8.4 三元一次方程组的解法 教案--人教版初中数学七年级下

8.4 三元一次方程组的解法
教学目标 1.知道什么是三元一次方程和三元一次方程组. 2.会用消元法解简单的三元一次方程组. 3.掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元或一元的思路. 4.培养学生的分析能力，能根据题目的特点，确定消元方法、消元对象. 5.培养学生的计算能力，训练解题技巧. 教学重难点 重点：会准确、迅速地解三元一次方程组. 难点：根据方程组的特点选择合适的消元方法. 课前准备 多媒体课件 教学过程 导入新课 教师：同学们，前面我们研究了二元一次方程组，谁来回答一下解二元一次方程组的基本方法有哪几种 解二元一次方程组的基本思想是什么 教师：通过以上几节课的学习，我们不仅知道了什么是二元一次方程、二元一次方程组，而且还能利用它们来解决许多实际问题，这些问题中的未知数有两个.如果问题中的未知数多于两个，你能解决吗 这就是今天我们要研究的问题.(板书课题) 设计意图 教师先复习二元一次方程组的解题思想及方法，让学生充分理解方程组的消元思想及方法. 探究新知 探究点一：三元一次方程(组)的概念. 教师：请大家看下面这一问题，小明有12张面额分别为10元、20元、50元的纸币，共计220元，其中10元的纸币的数量是20元纸币数量的4倍.求10元、20元、50元纸币各多少张. 教师：题目中有哪些已知量和未知量？你能找到相等关系吗？ 学生回答，其他同学补充，得出结论.有三个相等关系：①10元纸币的总钱数+20元纸币的总钱数+50元纸币的总钱数＝220元；②10元纸币的数量＝20元纸币的数量×4；③10元纸币的数量+20元纸币的数量+50元纸币的数量＝12张. 教师：上述相等关系式中有哪几个未知数？你可以怎么设？ 学生回答，可以设10元、20元、50元的纸币各有x张、y张、z张. 教师：根据相等关系，你可以列出方程吗？ 学生回答，如有不足，其他同学补充，师生一起得出结论：可以得到以下三个方程： 教师：大家知道，方程③是二元一次方程，那么方程①②呢 你能说出它们的特点吗 学生回答，如有不足，其他同学补充. 教师：结合二元一次方程的定义，请给三元一次方程下定义？ 学生回答，如有不足，其他同学补充，得出结论：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的整式方程叫做三元一次方程. 教师：在上面这个练习中，这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们把这三个方程合在一起，写成 这个方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 探究点二：三元一次方程组的解法. 教师：在上面练习中要求10元、20元、50元的纸币的数量，即求x，y，z的值，实质上就是解三元一次方程组，结合解二元一次方程组的思想，你认为解三元一次方程组的基本思路是什么？学生回答，如有不足，其他同学补充，教师引导学生得出结论. 三元一次方程组二元一次方程组一元一次方程. 教师：想一想，怎样把上述三元一次方程组转化成二元一次方程组，从而解此方程组. 学生思考，小组交流讨论，并展示讨论成果，教师引导，得出结论： 通过①②消去未知数z，得到关于x，y的方程，与③组成二元一次方程组，先求出x，y，再求出z. 教师：现在你是否会解此三元一次方程组？请写出详细解答过程. 学生独立完成，并上台板演，教师规范解答过程： 解：①×50-②，得4x+3y＝38.④ 由③④组成方程组 解得 把x＝8，y＝2代入①，得z＝2. 所以原方程组的解为 教师：解三元一次方程组的基本思想是消元，分析三个未知数系数的特点，判断用最适合的方法选择消去哪个未知数是能正确迅速的解三元一次方程组的关键. 设计意图 利用一个既能用二元一次方程组解决，又能用三元一次方程组解决的问题，让学生在解决问题的过程中，结合实例，用类比法学习三元一次方程组的有关概念，由于三元一次方程组的概念比较容易理解，结合实例，师生以谈话的方式解决即可，但解三元一次方程组时，要明确先消去哪个未知数，然后将三元一次方程组转化为二元一次方程组，最后要写出方程组的解. 新知应用 例 在等式y＝+bx+c中，当x＝-1时，y＝0；当x＝2时，y＝3；当x＝5时，y＝60.求a，b，c的值. 教师：要想求a，b，c三个未知数的值，一般要列一个三元一次方程组，根据题意，你是否能列出此方程组？ 学生回答，教师板书. 教师：观察此三元一次方程组和上题中的三元一次方程组有什么不同？ 学生回答，如有不足，其他同学补充，教师引导，得出结论：这个方程组中的每一个方程都含有三个未知数. 教师：观察三个方程中三个未知数的各个系数，你认为首先消去哪个未知数更简单？为什么？具体应该怎么做？ 学生回答，如有不足，其他同学补充，教师引导，得出结论：由于c的系数最简单，所以先消去c.分别用②-①，③-①得到两个关于a，b的二元一次方程，解由它们组成的方程组就可以求出a，b的值，然后求c的值. 教师：请写出解此三元一次方程组的详细解答过程. 学生上台板演，教师强调解答格式及注意事项. 解：根据题意，得三元一次方程组 ②-①，得3a+3b＝3，即a+b＝1.④ ③-①，得24a+6b＝60，即4a+b＝10.⑤ ④与⑤组成二元一次方程组 解这个方程组，得 把a＝3，b＝-2代入①，得c＝-5.所以 教师：回顾解三元一次方程组的过程，你认为可以分为哪几步？ 学生回答，如有不足，其他同学补充，师生一起得出解三元一次方程组的一般步骤： (1)观察方程组的系数特点，确定先消哪个未知数； (2)消元，得到一个二元一次方程组； (3)解二元一次方程组，求出两个未知数的值； (4)求出第三个未知数的值，写出方程组的解. 设计意图 通过例题的讲解，进一步熟悉解三元一次方程组的基本步骤，例2是三元一次方程组的简单应用，利用这个题目，一方面让学生体会利用三元一次方程组可以解决实际问题，另一方面进一步探究三元一次方程组的一般解法，提高学生的观察分析能力与运算技能. 课堂练习 (见导学案“当堂达标”) 参考答案 1.D 2.B 3.B 4.B 5.8 6.y＝2 z＝7 x＝10 7.30 8.解：(1)③-①，得x-2y＝-8.④ ④与②组成方程组 解这个方程组，得 把x＝10，y＝9代入①，得z＝7. ∴ 方程组的解为 (2)①+②，得3x-2y＝-1.④ ①+③，得-2x+6y＝10.⑤ ④与⑤组成方程组解得 把x＝1，y＝2代入①，得z＝3. ∴ 方程组的解为 设计意图 独立完成，及时订正，检验解题的规范与计算的准确性.通过练习，掌握三元一次方程组的解法，形成初步运算技能. (见导学案“课后提升”) 参考答案 1.解：①+②+③，得2(x+y+z)＝18， 所以x+y+z＝9. ④ ④-①，得z＝1.④-②，得x＝3.④-③，得y＝5. 所以原方程组的解为 又因为方程组的解使代数式kx+2y-3z的值为8， 所以3k+2×5-3×1＝8，解得k＝. 2.解：设种植水稻x公顷，棉花y公顷，蔬菜z公顷. 根据题意，得解得 答：种植水稻15公顷，棉花20公顷，蔬菜16公顷. 课堂小结 1.三元一次方程的概念，三元一次方程组的概念. 2.解三元一次方程组的基本思想是什么？方法有哪些？ 3.注意的问题： (1)先消哪个未知数，怎样消元，取决于方程组的系数特点，要仔细观察，选择较简单的方法. (2)消元时，两次消去的必须是同一个“元”. (3)解方程组时要细心，在准确的基础上提高运算速度. 布置作业 教材第106页练习第1，2题 设计意图 及时布置作业是巩固课堂学习知识的重要环节，练习三元一次方程组的解法. 板书设计 8.4 三元一次方程组的解法 基本思路： 三元一次方程组二元一次方程组一元一次方程 例 解：根据题意，得三元一次方程组 ②-①，得3a+3b＝3，即a+b＝1.④ ③-①，得24a+6b＝60，即4a+b＝10.⑤ ④与⑤组成二元一次方程组 解这个方程组，得 把a＝3，b＝-2代入①，得c＝-5. 所以
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