5.1.1 相交线 教案--人教版初中数学七年级下
文档属性
| 名称 | 5.1.1 相交线 教案--人教版初中数学七年级下 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 2.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-02-21 19:32:49 | ||
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文档简介
第五章 相交线与平行线
5.1 相交线
5.1.1 相交线
教学目标 1.理解邻补角和对顶角的概念，并能在图形中辨认. 2.掌握对顶角相等的性质和它的推证过程. 3.会用对顶角的性质进行有关的推理和计算. 教学重难点 重点：邻补角、对顶角的概念，对顶角的性质与应用. 难点：在复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角；“对顶角相等”的探究过程. 课前准备 剪刀、直尺、量角器和多媒体课件 教学过程 导入新课 导入一： 教师：在我们生活的世界中，蕴涵着大量的相交线和平行线. 多媒体展示图片(如图1所示).教师同时提问：观察这些图片，从中你们看到了哪些相交线和平行线？ 图1 学生发言，相互补充. 教师：在现实生活中，你们还能找到哪些形如相交线、平行线的实例？ 学生积极踊跃发言，相互补充. 教师总结：同学们对相交线、平行线一定不陌生，大桥上的钢梁和钢索、棋盘上的横线和竖线、笔直的高速公路……都给我们以相交线、平行线的形象.从这一章开始，我们正式开始研究平面内不重合的两条直线的位置关系. 今天这节课，我们研究相交线.(板书课题：5.1.1相交线) 设计意图 让学生借助已有的几何知识从现实生活中发现数学问题，能由实物的形状抽象出相交线、平行线，使新知识的产生建立在对周围环境的直接感知的基础上，使学生加强对生活中的相交线、平行线的认识，建立直观化、形象化的数学模型. 导入二： 教师：同学们，在前面我们已经学习了直线、射线、线段的有关知识，并且学习了由有公共端点的两条射线组成的图形——角.从这节课开始，我们来进一步学习平面内的两条直线的位置关系. 教师：同学们知道，在同一平面内，两条直线有几种不同的位置关系？ 学生：相交和平行. 教师：这节课我们重点研究两条直线相交的情景.(板书课题：5.1.1相交线) 设计意图：从学生最近发展区域出发，激发学生的学习欲望. 探究新知 探究点一：邻补角和对顶角的概念 教师：出示一把张开的剪刀并提问：从线的角度分析，张开的剪刀给人以什么形象. 学生：张开的剪刀可以看作两条相交直线. 教师：表演剪纸，如图2所示，并提问：在剪纸的过程中，两个把手之间的角有什么变化？剪刀刀刃张开的角又有什么变化？ 图2 学生：在剪纸时，随着两个把手之间的角逐渐变小，剪刀刀刃之间的角也相应变小，直到剪开物体. 教师追问：如果把剪刀的构造抽象成一个几何图形，会是什么样的图形？请你们在纸上画出来. 学生在纸上画出相交线. 教师总结：剪刀的构造可看作两条相交的直线，剪刀刀刃之间的角就是相交直线所成的角.我们可以利用角的数量关系来研究两条直线相交的位置关系. 设计意图 从现实生活中发现并提出简单的数学问题吸引学生的注意，同时为得出两条直线相交所成角的关系提供生活背景. 教师：仔细观察你们所画的图形，并标出每一个角的名称(如图3所示)，当两条直线相交时，所形成的4个角中，∠1与∠2有怎样的位置关系？ 图3 学生：∠1和∠2“相邻”. 教师提问：∠1与∠2的顶点所在的位置有什么特点？∠1与∠2的边所在的位置有什么特点？ 学生小组讨论后展示：∠1和∠2有共同的顶点O；一条边OA重合，另一条边OC和OD互为反向延长线. 教师总结：具有这种关系的两个角我们叫做邻补角. 教师追问：图3中，除∠1与∠2是一对邻补角，图形中还有邻补角吗？ 教师引导学生观察图3中∠2与∠3，∠1与∠4，∠3与∠4. 教师追问：由此，同学们能总结邻补角的特征吗？ 学生独立思考，小组交流，形成共识. 互为邻补角的两个角必须满足两个特征： ①有公共顶点；②有一条公共边，另外一条边互为反向延长线. 设计意图：先引导学生从位置关系观察邻补角的特点，再结合图形中产生的邻补角，总结特征形成概念，体现了概念教学的特点. 教师：刚刚我们从顶点和边的角度分析了成邻补角的两个角的特征.类似地，我们也可以用同样的方法研究图3中∠1和∠3的位置关系. 教师追问：你们能从∠1和∠3这两个角的顶点和边说明∠1和∠3的位置关系吗？ 学生回答，教师引导得出结论：∠1和∠3有一个公共顶点O，并且∠1的两边分别是∠3的两边的反向延长线. 教师总结：具有这种关系的两个角，我们叫做对顶角. 教师追问：图3中还有哪些角是对顶角？ 学生回答：∠2和∠4. 教师追问：那你们知道成对顶角的两个角要满足哪些特征？ 学生思考、讨论、回答，教师引导成对顶角的两个角要满足两个特征：①有公共顶点；②一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线.注意：对顶角是成对出现的. 设计意图 引导学生从位置关系观察对顶角的特点，并归纳概括对顶角的定义. 教师：我们已经知道了成邻补角和成对顶角的两个角要满足的条件，在图形中你们能准确地识别这两种角吗？大家看下面两个习题. (1)图4的各图形中，∠1和∠2是邻补角吗？为什么？ ② ③ 图4 (2)图5的各图形中，∠1和∠2是对顶角吗？为什么？ ② ③ ④ ⑤ ⑥ 图5 学生分别回答这两个习题. 设计意图 这组题目可以巩固邻补角、对顶角的概念，通过辨、画、找，及时反馈学生思维上的一些偏差，加深学生对两个概念的理解，并引导学生在画邻补角和找邻补角的过程中体会分类思想.教学时要注意提醒学生：对顶角形成的前提是两条直线相交，而邻补角不一定是两条直线相交形成的，每个角的对顶角只有一个，而每个角的邻补角可能有一个或两个. 探究点二：对顶角的性质 教师：前面我们研究了邻补角和对顶角的位置关系，下面我们来研究一下它们的数量关系. 拿出上课时所画的两条直线相交所形成的图形.请你们分别量一量你们画的图形中各个角的度数，完成下列填空. 角∠1∠2∠3∠4度数
学生用量角器度量4个角的度数，并完成填空. 教师：观察4个角的度数，你们知道∠1和∠2的度数有怎样的数量关系？∠1和∠3的度数有怎样的数量关系？ 教师借助计算机的“几何画板”软件，画出两条相交直线，再借助“测量”功能，让学生观察∠1，∠2，∠3之间的数量关系. 学生：∠1+∠2＝180°，∠1＝∠3. 教师：我们每位同学画的图形不一样，∠1，∠2，∠3，∠4的度数也就不完全相同，但它们都满足∠1+∠2＝180°，∠1＝∠3，你们能说明其中的道理吗？提问：如图3，∠1与∠2有怎样的数量关系？你们能说明其中的道理吗？ 学生回答：互补.理由：因为∠COD是一个平角，所以∠COD＝∠1+∠2＝180°. 教师追问：∠1和∠3有怎样的数量关系？你们能说明其中的道理吗？ 学生讨论后，个别学生讲述，教师板书： 因为∠1和∠2互补，∠2和∠3互补(邻补角的定义)， 所以∠1＝∠3(同角的补角相等). 学生模仿，推理另一对对顶角的数量关系. 教师追问：在图3中，我们证明了∠1＝∠3，∠2＝∠4，从中你们能得到什么结论？ 学生回答：对顶角相等.(教师板书) 设计意图 让学生充分经历动手操作、独立思考的探究过程，并且在这一过程中，渗透由特殊到一般的研究问题的方法，然后通过推理、证明、猜想，使学生经历由实验几何到论证几何的过渡，使推理成为观察、实验的自然延续. 新知应用 教师：我们认识了邻补角、对顶角，研究了对顶角的性质，现在我们做一个练习，巩固这部分知识，出示例题. 例 如图6所示，直线a，b相交，∠1＝40°，求∠2，∠3，∠4的度数. 图6 变式 如图6所示，将例题中的∠1＝40°，分别换成下列条件： (1)若∠1+∠3＝80°； (2)若∠2比∠1的3倍大20°； (3)若∠1∶∠2＝2∶7. 请分别求出每种条件下，∠1，∠2，∠3，∠4的度数. 师生活动 学生先独立解决，然后小组内交流，教师板演原题，后派学生代表板演变式(1)，(2)，(3). 解：由邻补角的定义，得∠2＝180°-∠1＝180°-40°＝140°. 由对顶角相等，得∠3＝∠1＝40°，∠4＝∠2＝140°. 变式：(1)∵ ∠1和∠3是对顶角，∴ ∠1＝∠3. ∵ ∠1+∠3＝80°，∴ ∠1＝∠3＝40°. 由邻补角的定义，得∠2＝∠4＝180°-40°＝140°. (2)∵ ∠2比∠1的3倍大20°， ∴ 设∠1＝x°，则∠2＝(3x+20)°， 由邻补角的定义，得∠1+∠2＝180°， ∴ x+3x+20＝180，解得x＝40， ∴ ∠1＝40°，∠2＝(3x+20)°＝(3×40+20)°＝140°. 由对顶角相等，得∠1＝∠3＝40°，∠4＝∠2＝140°. (3)∵ ∠1∶∠2＝2∶7，∴ 设∠1＝2x°，则∠2＝7x°. 由邻补角的定义，得∠1+∠2＝180°， ∴ 2x+7x＝180，解得x＝20， ∴ ∠1＝40°，∠2＝140°. 由对顶角相等，得∠3＝∠1＝40°，∠4＝∠2＝140°. 设计意图 通过设计变式问题，提高思维广度，使学生的推理能力和思维能力得到提高. 课堂练习 (见导学案“当堂达标”) 参考答案 1.A 2.C 3.C 4.A 5.∠BOC ∠AOD和∠COB 50° 130° 6.144° 7.125° 55° 8.180° 9.解：(1)因为∠3＝140°，所以∠AOD＝140°. 又因为∠1+∠2+∠DOM＝180°，∠1+∠2＝110°， 所以∠DOM＝70°. 所以∠2＝∠AOD-∠DOM＝140°-70°＝70°. (2)因为∠DOM＝∠2＝70°，所以OM平分∠AOD. (见导学案“课后提升”) 参考答案 1.A 解析：∵ ∠AOC＝42°，∴ ∠BOD＝∠AOC＝42° .∵ OM平分∠BOD，∴ ∠BOM＝∠BOD＝×42°＝21°. ∴ ∠AOM＝180°-∠BOM＝180°-21°＝159°. 2.解：(1)∠AOC的对顶角是∠BOD. (2)∠AOC的邻补角是∠BOC和∠AOD，∠COE的邻补角是∠DOE. (3)因为∠BOD＝∠AOC＝38°， 所以∠DOE＝∠BOD+∠BOE＝38°+108°＝146°. 因为∠COE＝180°-∠AOC-∠BOE＝180°-38°-108°＝34°， 所以∠AOE＝∠AOC+∠COE＝38°+34°＝72°. 课堂小结 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： 1.什么是邻补角？邻补角与补角有什么区别和联系？ 2.什么是对顶角？对顶角有什么性质？ 3.本节课你们还有什么疑问？ 布置作业 教材第7页习题5.1第1，2题 板书设计 5.1.1 相交线 邻补角的定义： ①有一个公共顶点； ②一条公共边，另一条边互为反向延长线. 对顶角的定义： ①有一个公共顶点； ②两个角的两边互为反向延长线. 对顶角的性质：对顶角相等. 例1 解：由邻补角的定义得∠2＝180°-∠1＝180°-40°＝140°. 由对顶角相等得∠3＝∠1＝40°，∠4＝∠2＝140°.
教学反思
5.1 相交线
5.1.1 相交线
教学目标 1.理解邻补角和对顶角的概念，并能在图形中辨认. 2.掌握对顶角相等的性质和它的推证过程. 3.会用对顶角的性质进行有关的推理和计算. 教学重难点 重点：邻补角、对顶角的概念，对顶角的性质与应用. 难点：在复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角；“对顶角相等”的探究过程. 课前准备 剪刀、直尺、量角器和多媒体课件 教学过程 导入新课 导入一： 教师：在我们生活的世界中，蕴涵着大量的相交线和平行线. 多媒体展示图片(如图1所示).教师同时提问：观察这些图片，从中你们看到了哪些相交线和平行线？ 图1 学生发言，相互补充. 教师：在现实生活中，你们还能找到哪些形如相交线、平行线的实例？ 学生积极踊跃发言，相互补充. 教师总结：同学们对相交线、平行线一定不陌生，大桥上的钢梁和钢索、棋盘上的横线和竖线、笔直的高速公路……都给我们以相交线、平行线的形象.从这一章开始，我们正式开始研究平面内不重合的两条直线的位置关系. 今天这节课，我们研究相交线.(板书课题：5.1.1相交线) 设计意图 让学生借助已有的几何知识从现实生活中发现数学问题，能由实物的形状抽象出相交线、平行线，使新知识的产生建立在对周围环境的直接感知的基础上，使学生加强对生活中的相交线、平行线的认识，建立直观化、形象化的数学模型. 导入二： 教师：同学们，在前面我们已经学习了直线、射线、线段的有关知识，并且学习了由有公共端点的两条射线组成的图形——角.从这节课开始，我们来进一步学习平面内的两条直线的位置关系. 教师：同学们知道，在同一平面内，两条直线有几种不同的位置关系？ 学生：相交和平行. 教师：这节课我们重点研究两条直线相交的情景.(板书课题：5.1.1相交线) 设计意图：从学生最近发展区域出发，激发学生的学习欲望. 探究新知 探究点一：邻补角和对顶角的概念 教师：出示一把张开的剪刀并提问：从线的角度分析，张开的剪刀给人以什么形象. 学生：张开的剪刀可以看作两条相交直线. 教师：表演剪纸，如图2所示，并提问：在剪纸的过程中，两个把手之间的角有什么变化？剪刀刀刃张开的角又有什么变化？ 图2 学生：在剪纸时，随着两个把手之间的角逐渐变小，剪刀刀刃之间的角也相应变小，直到剪开物体. 教师追问：如果把剪刀的构造抽象成一个几何图形，会是什么样的图形？请你们在纸上画出来. 学生在纸上画出相交线. 教师总结：剪刀的构造可看作两条相交的直线，剪刀刀刃之间的角就是相交直线所成的角.我们可以利用角的数量关系来研究两条直线相交的位置关系. 设计意图 从现实生活中发现并提出简单的数学问题吸引学生的注意，同时为得出两条直线相交所成角的关系提供生活背景. 教师：仔细观察你们所画的图形，并标出每一个角的名称(如图3所示)，当两条直线相交时，所形成的4个角中，∠1与∠2有怎样的位置关系？ 图3 学生：∠1和∠2“相邻”. 教师提问：∠1与∠2的顶点所在的位置有什么特点？∠1与∠2的边所在的位置有什么特点？ 学生小组讨论后展示：∠1和∠2有共同的顶点O；一条边OA重合，另一条边OC和OD互为反向延长线. 教师总结：具有这种关系的两个角我们叫做邻补角. 教师追问：图3中，除∠1与∠2是一对邻补角，图形中还有邻补角吗？ 教师引导学生观察图3中∠2与∠3，∠1与∠4，∠3与∠4. 教师追问：由此，同学们能总结邻补角的特征吗？ 学生独立思考，小组交流，形成共识. 互为邻补角的两个角必须满足两个特征： ①有公共顶点；②有一条公共边，另外一条边互为反向延长线. 设计意图：先引导学生从位置关系观察邻补角的特点，再结合图形中产生的邻补角，总结特征形成概念，体现了概念教学的特点. 教师：刚刚我们从顶点和边的角度分析了成邻补角的两个角的特征.类似地，我们也可以用同样的方法研究图3中∠1和∠3的位置关系. 教师追问：你们能从∠1和∠3这两个角的顶点和边说明∠1和∠3的位置关系吗？ 学生回答，教师引导得出结论：∠1和∠3有一个公共顶点O，并且∠1的两边分别是∠3的两边的反向延长线. 教师总结：具有这种关系的两个角，我们叫做对顶角. 教师追问：图3中还有哪些角是对顶角？ 学生回答：∠2和∠4. 教师追问：那你们知道成对顶角的两个角要满足哪些特征？ 学生思考、讨论、回答，教师引导成对顶角的两个角要满足两个特征：①有公共顶点；②一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线.注意：对顶角是成对出现的. 设计意图 引导学生从位置关系观察对顶角的特点，并归纳概括对顶角的定义. 教师：我们已经知道了成邻补角和成对顶角的两个角要满足的条件，在图形中你们能准确地识别这两种角吗？大家看下面两个习题. (1)图4的各图形中，∠1和∠2是邻补角吗？为什么？ ② ③ 图4 (2)图5的各图形中，∠1和∠2是对顶角吗？为什么？ ② ③ ④ ⑤ ⑥ 图5 学生分别回答这两个习题. 设计意图 这组题目可以巩固邻补角、对顶角的概念，通过辨、画、找，及时反馈学生思维上的一些偏差，加深学生对两个概念的理解，并引导学生在画邻补角和找邻补角的过程中体会分类思想.教学时要注意提醒学生：对顶角形成的前提是两条直线相交，而邻补角不一定是两条直线相交形成的，每个角的对顶角只有一个，而每个角的邻补角可能有一个或两个. 探究点二：对顶角的性质 教师：前面我们研究了邻补角和对顶角的位置关系，下面我们来研究一下它们的数量关系. 拿出上课时所画的两条直线相交所形成的图形.请你们分别量一量你们画的图形中各个角的度数，完成下列填空. 角∠1∠2∠3∠4度数
学生用量角器度量4个角的度数，并完成填空. 教师：观察4个角的度数，你们知道∠1和∠2的度数有怎样的数量关系？∠1和∠3的度数有怎样的数量关系？ 教师借助计算机的“几何画板”软件，画出两条相交直线，再借助“测量”功能，让学生观察∠1，∠2，∠3之间的数量关系. 学生：∠1+∠2＝180°，∠1＝∠3. 教师：我们每位同学画的图形不一样，∠1，∠2，∠3，∠4的度数也就不完全相同，但它们都满足∠1+∠2＝180°，∠1＝∠3，你们能说明其中的道理吗？提问：如图3，∠1与∠2有怎样的数量关系？你们能说明其中的道理吗？ 学生回答：互补.理由：因为∠COD是一个平角，所以∠COD＝∠1+∠2＝180°. 教师追问：∠1和∠3有怎样的数量关系？你们能说明其中的道理吗？ 学生讨论后，个别学生讲述，教师板书： 因为∠1和∠2互补，∠2和∠3互补(邻补角的定义)， 所以∠1＝∠3(同角的补角相等). 学生模仿，推理另一对对顶角的数量关系. 教师追问：在图3中，我们证明了∠1＝∠3，∠2＝∠4，从中你们能得到什么结论？ 学生回答：对顶角相等.(教师板书) 设计意图 让学生充分经历动手操作、独立思考的探究过程，并且在这一过程中，渗透由特殊到一般的研究问题的方法，然后通过推理、证明、猜想，使学生经历由实验几何到论证几何的过渡，使推理成为观察、实验的自然延续. 新知应用 教师：我们认识了邻补角、对顶角，研究了对顶角的性质，现在我们做一个练习，巩固这部分知识，出示例题. 例 如图6所示，直线a，b相交，∠1＝40°，求∠2，∠3，∠4的度数. 图6 变式 如图6所示，将例题中的∠1＝40°，分别换成下列条件： (1)若∠1+∠3＝80°； (2)若∠2比∠1的3倍大20°； (3)若∠1∶∠2＝2∶7. 请分别求出每种条件下，∠1，∠2，∠3，∠4的度数. 师生活动 学生先独立解决，然后小组内交流，教师板演原题，后派学生代表板演变式(1)，(2)，(3). 解：由邻补角的定义，得∠2＝180°-∠1＝180°-40°＝140°. 由对顶角相等，得∠3＝∠1＝40°，∠4＝∠2＝140°. 变式：(1)∵ ∠1和∠3是对顶角，∴ ∠1＝∠3. ∵ ∠1+∠3＝80°，∴ ∠1＝∠3＝40°. 由邻补角的定义，得∠2＝∠4＝180°-40°＝140°. (2)∵ ∠2比∠1的3倍大20°， ∴ 设∠1＝x°，则∠2＝(3x+20)°， 由邻补角的定义，得∠1+∠2＝180°， ∴ x+3x+20＝180，解得x＝40， ∴ ∠1＝40°，∠2＝(3x+20)°＝(3×40+20)°＝140°. 由对顶角相等，得∠1＝∠3＝40°，∠4＝∠2＝140°. (3)∵ ∠1∶∠2＝2∶7，∴ 设∠1＝2x°，则∠2＝7x°. 由邻补角的定义，得∠1+∠2＝180°， ∴ 2x+7x＝180，解得x＝20， ∴ ∠1＝40°，∠2＝140°. 由对顶角相等，得∠3＝∠1＝40°，∠4＝∠2＝140°. 设计意图 通过设计变式问题，提高思维广度，使学生的推理能力和思维能力得到提高. 课堂练习 (见导学案“当堂达标”) 参考答案 1.A 2.C 3.C 4.A 5.∠BOC ∠AOD和∠COB 50° 130° 6.144° 7.125° 55° 8.180° 9.解：(1)因为∠3＝140°，所以∠AOD＝140°. 又因为∠1+∠2+∠DOM＝180°，∠1+∠2＝110°， 所以∠DOM＝70°. 所以∠2＝∠AOD-∠DOM＝140°-70°＝70°. (2)因为∠DOM＝∠2＝70°，所以OM平分∠AOD. (见导学案“课后提升”) 参考答案 1.A 解析：∵ ∠AOC＝42°，∴ ∠BOD＝∠AOC＝42° .∵ OM平分∠BOD，∴ ∠BOM＝∠BOD＝×42°＝21°. ∴ ∠AOM＝180°-∠BOM＝180°-21°＝159°. 2.解：(1)∠AOC的对顶角是∠BOD. (2)∠AOC的邻补角是∠BOC和∠AOD，∠COE的邻补角是∠DOE. (3)因为∠BOD＝∠AOC＝38°， 所以∠DOE＝∠BOD+∠BOE＝38°+108°＝146°. 因为∠COE＝180°-∠AOC-∠BOE＝180°-38°-108°＝34°， 所以∠AOE＝∠AOC+∠COE＝38°+34°＝72°. 课堂小结 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： 1.什么是邻补角？邻补角与补角有什么区别和联系？ 2.什么是对顶角？对顶角有什么性质？ 3.本节课你们还有什么疑问？ 布置作业 教材第7页习题5.1第1，2题 板书设计 5.1.1 相交线 邻补角的定义： ①有一个公共顶点； ②一条公共边，另一条边互为反向延长线. 对顶角的定义： ①有一个公共顶点； ②两个角的两边互为反向延长线. 对顶角的性质：对顶角相等. 例1 解：由邻补角的定义得∠2＝180°-∠1＝180°-40°＝140°. 由对顶角相等得∠3＝∠1＝40°，∠4＝∠2＝140°.
教学反思