教学课件：七下·湘教4.1.2相交直线所成的角

(共29张PPT)
第4章 相交线与平行线
4.1 平面上两条直线的位置关系
4.1.2 相交直线所成的角
学习目标
1.理解对顶角、同位角、内错角、同旁内角的概念； （重点）
2.掌握对顶角的性质，并能运用该性质进行角的计算及解决简单实际问题.（难点）
3.结合图形识别同位角、内错角、同旁内角；（重点）
4.从复杂图形分解为基本图形的过程中，体会化繁为简，
化难为易的化归思想.（难点）
如图4-7，剪刀的两个交叉腿构成四个角，将其简单地表示为图4-8.
图4-7
1
2
3
4
图4-8
新课导入
一、对顶角
1
2
A
B
C
D
O
对顶角的概念：如果两个角有一个公共顶点，并且其中一个角的两边是另一个角的两边的 ，那么这两个角互为对顶角.图中∠1的对顶角是______.
反向延长线
∠2
知识讲解
例1 下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
1
2
C.
1
2
D.
D
1
2
A.
1
2
B.
提示：对顶角是由两条相交直线构成的；只有两条直线相交时，才能构成对顶角．
2.对顶角的性质：
猜想：对顶角相等
C
O
A
B
D
4
3
2
1
问题：∠1 与∠3在数量上有什么关系呢？
思考：怎样说明∠1=∠3？
O
A
B
C
D
4
3
2
1
例2 如图，已知：直线AB与CD相交于点O,试说明:∠1=∠3， ∠2=∠4.
解：因为直线AB与CD相交于O点,
所以∠1+∠2=180°，
∠2+∠3=180°，
所以∠1=∠3.
同理可得∠2=∠4.
想一想：下图中是对顶角量角器，你能说出用它测量角的度数的原理吗？
对顶角相等
解：由邻补角的定义，得
∠2=180°－∠1=140°；
由对顶角相等，得
∠3=∠1=40°，
∠4= ∠2=140°.
a
b
）
（
1
3
4
2
）
（
例3 如图,直线a,b相交,∠1=40°,求 ∠2,∠3,∠4 的度数.
6
7
5
8
简称“三线八角”.
两条直线相交，可以构成四个角，若在图中再添加一条直线，即直线EF被第三条直线CD所截，构成了几个角？
B
A
F
E
C
D
4
3
1
2
观察
三、同位角
F
活动 观察∠1与∠5的位置关系：
①在直线EF的同旁（右侧）
②在直线AB、CD的同一侧（上方）
A
C
B
D
E
1
2
3
4
5
6
7
8
1
5
∠2和∠6；∠3和∠7；∠4和∠8
图中的同位角还有哪些？
同位角
C
A.(1)，(2)， (3) B.(3)，(4)
C.(1)，(2) D.(2)，(3) ，(4)
练一练：下列图形中，∠1和∠2是同位角的有（ ）
1
2
1
2
1
2
1
2
（1） （2） （3） （4）
特征：在形如字母“F”的图形中有同位角.
变形：图中的∠1与∠2都是同位角.
1
2
1
2
1
2
1
2
A
C
B
D
E
F
1
2
3
4
5
6
7
8
活动 观察∠3与∠5的位置关系：
①在直线EF的两侧
②在直线AB、CD内部
3
5
∠4和∠6
图中的内错角还有哪些？
内错角
四、内错角
变形：图中的∠1与∠2都是内错角.
特征：在形如“Z”的图形中有内错角.
1
2
1
1
1
2
2
2
A
C
B
D
E
F
1
2
3
4
5
6
7
8
活动 观察∠4与∠5的位置关系:
①在直线EF的同旁
②在直线AB、CD内部
4
5
∠3和∠6
图中还有哪些同旁内角？
同旁内角
五、同旁内角
变形：图中的∠1与∠2都是同旁内角.
特征：在形如“U”的图形中有同旁内角.　
1
1
1
1
2
2
2
2
例4 如图，直线EF与AB，CD相交，构成8个角. 指出
图中所有的对顶角、同位角、内错角和同旁内角.
解：对顶角有∠1和∠3，∠2和∠4，
∠5和∠7，∠6和∠8；
同位角有∠2和∠5，∠1和∠8，
∠3和∠6，∠4和∠7；
内错角有∠1和∠6，∠4和∠5；
同旁内角有∠1和∠5，∠4和∠6.
例5 如图，直线AB，CD被直线MN所截，同位角∠1
与∠2相等，那么内错角∠2与∠3相等吗？
解：因为∠1=∠3（对顶角相等），
∠1=∠2（已知），
所以∠2=∠3 （等量代换）.
由上可知：两条直线被第三条直线所截，如果有一对同位角相等，则内错角相等.
随堂训练
1.如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB.若∠COB35°，则∠AOD等于( )
A.35°
B.70°
C.110°
D.145°
C
2.下列图形中，∠1与∠2是同位角的是( )
B.
C.
D.
A.
A
3.如图，下列说法中不正确的是(　　)
A．∠1和∠3是同旁内角
B．∠2和∠3是内错角
C．∠2和∠4是同位角
D．∠3和∠5是对顶角
4.如图，写出图中∠A所有的内错角： .
∠ACD，∠ACE
C
5.如图，直线AB与CD相交于点O，已知∠BOD＝30°，OE是∠BOC的平分线，则∠EOA＝ .
105°
6.如图，直线DE截AB ，AC构成8个角，指出所有的同位角,内错角,同旁内角.
解：两条直线是AB，AC，截线是DE，同位角：∠2与∠5，∠4与∠7，∠1与∠8, ∠6和∠3；
内错角：∠4与∠5，∠1与∠6；
同旁内角：∠1与∠5，∠4与∠6.
E
D
C
B
A
8
7
6
5
4
3
2
1
7.如图，直线AB、CD相交于点O，若∠BOD＝42°，OA平分∠COE，求∠DOE的度数．
解：由对顶角相等，得∠AOC＝∠BOD＝42°.
因为OA平分∠COE，
所以∠COE＝2∠AOC＝84°.
由邻补角的性质，得∠DOE＝180°∠COE＝180°－84°＝96°.
8.如图，已知直线AB、CD相交于点O，∠COE＝90°.
(1)若∠AOC＝36°，求∠BOE的度数；
(2)若∠BOD∶∠BOC＝1∶5，求∠AOE的度数．
解：(1)∠BOE＝180°－∠AOC－∠COE＝180°－36°－90°＝54°.
(2)因为∠BOD∶∠BOC＝1∶5，∠BOD＋∠BOC＝180°，
所以∠BOD＝30°.
因为∠AOC＝∠BOD，
所以∠AOC＝30°，
所以∠AOE＝∠COE＋∠AOC＝90°＋30°＝120°.
9. 观察下列各图，寻找对顶角（不含平角)
⑴ 如图1，图中共有 对对顶角；
⑵ 如图2，图中共有 对对顶角；
⑶ 如图3，图中共有 对对顶角；
⑷ 研究⑴～⑶小题中直线条数与对顶角的对数之间的
关系，猜测：若有n条直线相交于一点，则可形成
对对顶角；
⑸ 若有20条直线相交于一点，则可形成 对对顶角.
图1
图2
图3
2
6
12
n(n-1)
380
10. 如图，直线a，b被直线c所截，找出图中所有的对顶角、同位角、内错角和同旁内角. 若∠1=∠5=108°，求其他角的度数.
答：∠1与∠5，∠2与∠6是同位角；
∠3与∠5是内错角；
∠2与∠5是同旁内角.
∠3=∠1=108°，
∠4= 180°-∠1=180°-108°=72°；
∠2 = ∠4 = 72°；
∠6 = 180°-∠5=72°.
课堂小结
名称 特征 基本图形 代表字母 相同点 共同特征
同位角
同旁 内角 内错角 F
Z
U
截线:同侧
被截线:同旁
截线:同侧
被截线:内部
截线:两侧
被截线:内部
1
2
1
2
1
2
都在截线同侧
都在被截线内部
这三类角都是没有公共顶点的
对顶角相等
对顶角的性质：