5.1.2 垂线(第一课时) 教案--人教版初中数学七年级下
文档属性
| 名称 | 5.1.2 垂线(第一课时) 教案--人教版初中数学七年级下 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 2.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-02-21 19:32:49 | ||
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文档简介
5.1 相交线
5.1.2 垂线(第一课时)
教学目标 1.理解垂线的概念. 2.理解垂线的性质——在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线. 3.会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线. 教学重难点 重点：两条直线互相垂直的概念、性质和画法. 难点：过一点作已知直线的垂线. 课前准备 相交线模型、多媒体课件 教学过程 导入新课 导入一： 教师：在前面我们学习了两条直线相交形成了四个角，这四个角会产生4对邻补角和2对对顶角.你们还记得它们的定义吗？ 学生回答，老师纠正. 教师：如果两条直线相交，形成的四个角中有一个角是直角时，这两条直线有怎样的特殊关系？日常生活中有没有这方面的实例呢？今天我们就来研究这个问题.(板书课题：5.1.2垂线(第一课时)) 导入二： 教师：同学们观察教室里的课桌面相邻的两边，黑板面相邻的两边，方格纸的横线和竖线……这些给大家什么印象？ 学生回答，教师指出：“垂直”这两个字对大家并不陌生，在小学，我们已经学习过“垂直”，对于“垂直”的知识我们已经了解了一些.今天，我们就在原有知识的基础上，继续探究“垂直”.(板书课题：5.1.2垂线(第一课时)) 设计意图 通过生活中我们经常见到的现象引出垂直，通过新问题来激发学生的学习兴趣. 探究新知 探究点一：认识垂线和垂直 教师：拿出相交线模型，如图1，演示模型，提问学生：固定木条a，转动木条b，当b的位置发生变化时，什么量随之发生变化？ 图1 学生：当b的位置变化时，a，b所形成的四个夹角的度数随之发生变化. 教师：在b转动的过程中，当a，b所形成的夹角∠α＝90°时(如图2所示)，木条a与b所形成的其他三个角的度数是多少？为什么？ 图2 学生：另外三个角也是90°. 教师：这种特殊的位置关系，即∠α＝90°时，我们就说a与b互相垂直.我们身边存在大量的形如两条直线相互垂直的实例，请同学们举一些例子. 学生发言，教师肯定. 教师追问：根据前面的活动，你们能说出什么样的两条直线互相垂直吗？ 师生活动 鼓励学生大胆发表自己的见解，学生可能会说两条直线相交所构成的四个角都是直角时，两条直线互相垂直，这时可以引导学生认识到：两直线相交所构成的四个角中，只要有一个角是直角，就可以得出其他三个角也是直角. 教师总结并板书垂直的概念：两条直线相交所构成的角中有一个角是直角时，我们就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足. 教师强调：“互相垂直”与“垂线”的区别与联系：“互相垂直”是指两条直线的位置关系；“垂线”是指其中一条直线对另一条直线的命名.如果两条直线“互相垂直”，那么其中一条直线必定是另一条直线的“垂线”；如果一条直线是另一条直线的“垂线”，那么它们必定“互相垂直”. 设计意图 垂直是两条直线相交的特殊情形，两条直线垂直所形成的四个角之间的关系，需要由“邻补角和为180°”“对顶角相等”得出.相交线模型的演示与有关问题的引导，使学生对垂直的认识由感性上升到理性，从而加深学生对垂直的理解. 教师：许多几何图形都可以用符号来表示，例如，角用“∠”表示，三角形用“△”表示等等，垂直也有它自己的符号. 教师：垂直用符号“⊥”表示，如图3所示，直线AB垂直于直线CD，垂足为O，就可记为“AB⊥CD，垂足为O”.(教师板书) 图3 教师：根据垂直的定义，结合图3，当AB⊥CD时，∠AOD是多少度？ 学生：∠AOD＝90°. 教师：我们如何用几何推理语言来描述这个结论. 学生大胆发言，教师引导并板书：因为AB⊥CD，所以∠AOC＝90°(垂直的定义). 教师：把这个推理倒过来，当∠AOC＝90°，直线AB，CD具备什么特殊的位置关系？ 学生：垂直. 教师：如何用几何推理语言描述这个结论.学生发言，教师板书：因为∠AOC＝90°，所以AB⊥CD(垂直的定义). 设计意图 教学中在明确给出垂直的定义后，借助图形用符号语言来表示，让学生从文字语言、图形语言、符号语言等不同角度来认识垂直，实现了三种语言之间的转化，在此过程中，培养了学生用几何语言表达问题的能力，增强了学生的符号感. 探究点二：垂线的画法及性质 教师：根据垂直的定义，我们知道要想画垂线，必须有直角，我们的学习用具中有存在直角的吗？ 学生：三角尺、量角器中存在直角. 教师：现在我们就开始研究用三角尺和直尺或者量角器画垂线的方法，出示课本探究.如图4所示. (1)用三角尺或量角器画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条？ (2)经过直线l上一点A画l的垂线，这样的垂线能画出几条？ (3)经过直线l外一点B画l的垂线，这样的垂线能画出几条？ (1) (2) 图4 学生独立尝试，小组合作交流，完成下面填空和思考： 1.垂线的画法： 第一步：靠，即三角尺的一条直角边紧靠 ； 第二步：过，即三角尺的另一条直角边过 ； 第三步：画，即画出垂线. 2.(1)与直线l垂直的直线能画 条. (2)经过直线上一点能画 条直线与已知直线垂直. (3)经过直线外一点能画 条直线与已知直线垂直. 教师在学生合作交流的基础上组织两名学生用三角尺演示第(2)(3)问，并展示上述填空. 教师：如果把(2)(3)两条结论合并在一起，你们认为应该怎样表达. 学生发言，教师引导得出垂线的性质并板书. 垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 设计意图 在本环节的教学中有两个重要的任务，除了让学生掌握垂线的性质外，还应让学生在探究性质的过程中，掌握过一点作已知直线的垂线的方法，它是几何作图中的一种常用的基本作图，需要学生熟练掌握.虽然学生在小学已经接触过垂线的作法，但要在各种情境中熟练作图，对学生来说也是一个难点，尤其是过已知点作线段的垂线.因此在这一环节的教学中应给予学生充分的机会来感受、体会、总结、训练垂线的作法，教师也可以在此基础上演示总结用三角尺过一点画已知直线的垂线的方法：一靠，即三角尺的一条直角边紧靠已知直线也就是与已知直线重合；二过，即三角尺的另一条直角边过已知点；三画，即画出垂线.使学生能够顺利突破难点. 新知应用 例1 判断下列语句是否正确？ (1)两条直线相交，若有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直.( ) (2)若两条直线相交构成的四个角相等，则这两条直线互相垂直.( ) (3)一条直线的垂线只能画一条.( ) (4)过一点可以任意画已知直线的垂线.( ) 答案：(1)正确 (2)正确 (3)错误 (4)错误 师生活动 教师读题，学生抢答. 设计意图 考查学生由角的关系来判断两直线的位置关系，强化对垂直概念的理解. 引导学生结合题目“画图”，加深对垂直性质的理解. 例2 如图5所示，请你过点P画出射线AB或线段AB的垂线. (1) (2) (3) 图5 师生活动 找三位同学在黑板上板演，其他同学自己动手画图，画完之后请同学们点评. 解：如图6所示. (1) (2) (3) 图6 教师引导学生归纳：画一条射线或线段的垂线，就是画它们所在直线的垂线. 设计意图 训练学生在各种情境中熟练作图，通过此练习，给学生充分的机会来感受、体会、总结、训练在各种条件下垂线的作法. 课堂练习 (见导学案“当堂达标”) 参考答案 1.C 2.B 3.D 4.B 5.C 6.D 7. 垂直 AB⊥CD DOB BOC COA 8.30° 9.解：OD⊥OE. 理由：∵ OD平分∠BOC，∴ ∠COD＝∠BOC. ∵ OE平分∠AOC，∴ ∠COE＝∠AOC. ∴ ∠EOD＝∠COD+∠COE ＝(∠BOC+∠AOC)＝×180°＝90°， 即OD⊥OE. 10.解：(1)∠AOD＝120°.(2)∠AOD＝110°. (3)猜想∠AOD与∠BOC互补.理由如下：如题图①， ∵ ∠AOD＝∠AOC+∠COD＝∠AOC+90°，∠BOC＝∠AOB-∠AOC＝90°-∠AOC，所以∠AOD+∠BOC＝180°，即∠AOD与∠BOC互补. (见导学案“课后提升”) 参考答案 1.解：∵ OE平分∠BOD，∴ ∠DOE＝∠BOE. ∵ ∠AOD∶∠DOE＝4∶1， ∴ ∠AOD∶∠DOE∶∠BOE＝4∶1∶1. 又∵ ∠AOB＝180°，∴ ∠DOE＝∠BOE＝180°×＝30°， ∴ ∠COB＝∠COD-∠DOE-∠BOE＝180°-30°-30°＝120°. 又∵ OF平分∠COB， ∴ ∠COF＝∠BOF＝∠COB＝60°， ∴ ∠AOF＝∠AOB-∠BOF＝180°-60°＝120°. (此题解法多种，只提供一种) 2.解：有可能有三个或两个或一个.如图7所示. (1) (2) (3) 图7 课堂小结 1.本节课主要学习了两条直线互相垂直、垂线以及垂足的概念和垂线的一条性质. 2.会用三角尺或量角器过一点画已知直线、射线、线段的垂线. 3.要关注三种语言，即文字语言、图形语言、符号语言之间的转化. 布置作业 教材第8页习题5.1第3，4，5题 板书设计 5.1.2 垂线(第一课时) 垂直 ∵ ∠AOC＝90°， ∴ AB⊥CD(垂直的定义). 2.垂线的画法： (1)靠；(2)过；(3)画. 3.垂线的性质： 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
教学反思
5.1.2 垂线(第一课时)
教学目标 1.理解垂线的概念. 2.理解垂线的性质——在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线. 3.会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线. 教学重难点 重点：两条直线互相垂直的概念、性质和画法. 难点：过一点作已知直线的垂线. 课前准备 相交线模型、多媒体课件 教学过程 导入新课 导入一： 教师：在前面我们学习了两条直线相交形成了四个角，这四个角会产生4对邻补角和2对对顶角.你们还记得它们的定义吗？ 学生回答，老师纠正. 教师：如果两条直线相交，形成的四个角中有一个角是直角时，这两条直线有怎样的特殊关系？日常生活中有没有这方面的实例呢？今天我们就来研究这个问题.(板书课题：5.1.2垂线(第一课时)) 导入二： 教师：同学们观察教室里的课桌面相邻的两边，黑板面相邻的两边，方格纸的横线和竖线……这些给大家什么印象？ 学生回答，教师指出：“垂直”这两个字对大家并不陌生，在小学，我们已经学习过“垂直”，对于“垂直”的知识我们已经了解了一些.今天，我们就在原有知识的基础上，继续探究“垂直”.(板书课题：5.1.2垂线(第一课时)) 设计意图 通过生活中我们经常见到的现象引出垂直，通过新问题来激发学生的学习兴趣. 探究新知 探究点一：认识垂线和垂直 教师：拿出相交线模型，如图1，演示模型，提问学生：固定木条a，转动木条b，当b的位置发生变化时，什么量随之发生变化？ 图1 学生：当b的位置变化时，a，b所形成的四个夹角的度数随之发生变化. 教师：在b转动的过程中，当a，b所形成的夹角∠α＝90°时(如图2所示)，木条a与b所形成的其他三个角的度数是多少？为什么？ 图2 学生：另外三个角也是90°. 教师：这种特殊的位置关系，即∠α＝90°时，我们就说a与b互相垂直.我们身边存在大量的形如两条直线相互垂直的实例，请同学们举一些例子. 学生发言，教师肯定. 教师追问：根据前面的活动，你们能说出什么样的两条直线互相垂直吗？ 师生活动 鼓励学生大胆发表自己的见解，学生可能会说两条直线相交所构成的四个角都是直角时，两条直线互相垂直，这时可以引导学生认识到：两直线相交所构成的四个角中，只要有一个角是直角，就可以得出其他三个角也是直角. 教师总结并板书垂直的概念：两条直线相交所构成的角中有一个角是直角时，我们就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足. 教师强调：“互相垂直”与“垂线”的区别与联系：“互相垂直”是指两条直线的位置关系；“垂线”是指其中一条直线对另一条直线的命名.如果两条直线“互相垂直”，那么其中一条直线必定是另一条直线的“垂线”；如果一条直线是另一条直线的“垂线”，那么它们必定“互相垂直”. 设计意图 垂直是两条直线相交的特殊情形，两条直线垂直所形成的四个角之间的关系，需要由“邻补角和为180°”“对顶角相等”得出.相交线模型的演示与有关问题的引导，使学生对垂直的认识由感性上升到理性，从而加深学生对垂直的理解. 教师：许多几何图形都可以用符号来表示，例如，角用“∠”表示，三角形用“△”表示等等，垂直也有它自己的符号. 教师：垂直用符号“⊥”表示，如图3所示，直线AB垂直于直线CD，垂足为O，就可记为“AB⊥CD，垂足为O”.(教师板书) 图3 教师：根据垂直的定义，结合图3，当AB⊥CD时，∠AOD是多少度？ 学生：∠AOD＝90°. 教师：我们如何用几何推理语言来描述这个结论. 学生大胆发言，教师引导并板书：因为AB⊥CD，所以∠AOC＝90°(垂直的定义). 教师：把这个推理倒过来，当∠AOC＝90°，直线AB，CD具备什么特殊的位置关系？ 学生：垂直. 教师：如何用几何推理语言描述这个结论.学生发言，教师板书：因为∠AOC＝90°，所以AB⊥CD(垂直的定义). 设计意图 教学中在明确给出垂直的定义后，借助图形用符号语言来表示，让学生从文字语言、图形语言、符号语言等不同角度来认识垂直，实现了三种语言之间的转化，在此过程中，培养了学生用几何语言表达问题的能力，增强了学生的符号感. 探究点二：垂线的画法及性质 教师：根据垂直的定义，我们知道要想画垂线，必须有直角，我们的学习用具中有存在直角的吗？ 学生：三角尺、量角器中存在直角. 教师：现在我们就开始研究用三角尺和直尺或者量角器画垂线的方法，出示课本探究.如图4所示. (1)用三角尺或量角器画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条？ (2)经过直线l上一点A画l的垂线，这样的垂线能画出几条？ (3)经过直线l外一点B画l的垂线，这样的垂线能画出几条？ (1) (2) 图4 学生独立尝试，小组合作交流，完成下面填空和思考： 1.垂线的画法： 第一步：靠，即三角尺的一条直角边紧靠 ； 第二步：过，即三角尺的另一条直角边过 ； 第三步：画，即画出垂线. 2.(1)与直线l垂直的直线能画 条. (2)经过直线上一点能画 条直线与已知直线垂直. (3)经过直线外一点能画 条直线与已知直线垂直. 教师在学生合作交流的基础上组织两名学生用三角尺演示第(2)(3)问，并展示上述填空. 教师：如果把(2)(3)两条结论合并在一起，你们认为应该怎样表达. 学生发言，教师引导得出垂线的性质并板书. 垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 设计意图 在本环节的教学中有两个重要的任务，除了让学生掌握垂线的性质外，还应让学生在探究性质的过程中，掌握过一点作已知直线的垂线的方法，它是几何作图中的一种常用的基本作图，需要学生熟练掌握.虽然学生在小学已经接触过垂线的作法，但要在各种情境中熟练作图，对学生来说也是一个难点，尤其是过已知点作线段的垂线.因此在这一环节的教学中应给予学生充分的机会来感受、体会、总结、训练垂线的作法，教师也可以在此基础上演示总结用三角尺过一点画已知直线的垂线的方法：一靠，即三角尺的一条直角边紧靠已知直线也就是与已知直线重合；二过，即三角尺的另一条直角边过已知点；三画，即画出垂线.使学生能够顺利突破难点. 新知应用 例1 判断下列语句是否正确？ (1)两条直线相交，若有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直.( ) (2)若两条直线相交构成的四个角相等，则这两条直线互相垂直.( ) (3)一条直线的垂线只能画一条.( ) (4)过一点可以任意画已知直线的垂线.( ) 答案：(1)正确 (2)正确 (3)错误 (4)错误 师生活动 教师读题，学生抢答. 设计意图 考查学生由角的关系来判断两直线的位置关系，强化对垂直概念的理解. 引导学生结合题目“画图”，加深对垂直性质的理解. 例2 如图5所示，请你过点P画出射线AB或线段AB的垂线. (1) (2) (3) 图5 师生活动 找三位同学在黑板上板演，其他同学自己动手画图，画完之后请同学们点评. 解：如图6所示. (1) (2) (3) 图6 教师引导学生归纳：画一条射线或线段的垂线，就是画它们所在直线的垂线. 设计意图 训练学生在各种情境中熟练作图，通过此练习，给学生充分的机会来感受、体会、总结、训练在各种条件下垂线的作法. 课堂练习 (见导学案“当堂达标”) 参考答案 1.C 2.B 3.D 4.B 5.C 6.D 7. 垂直 AB⊥CD DOB BOC COA 8.30° 9.解：OD⊥OE. 理由：∵ OD平分∠BOC，∴ ∠COD＝∠BOC. ∵ OE平分∠AOC，∴ ∠COE＝∠AOC. ∴ ∠EOD＝∠COD+∠COE ＝(∠BOC+∠AOC)＝×180°＝90°， 即OD⊥OE. 10.解：(1)∠AOD＝120°.(2)∠AOD＝110°. (3)猜想∠AOD与∠BOC互补.理由如下：如题图①， ∵ ∠AOD＝∠AOC+∠COD＝∠AOC+90°，∠BOC＝∠AOB-∠AOC＝90°-∠AOC，所以∠AOD+∠BOC＝180°，即∠AOD与∠BOC互补. (见导学案“课后提升”) 参考答案 1.解：∵ OE平分∠BOD，∴ ∠DOE＝∠BOE. ∵ ∠AOD∶∠DOE＝4∶1， ∴ ∠AOD∶∠DOE∶∠BOE＝4∶1∶1. 又∵ ∠AOB＝180°，∴ ∠DOE＝∠BOE＝180°×＝30°， ∴ ∠COB＝∠COD-∠DOE-∠BOE＝180°-30°-30°＝120°. 又∵ OF平分∠COB， ∴ ∠COF＝∠BOF＝∠COB＝60°， ∴ ∠AOF＝∠AOB-∠BOF＝180°-60°＝120°. (此题解法多种，只提供一种) 2.解：有可能有三个或两个或一个.如图7所示. (1) (2) (3) 图7 课堂小结 1.本节课主要学习了两条直线互相垂直、垂线以及垂足的概念和垂线的一条性质. 2.会用三角尺或量角器过一点画已知直线、射线、线段的垂线. 3.要关注三种语言，即文字语言、图形语言、符号语言之间的转化. 布置作业 教材第8页习题5.1第3，4，5题 板书设计 5.1.2 垂线(第一课时) 垂直 ∵ ∠AOC＝90°， ∴ AB⊥CD(垂直的定义). 2.垂线的画法： (1)靠；(2)过；(3)画. 3.垂线的性质： 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
教学反思