根据老师的分析，整理思路，独立完成证明过程，再在小组内交流总结，规范证明过程，对出现的不正确的进行纠正. 【师生归纳】若菱形有一个内角为60°，那么60°角的两边与较短的对角线可构成等边三角形，且两条对角线把菱形分成四个全等的含30°角的直角三角形. 跟踪训练 2.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE∶AC＝1∶2，连接CE，OE，连接AE交OD于点F． （1）求证：OE＝CD； （2）若菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，求AE的长． （1）证明：在菱形ABCD中，OC＝AC． ∵ DE∶AC＝1∶2， ∴ DE＝OC. ∵ DE∥AC， ∴ 四边形OCED是平行四边形． ∵ AC⊥BD， ∴ 平行四边形OCED是矩形． ∴ OE＝CD． （2）解：在菱形ABCD中，∠ABC＝60°， ∴ AC＝AB＝4． 在矩形OCED中，CE＝OD＝＝＝． 在Rt△ACE中，AE＝＝＝ 【教师活动】（1）先求出四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出∠COD＝90°，证明边形形OCED是矩形，即可得OE＝CD； （2）根据菱形的性质得出AC＝AB，再根据勾股定理得出AE的长度即可． 【学生活动】两名学生黑板板书证明过程，其余学生先独立完成，再小组内交流，理顺整体思路，规范证明过程. 课堂练习 1.菱形不具备的性质是（　　） A.四条边都相等 B.对角线一定相等 C.是轴对称图形 D.是中心对称图形 2.已知四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为菱形，还需要添加一个条件，这个条件是(　　) A.AB＝BC　 　B.AB＝CD C.AD＝BC D.AC＝BD 3.如图，菱形ABCD的周长为48 cm，对角线AC，BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长为_______. 4.如图，已知菱形的两条对角线长分别为6 cm和8 cm，则这个菱形的高DE为 . 5.如图，O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点，CD＝5 cm，OD＝3 cm；过点C作CE∥DB，过点B作BE∥AC，CE与BE相交于点E. (1)求OC的长； (2)求四边形OBEC的面积． 6.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH． （1）求证：∠OHD＝∠ODH； （2）若OC＝4，BD＝6，求菱形ABCD的周长和面积． 参考答案 1.B 2.A 3.6 cm 4.4.8 cm 5.解：(1)∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ AC⊥BD. 在Rt△OCD中，由勾股定理得OC＝4cm. (2)∵ CE∥DB，BE∥AC， ∴ 四边形OBEC为平行四边形. 又∵ AC⊥BD，即∠COB＝90°， ∴ 平行四边形OBEC为矩形. ∵ OB＝OD＝3cm， ∴ S矩形OBEC＝OB·OC＝4×3＝12(cm2)． 6.分析：（1）先根据菱形的性质得OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC，则利用DH⊥AB得到DH⊥CD，∠DHB＝90°，所以OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，得到OH＝OD＝OB，利用等腰三角形的性质证明结论； （2）先根据菱形的性质得OD＝OB＝BD＝3，OA＝OC＝4，BD⊥AC，再根据勾股定理计算出CD，然后利用菱形的性质和面积公式求菱形ABCD的周长和面积． （1）证明：∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC. ∵ DH⊥AB， ∴ ∠DHB＝90°， ∴ OH＝BD＝OD， ∴ ∠OHD＝∠ODH. （2）解：∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ OD＝OB＝BD＝3，OA＝OC＝4，BD⊥AC. 在 Rt△OCD中，CD＝＝5， ∴ 菱形ABCD的周长＝4CD＝20， 菱形ABCD的面积＝×6×8＝24． 课堂小结 1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2.菱形的性质：①菱形的四条边相等. ②菱形的对角线互相垂直平分. 布置作业 教材第92页练习. 板书设计 第3课时　菱形的定义与性质 1.菱形的定义： 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2.菱形的性质： ①菱形的四条边相等； ②菱形的对角线互相垂直平分； ③菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线. 教学反思 教学反思 教学反思 教学反思 教学反思 教学反思