18.1.2平行四边形的判定——三角形的中位线(第3课时) 教学详案--人教版

第十八章 平行四边形
18.1 平行四边形
18.1.2　平行四边形的判定——三角形的中位线（第3课时）
教学目标 1.理解三角形中位线的概念，掌握它的性质. 2.能较熟练地运用三角形中位线的性质进行有关的证明和计算. 3.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力，培养学生的创造性思维. 4.能运用综合法证明有关三角形中位线性质的结论.感悟在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法. 教学重难点 重点：掌握和运用三角形中位线的性质. 难点：三角形中位线定理的证明（辅助线的添加方法）. 教学过程 导入新课 导入1： 图1 问题：如图1，为了测量一个池塘的宽BC，在池塘一侧的平地上选一点A，再分别找出线段AB，AC的中点D，E，若测出DE的长，就可以求出池塘的宽BC，你知道这是为什么吗？ 导入2： 1.平行四边形的性质与平行四边形的判定之间有什么联系？ 2.你能说说平行四边形的性质与判定的用途吗？ 学生：平行四边形知识的运用包括三个方面，一是直接运用平行四边形的性质去解决某些问题，例如求角的度数、线段的长度、证明角相等或线段相等等；二是判定一个四边形是平行四边形；三是先判定一个四边形是平行四边形，再应用平行四边形的性质去解决某些问题. 图2 3.创设情境 请同学们动手实验：将任意一个三角形分成四个全等的三角形，你是如何切割的？（答案如图2所示，E，F，D是各边中点）图中有几个平行四边形？你是如何判断的？ 探究新知 教师：请同学们按要求画图，在任意△ABC中，取边AB，AC的中点D，E，连接DE.（如图3所示） 概念：像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 　　　　 图3　　　　　　图4 探究思考： 问题1：一个三角形有几条中位线？ 学生：如图4所示，有三条. 问题2：三角形的中位线与三角形的中线有什么区别？ 学生：如图5所示，端点不同. 图5 问题3：如图3所示，DE是△ABC的中位线，DE与BC有怎样的关系？ 教师提示：两条线段的关系包括位置关系和数量关系，所以DE与BC的关系要从这两方面去看. 通过动手测量和猜想，你的结论是什么？并用文字表述这一结论. 学生猜想：DE∥BC且DE＝BC. 文字表述：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半. 问题4：如何证明你的猜想？ 图6 探究：如图6所示，已知D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，求证：DE∥BC且DE＝BC. 分析：所证明的结论既有位置关系，又有数量关系，联想已学过的知识，可以把要证明的内容转化到一个平行四边形中，利用平行四边形的对边平行且相等的性质来证明结论成立，从而使问题得到解决，这就需要添加适当的辅助线来构造平行四边形. 如图7所示，本题将DE延长一倍后，可以将证明DE＝BC转化为证明延长后的线段与BC相等.（方法1）通过证明△ADE≌△CFE，得到BD綊CF，从而证得四边形BCFD是平行四边形，然后利用平行四边形的性质进行证明.（方法2）利用E是AC的中点，根据对角线互相平分证得平行四边形，再利用平行四边形的性质求得结果. 证明：（方法1）如图7（1）所示，延长DE到点F，使EF＝DE，连接CF. ∵ ∠AED＝∠CEF，AE＝CE，∴ △ADE≌△CFE， ∴ ∠ADE＝∠F，AD＝CF.∴ AD綊CF. ∵ D为AB的中点，∴ BD綊 CF. ∴ 四边形BCFD是平行四边形，∴ DF綊BC. ∵ DE＝DF，∴ DE∥BC且DE＝BC. 　　 （1）　　　　　　（2） 图7 （方法2）如图7（2）所示，延长DE到点F，使EF＝DE，连接CF，CD和AF. ∵ AE＝EC，DE＝EF， ∴ 四边形ADCF是平行四边形，∴ CF綊AD. ∵ D是AB的中点，∴ CF綊BD. ∴ 四边形DBCF是平行四边形，∴ DF綊BC. ∵ DE＝DF，∴ DE∥BC且DE＝BC. 注意：“綊”表示平行且相等. 师生总结：三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半. 几何语言（如图6所示）： ∵ DE是△ABC的中位线（或AD＝BD，AE＝CE）， ∴ DE∥BC且DE＝BC. 新知应用 例1　如图8所示，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点. 求证：四边形EFGH是平行四边形. 分析：因为已知E，F，G，H分别是线段的中点，可以设法应用三角形中位线的性质找到四边形EFGH的边之间的关系.由于四边形的一条对角线可以把四边形分成两个三角形，所以可添加辅助线，连接AC或BD，构造出“三角形的中位线”的基本图形后，此题便可得证. 　　 图8　　　　　　图9 证明：如图9所示，连接AC. 在△DAC中，∵ AH＝HD，CG＝GD， ∴ HG∥AC，HG＝AC（三角形中位线的性质）. 同理可证EF∥AC，EF＝AC. ∴ HG∥EF且HG＝EF. ∴ 四边形EFGH是平行四边形. 结论：顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形. 例2　将一张三角形纸片如何剪，再如何拼，能组成一个平行四边形？ 解：举例如图10所示. 　　　　 　　　 图10 三角形中位线定理的验证要注重方法的引导：为什么要添加辅助线？如何添加辅助线？发散学生的思维. 师生小结： 三角形的中位线是三角形中一条重要的线段，三角形中位线定理在许多计算及证明中都要用到. 1.把握三角形中位线定理的应用时机： （1）题目的条件中出现两个或两个以上的线段中点； （2）题目的条件中虽然只有一个（线段的）中点，但有直线平行于过中点的线段. 2.如图11所示，利用三角形中位线定理添加辅助线的方法有： 　　 （1）　　 （2）　　　 （3） 图11 课堂练习（见导学案“当堂达标”） 参考答案 当堂达标 1.B　2.B　3.45° 4.15　解析：由?ABCD的周长为36，可得BC+DC＝ 18.由E是CD的中点，O 是对角线的交点，可得OE＝BC，DE＝DC， ∴ OE+DE＝（BC+DC）＝×18＝9. 又∵ BD＝12，∴ OD＝6， ∴ △DOE的周长＝9+6＝15. 5.18° 6.（1）证明：∵ E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点， ∴ EH＝FG＝AD，EF＝GH＝BC， ∴ 四边形EFGH是平行四边形. （2）解：四边形EFGH的周长＝EH+GH+FG+EF＝AD+BC. ∵ BD⊥CD，BD＝4，CD＝3， ∴ BC＝＝＝5. 又∵ AD＝6，∴ 四边形EFGH的周长＝6+5＝11. 7.证明：如图12所示，连接FG，GE，HE，HF. ∵ 四边形ABCD是平行四边形， 图12 ∴ ∠A＝∠C，AD＝CB. 又∵ BG＝DH， ∴ AH＝CG. 又∵ AE＝CF， ∴ △AEH≌△CFG， ∴ HE＝GF.同理，GE＝HF. ∴ 四边形EGFH是平行四边形， ∴ EF与GH互相平分. 课堂小结 1.三角形中位线的定义. 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2.一个三角形的中位线共有几条？三角形的中位线与中线有什么区别？ 一个三角形的中位线共有三条.三角形的中位线与中线的区别主要是线段的端点不同：中位线是连接中点与中点的线段；中线是连接顶点与对边中点的线段. 3.三角形的中位线定理. 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半. 4.三角形中位线定理的应用. 布置作业 教材第49页练习第1，2，3题. 板书设计 18.1.2　平行四边形的判定——三角形的中位线（第3课时）1.定义 2.定理 例1　　　　　例2
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