19.3矩形、菱形、正方形（第4课时） 教案 沪科版初中数学八年级（下）

第19章 四边形
19.3 矩形、菱形、正方形
第4课时 菱形的判定
教学目标 1.能够用综合法证明菱形的判定定理. 2.通过探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证能力. 3.进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用. 教学重难点 重点：掌握菱形的判定定理以及证明方法. 难点：运用综合法证明菱形的判定定理. 教学过程 导入新课 1.复习回顾 （1）菱形的定义？ 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. （2）菱形的性质（边、角、对角线、对称性）？ ①菱形的四条边相等； ②菱形的对角线互相垂直平分； ③菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线. 2.思考 菱形的定义可以作为菱形的判定吗？ 探究新知 探究一 四边相等的四边形是菱形 1.如图,以点A为端点任意画两条相等的线段AB和AD,再分别以点B,D为圆心，AB长为半径画弧,两弧相交于点C,连接BC,DC,四边形ABCD是菱形吗 为什么 【教师活动】指导学生按照要求画出图形，引导学生根据作法写出已知，利用菱形的定义先证明四边形是平行四边形，再判定四边形是菱形. 【学生活动】先按照要求画出图形，由画图可知四边形的四条边是相等的，先根据老师的思路自己写出证明过程，再在小组内交流，最后总结结论并用几何语言描述. 已知:如图,在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，AB＝BC. 求证: 四边形ABCD是菱形. 证明:∵ AB＝CD，AD＝BC ， ∴ 四边形ABCD是平行四边形. 又∵ AB＝BC， ∴ 四边形ABCD是菱形(菱形的定义). 定理1 四条边都相等的四边形是菱形. 几何语言描述： ∵ 在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD， ∴ 四边形 ABCD是菱形. 探究二 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 如图,画两条互相垂直的直线和,两直线相交于点O,在上取两点A,C，使OA=OC,在上取两点B,D,使OB=OD,顺次连接A,B,C,D,四边形ABCD是菱形吗 为什么？ 问题：对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 小实验 用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字架,四周围上一根橡皮筋,做成一个平行四边形.那么转动木条,这个平行四边形什么时候变成菱形 对此你有什么猜想？ 猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 【教师活动】展示题目要求并提出问题，指导学生按照要求画出图形，再用课件演示小实验，通过小实验提出问题，引导学生进行猜想，写出已知和求证，分析证题思路，写出证明过程. 【学生活动】先按照要求画出图形，先根据老师的思路自己写出证明过程，再在小组内交流，互查在做题中出现的问题，最后总结结论并用几何语言描述. 已知:如图,在□ABCD中,对角线AC与BD交于点O，AC⊥BD.求证：□ABCD是菱形. 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ OA＝OC. 又∵ AC⊥BD， ∴ BD是AC的垂直平分线， ∴ BA＝BC， ∴ 四边形ABCD是菱形(菱形的定义). 定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 几何语言描述： ∵ 在□ABCD中，AC⊥BD, ∴ □ABCD是菱形. 【教师活动】你能总结一下，菱形的判定有哪些方法吗？ 【学生活动】在小组内展开讨论，总结菱形的三种判定方法，用语言进行描述. 【师生总结】由学生口述，老师板书在黑板. 方法一：定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 方法二：四边相等的四边形是菱形. 方法三：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 【教师活动】指出菱形判定定理的证明首先让学生对菱形的性质和判定的关系有一定的认识，再与性质定理的证明进行对比，同时，教师引导学生独立思考，培养学生遇到题目时冷静思考，养成解题思路的良好习惯.在分析思路时，逐步锻炼学生的推理论证能力，最后通过互查的形式让每个学生都能严格的证明，培养严谨的作风.采取小组合作时，对学生提出自己意见的进行鼓励，鼓励发现更多的方法来证明这些定理，在合作中让学生相互帮助共同进步. 例题讲解 【例1】如图，在△ABC中, AD是∠CAB的平分线，点E，F分别在AB，AD上，且AE＝AC，EF＝ED. 求证：四边形CDEF是菱形. 【证明】∵ ∠1＝∠2，AE＝AC，AD＝AD， ∴ △ACD≌ △AED (SAS). 同理△ACF≌△AEF(SAS) . ∴ CD＝ED， CF＝EF. 又∵ EF＝ED，∴ CD＝ED＝CF＝EF, ∴ 四边形ABCD是菱形. 【教师活动】引导学生利用三角形的全等证明四边形的两组邻边分别相等，再利用已知条件证明四边形的四条边相等，巡视学生做题，纠正证题思路不条理的学生，及时进行指导. 【学生活动】一名学生在黑板板书，其他学生先独立完成，再在小组内交流，交流证题思路和证明过程. 跟踪训练 1.如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是菱形. 证明：连接AC，BD. ∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AC=BD. ∵ 点E，F，G，H为各边中点， ∴ EF=GH= BD，FG=EH=AC， ∴ EF=FG=GH=HE， ∴ 四边形EFGH是菱形. 【教师活动】引导学生作辅助线，即连接AC，BD，利用三角形的中位线定理证明四边形的四条边相等. 拓展：提出问题，若一个四边形的对角线相等，那么连接四边中点得到的四边形是不是菱形？ 【学生活动】首先书写本题的证明过程，再在小组内交流，验证若一个四边形的对角线相等，那么连接四边中点得到的四边形的形状. 【师生总结】任意四边形的中点四边形是菱形. 【例2】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，E为AD延长线上一点，CF∥BE交AD于点F，连接BF，CE．四边形BECF是菱形吗？请说明理由． 【教师活动】分析AB＝AC，AD是∠BAC的平分线可得BD＝CD，再由CF∥BE，利用ASA易证得△BDE≌△CDF，即可得BE＝CF，然后由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证得四边形BFCE是平行四边形；由AB＝AC，D是BC的中点，即可得AD⊥BC，又由四边形BFCE是平行四边形，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可证得四边形BFCE是菱形． 【学生活动】学生先自己尝试写出证明过程，再在小组内交流，由一名学生口述证明过程，其余学生纠正. 【证明】∵ AB＝AC，AD是∠BAC的平分线， ∴ BD＝CD， ∵ CF∥BE， ∴ ∠DBE＝∠FCD. 在△BDE和△CDF中， ∴ △BDE≌△CDF（ASA）， ∴ BE＝CF. 又∵ CF∥BE， ∴ 四边形BFCE是平行四边形. ∵ AB＝AC，D是BC的中点， ∴ AD⊥BC. 又∵ 四边形BFCE是平行四边形， ∴ 四边形BFCE是菱形． 跟踪训练 2.如图，□ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，AB=5，OA=4，OB=3. 求证：四边形ABCD是菱形. 证明：∵ OA=4,OB=3,AB=5， ∴ AB2=OA2+OB2， ∴△AOB是直角三角形， 即AC⊥BD. 又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形. 【教师活动】根据已知三角形的三条边长，利用勾股定理的逆定理证明三角形是直角三角形，从而证明对角线互相垂直， 【学生活动】在老师的引导下，自己写出证明过程. 课堂练习 1.下列命题中正确的是(　 ) A.对角线相等的四边形是菱形 B.对角线互相垂直的四边形是菱形 C.对角线相等的平行四边形是菱形 D.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 2.如图，下列条件能使?ABCD是菱形的是(　 ) ①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④BD平分∠ABC. A.①③　　 B.②③　 　C.③④ 　　D.①③④ 3.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A<90°，BC，CA，AB的中点分别为点D，F，E，则四边形AFDE是 . 4.在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是 . ① ∠ABC=90°；②AC⊥BD；③ AB=BC； ④ AB∥CD. 5.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF. （1）求证：AF＝DB； （2）求证：四边形ADCF是菱形. 6.如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于点E，F，求证：四边形AFCE是菱形. 参考答案 1.D 2. D 3.菱形 4.②或③ 5.证明：（1）∵ AF∥BC，∴ ∠AFE＝∠DBE. ∵ △ABC是直角三角形，AD是BC边上的中线，E是AD的中点， ∴ AE＝DE，BD＝CD. 在△AFE和△DBE中，∠AFE＝∠DBE,∠FEA=∠BED,AE＝DE， ∴ △AFE≌△DBE，∴ AF＝BD. （2）由（1）知，AF＝BD, ∵ BD＝CD，∴ AF＝CD. ∵ AF∥BC，∴ 四边形ADCF是平行四边形. ∵ ∠BAC＝90°，D是BC的中点， ∴ AD＝DC， ∴ 四边形ADCF是菱形. 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、菱形的判定及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半的性质，熟练运用相关知识是解决问题的关键. 6.证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AE∥FC（平行四边形的对边平行）， ∴ ∠EAC＝∠FCA. ∵ EF垂直平分AC， ∴ OA＝OC，∠AOE＝∠COF＝90°， ∴ △AOE ≌△COF（ASA）， ∴ EO＝FO， ∴ 四边形AFCE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）. 又∵ EF⊥AC， ∴ 四边形AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）. 课堂小结 判定四边形是菱形的方法： 方法一：（定义法）一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 方法二：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 方法三：四条边相等的四边形是菱形. 布置作业 教材第92页练习. 板书设计 第4课时 菱形的判定 定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 菱形的判定定理： 四条边相等的四边形是菱形； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 教学反思 教学反思 教学反思 教学反思 教学反思 教学反思