教学课件：七下·湘教3.3 公式法 第2课时　利用完全平方公式进行因式分解

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第 3 章 因式分解
第3章 因式分解
　3.3 公式法
第2课时　利用完全平方公式进行因式分解
学 习 目 标
1
2
理解用完全平方公式进行因式分解，并能熟练地运用完全平方公式分解因式.（重点）
能综合运用提公因式法和完全平方公式对多项式进行因式分解．（难点）
知识回顾
提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)
平方差公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)
练习
把下列各式分解因式:
① ② x4-16
解:原式=ax2(x2-1)
=ax2(x+1)(x-1).
解:原式=(x2+4)(x2-4)
=(x2 +4)(x+2)(x-2).
因式分解学过了哪些方法？
有公因式，先提公因式
因式分解要彻底
(a+b)2 = ，
a2+2ab+b2
(a-b)2 = .
a2-2ab+b2
我们知道，因式分解是整式乘法的反过程，逆用乘法公式，我们得到了因式分解的两种方法：提取公因式法、平方差公式法.现在，大家自然会想，还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？
完全平方公式
知识讲解
你能将多项式a2+2ab+b2 或a2-2ab + b2进行因式分解吗？
动脑筋
我们学过完全平方公式
(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2= a2-2ab+b2 .
将完全平方公式从右到左地使用，就可以把形如这样的多项式进行因式分解.
例如， x2+4x+4
= x2+2·x·2+22
= (x+2)2 .
a2+2·a·b+b2
= (a+b)2
因式分解的完全平方公式
语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.
注意：公式中的既可以是单项式，也可以是多项式.
能用完全平方公式分解因式的多项式的特点
我们把a +2ab+b 和a -2ab+b 这样的式子叫做完全平方式.
观察发现：
1.是三项式（或可以看成三项）；
2.有两个同号的数或式的平方；
3.中间是这两个数的积的±2倍.
凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式.
试一试
下列各式是不是完全平方式？
（1）; （2）;
（3）; （4）;
（5）; （6）.
是
（2）不是，因为4不是与2乘积的2倍.
是
（4）不是，不是与乘积的2倍.
（5）不是，与－9的符号不统一.
是
例1 把 9x2-3x+ 因式分解.
分析 9x2 = (3x)2 ， ，3x = 2·3x· ， 原式即可用完全平方公式进行因式分解.
解： 9x2-3x+
例2 把-4x2+12xy-9y2 因式分解.
解： -4x2+12xy-9y2
= -[(2x)2-2·2x·3y+(3y)2]
= -(4x2-12xy+9y2)
= -(2x-3y)2.
例3 把a4+2a2b+b2因式分解.
解 a4+2a2b+b2
= (a2)2 + 2 · a2 · b + b2
= (a2+b)2.
例4 把x4-2x2+1 因式分解.
解 x4-2x2+1
= (x2)2-2·x2·1+12
= (x2-1)2
= [(x+1)(x-1)]2
= (x+1)2(x-1)2.
解：(1)原式=3a（x2+2xy+y2）
=3a（x+y）2.
例5 因式分解：
(2.
(1)3ax2+6axy+3ay2 ；
有公因式，先提公因式
例6 把下列完全平方公式分解因式：
(1)1002－2×100×99+99 ；
(2)342＋34×32＋162.
解：(1)原式=（100－99)
(2)原式＝(34＋16)2
=1.
＝2500.
1.具有完全平方形式的多项式才可运用完全平方公式分解因式.
2.公式 中的字母 可以是单项式，也可以是多项式，应视具体情形灵活运用.
3.若多项式中有公因式，应先提取公因式，然后再进一步分解因式.
4.分解因式要彻底.要注意每一个因式的形式要最简，直到不能再分解为止.
结论
随堂训练
1.下列四个多项式中，能因式分解的是( )
A．a2＋1 B．a2－6a＋9
C．x2＋5y D．x2－5y
2.把多项式4x2y－4xy2－x3分解因式的结果是( )
A．4xy(x－y)－x3 B．－x(x－2y)2
C．x(4xy－4y2－x2) D．－x(－4xy＋4y2＋x2)
B
B
3.已知 是一个完全平方式，则=
4.已知 2, 求 的值.
±12
解: 由得
+ab
5.把下列多项式因式分解.
（1）x2-12x+36; （2）4(2a+b)2-4(2a+b)+1;
(3) y2+2y+1-x2.
(2)原式=[2(2a+b)] - 2·2(2a+b)·1+1
=(4a+2b- 1)2.
解：(1)原式 =x2-2·x·6+62
=(x-6)2.
(3)原式=(y+1) -x
=(y+1+x)(y+1-x).
6.已知,求 的值.
解：由
得
∴.
∴ =(-2)1=-2.
课堂小结
1.利用完全平方公式分解因式:
2.因式分解的步骤是:首先提取公因式,然后考虑用公式法.
3.因式分解应进行到每一个因式不能分解为止.
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