18.2.1矩形(第1课时) 教学详案--人教版
文档属性
| 名称 | 18.2.1矩形(第1课时) 教学详案--人教版 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.9MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-02-21 19:36:55 | ||
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文档简介
第十八章 平行四边形
18.2 特殊的平行四边形
18.2.1 矩形（第1课时）
教学目标 1.掌握矩形的定义和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系，会进行相关的推理. 2.会初步运用矩形的定义和性质来解决有关问题. 3.能推出直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质. 教学重难点 重点：矩形的性质. 难点：矩形的性质的灵活运用. 教学过程 导入新课 导入1： 师：前面我们学行四边形，请同学们回忆平行四边形有哪些性质. 教师提示：从边、角、对角线的方面考虑. 学生思考回答. 平行四边形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分. 师：对于一类几何图形的研究，我们往往按照从一般到特殊的思路进行，比如研究三角形时，我们先研究一般三角形，再将三角形的有关要素特殊化，我们研究了把边特殊化得到的等腰三角形、把角特殊化得到的直角三角形，对于平行四边形的研究，我们也可以按照这个思路进行. 把平行四边形的一个角特殊化成直角，我们得到一个什么样的图形呢？ 教师画图（板演）引入. 导入2： 教学时让一名学生台前演示，教师发指令，学生按指令完成动作. 教师指令：（1）请举起手中的平行四边形，另一名学生说出此图形的性质. （2）给学生演示，根据四边形的不稳定性，轻轻拉动一个点，观察在拉动过程中，它一直是一个平行四边形吗？为什么？ （3）再次演示平行四边形的变动过程，当变动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形（如图1所示），引出本课题及矩形定义. 图1 探究新知 图2 活动1：矩形的定义. 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（通常也叫长方形）（如图2所示）. 活动2：矩形的性质. （1）猜想矩形的性质 教师：因为矩形是特殊的平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，由于它有一个角为直角，所以它应该还有哪些一般平行四边形不具有的性质呢？ 对于矩形我们仍然从它的边、角和对角线等方面进行研究.鼓励学生大胆说出猜想，展现自我. 学生猜想1：矩形的四个角都是直角. 学生猜想2：矩形的对角线相等. （2）证明学生对矩形性质的猜想，得到矩形的性质 教学时要对矩形的性质做板书，多媒体展示性质，让学生理解记忆矩形的性质，并和平行四边形的性质作比较. 猜想1：矩形的四个角都是直角. 分析：由矩形的定义，利用平行四边形对角相等、邻角互补可使问题得证. 在学生独立完成的基础上，小组内进行交流讨论，最后在教师的启发与引导下得出正确的结论. 图3 已知：如图3所示，四边形ABCD是矩形. 求证：∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°. 证明：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ 四边形ABCD是平行四边形. 不妨设∠A＝90°， ∴ ∠C＝∠A＝90°，∠B＝180°-∠A＝90°，∠D＝180°-∠A＝90°， 即矩形的四个角都是直角. 几何语言：如图3所示. ∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ ∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°. 猜想2：矩形的对角线相等. 图4 已知：如图4所示，AC，BD是矩形ABCD的对角线. 求证：AC＝BD. 分析：可根据矩形的性质，通过证明三角形全等（SAS）来证明线段相等. 证明：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AB＝DC，∠ABC＝∠DCB＝90°. 又∵ BC＝CB，∴ △ABC≌△DCB（SAS）. ∴ AC＝DB. 几何语言：如图4所示. ∵ AC，BD是矩形ABCD的对角线，∴ AC＝BD. （3）探究直角三角形的一个特性 图5 如图5所示，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，我们观察Rt△ABC，BO是斜边AC上的中线，BO与AC有什么关系？ 根据矩形的性质，我们知道BO＝BD＝AC.因此，我们得到直角三角形的一个性质： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 几何语言：如图6所示. 在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线， ∴ CD＝AB. 图6 图7 （4）探索矩形的对称性 矩形是轴对称图形吗？对称轴有几条？矩形是中心对称图形吗？ 矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形.对称轴是经过对边中点的直线（2条），对称中心是对角线的交点（如图7所示）. 新知应用 图8 例1 如图8所示，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4.求矩形对角线的长. 分析：因为矩形是特殊的平行四边形，所以它具有对角线相等且互相平分的性质，根据矩形的这个特性和已知，可得△OAB是等边三角形，因此对角线的长度可求. 解：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AC与BD相等且互相平分，∴ OA＝OB. 又∵ ∠AOB＝60°，∴ △OAB是等边三角形， ∴ OA＝AB＝4，∴ AC＝BD＝2OA＝2×4＝8. 小结：若矩形两条对角线的夹角是60°，则其中必有等边三角形. 图9 例2 已知：如图9所示，在矩形 ABCD中，边AB长为8 cm，对角线BD比AD边长4 cm.求AD的长及点A到BD的垂线段AE的长. 分析：因为矩形四个角都是直角，所以矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质.此题利用方程的思想解决直角三角形中的计算问题，这是几何计算题中常用的方法. 解：设AD长为x cm，则对角线BD长为（x+4）cm. 在Rt△ABD中，由勾股定理，得x2+82＝（x+4）2， 解得x＝6.则AD长为6 cm. 利用三角形的面积公式， 可得AE·BD＝AD·AB， 即AE×（6+4）＝6×8，解得AE＝4.8 cm. 课堂练习（见导学案“当堂达标”） 参考答案 1. 边角对角线对称性平行四 边形对边平行且相等对角相等，邻角互补对角线互相平分中心对称图形矩 形对边平行且相等四个角为直角对角线互相平分且相等中心对称图形，轴对称图形
2.（1）10；5；5；5；5；28；48 （2）120°；30°；8 cm； cm 3.D 4.C 解析：一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形，每一个多边形的内角和的度数都是180的倍数，都能被180整除，分析四个答案，只有630不能被180整除，所以a+b不可能是630°. 5.解：在Rt△ACB中， ∵ D为斜边AB的中点， ∴ CD＝AB，∴ AB＝2CD＝10. 由勾股定理，得AC＝＝＝8. 又∵ AB·CE＝CB·AC， ∴ CE＝＝4.8. 6.解：AD与对角线BD重合，点A落在E点处. ∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AD＝BC＝6，∠A＝90°. ∵ △DGE是由△DGA折叠所得， ∴ △DGE≌△DGA， ∴ ∠A＝∠DEG＝90°，AG＝EG，DA＝DE＝6. 设AG＝x，则EG＝x，BG＝8-x， 在Rt△ABD中，由勾股定理得BD＝10， ∴ BE＝4， 在Rt△BGE中，由勾股定理得BG2＝BE2+EG2， 即（8-x）2＝42+x2，解得x＝3，即AG＝3. 课堂小结 1.什么叫做矩形？ 2.矩形的性质： 边的性质； 角的性质； 对角线的性质； 对称性. 3.直角三角形的性质. 布置作业 教材第53页练习第1，2，3题. 板书设计 18.2.1 矩形（第1课时）一、定义 二、性质 1.边： 2.角： 3.对角线： 三、推论 例1 例2
教学反思
18.2 特殊的平行四边形
18.2.1 矩形（第1课时）
教学目标 1.掌握矩形的定义和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系，会进行相关的推理. 2.会初步运用矩形的定义和性质来解决有关问题. 3.能推出直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质. 教学重难点 重点：矩形的性质. 难点：矩形的性质的灵活运用. 教学过程 导入新课 导入1： 师：前面我们学行四边形，请同学们回忆平行四边形有哪些性质. 教师提示：从边、角、对角线的方面考虑. 学生思考回答. 平行四边形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分. 师：对于一类几何图形的研究，我们往往按照从一般到特殊的思路进行，比如研究三角形时，我们先研究一般三角形，再将三角形的有关要素特殊化，我们研究了把边特殊化得到的等腰三角形、把角特殊化得到的直角三角形，对于平行四边形的研究，我们也可以按照这个思路进行. 把平行四边形的一个角特殊化成直角，我们得到一个什么样的图形呢？ 教师画图（板演）引入. 导入2： 教学时让一名学生台前演示，教师发指令，学生按指令完成动作. 教师指令：（1）请举起手中的平行四边形，另一名学生说出此图形的性质. （2）给学生演示，根据四边形的不稳定性，轻轻拉动一个点，观察在拉动过程中，它一直是一个平行四边形吗？为什么？ （3）再次演示平行四边形的变动过程，当变动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形（如图1所示），引出本课题及矩形定义. 图1 探究新知 图2 活动1：矩形的定义. 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（通常也叫长方形）（如图2所示）. 活动2：矩形的性质. （1）猜想矩形的性质 教师：因为矩形是特殊的平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，由于它有一个角为直角，所以它应该还有哪些一般平行四边形不具有的性质呢？ 对于矩形我们仍然从它的边、角和对角线等方面进行研究.鼓励学生大胆说出猜想，展现自我. 学生猜想1：矩形的四个角都是直角. 学生猜想2：矩形的对角线相等. （2）证明学生对矩形性质的猜想，得到矩形的性质 教学时要对矩形的性质做板书，多媒体展示性质，让学生理解记忆矩形的性质，并和平行四边形的性质作比较. 猜想1：矩形的四个角都是直角. 分析：由矩形的定义，利用平行四边形对角相等、邻角互补可使问题得证. 在学生独立完成的基础上，小组内进行交流讨论，最后在教师的启发与引导下得出正确的结论. 图3 已知：如图3所示，四边形ABCD是矩形. 求证：∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°. 证明：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ 四边形ABCD是平行四边形. 不妨设∠A＝90°， ∴ ∠C＝∠A＝90°，∠B＝180°-∠A＝90°，∠D＝180°-∠A＝90°， 即矩形的四个角都是直角. 几何语言：如图3所示. ∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ ∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°. 猜想2：矩形的对角线相等. 图4 已知：如图4所示，AC，BD是矩形ABCD的对角线. 求证：AC＝BD. 分析：可根据矩形的性质，通过证明三角形全等（SAS）来证明线段相等. 证明：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AB＝DC，∠ABC＝∠DCB＝90°. 又∵ BC＝CB，∴ △ABC≌△DCB（SAS）. ∴ AC＝DB. 几何语言：如图4所示. ∵ AC，BD是矩形ABCD的对角线，∴ AC＝BD. （3）探究直角三角形的一个特性 图5 如图5所示，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，我们观察Rt△ABC，BO是斜边AC上的中线，BO与AC有什么关系？ 根据矩形的性质，我们知道BO＝BD＝AC.因此，我们得到直角三角形的一个性质： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 几何语言：如图6所示. 在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线， ∴ CD＝AB. 图6 图7 （4）探索矩形的对称性 矩形是轴对称图形吗？对称轴有几条？矩形是中心对称图形吗？ 矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形.对称轴是经过对边中点的直线（2条），对称中心是对角线的交点（如图7所示）. 新知应用 图8 例1 如图8所示，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4.求矩形对角线的长. 分析：因为矩形是特殊的平行四边形，所以它具有对角线相等且互相平分的性质，根据矩形的这个特性和已知，可得△OAB是等边三角形，因此对角线的长度可求. 解：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AC与BD相等且互相平分，∴ OA＝OB. 又∵ ∠AOB＝60°，∴ △OAB是等边三角形， ∴ OA＝AB＝4，∴ AC＝BD＝2OA＝2×4＝8. 小结：若矩形两条对角线的夹角是60°，则其中必有等边三角形. 图9 例2 已知：如图9所示，在矩形 ABCD中，边AB长为8 cm，对角线BD比AD边长4 cm.求AD的长及点A到BD的垂线段AE的长. 分析：因为矩形四个角都是直角，所以矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质.此题利用方程的思想解决直角三角形中的计算问题，这是几何计算题中常用的方法. 解：设AD长为x cm，则对角线BD长为（x+4）cm. 在Rt△ABD中，由勾股定理，得x2+82＝（x+4）2， 解得x＝6.则AD长为6 cm. 利用三角形的面积公式， 可得AE·BD＝AD·AB， 即AE×（6+4）＝6×8，解得AE＝4.8 cm. 课堂练习（见导学案“当堂达标”） 参考答案 1. 边角对角线对称性平行四 边形对边平行且相等对角相等，邻角互补对角线互相平分中心对称图形矩 形对边平行且相等四个角为直角对角线互相平分且相等中心对称图形，轴对称图形
2.（1）10；5；5；5；5；28；48 （2）120°；30°；8 cm； cm 3.D 4.C 解析：一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形，每一个多边形的内角和的度数都是180的倍数，都能被180整除，分析四个答案，只有630不能被180整除，所以a+b不可能是630°. 5.解：在Rt△ACB中， ∵ D为斜边AB的中点， ∴ CD＝AB，∴ AB＝2CD＝10. 由勾股定理，得AC＝＝＝8. 又∵ AB·CE＝CB·AC， ∴ CE＝＝4.8. 6.解：AD与对角线BD重合，点A落在E点处. ∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AD＝BC＝6，∠A＝90°. ∵ △DGE是由△DGA折叠所得， ∴ △DGE≌△DGA， ∴ ∠A＝∠DEG＝90°，AG＝EG，DA＝DE＝6. 设AG＝x，则EG＝x，BG＝8-x， 在Rt△ABD中，由勾股定理得BD＝10， ∴ BE＝4， 在Rt△BGE中，由勾股定理得BG2＝BE2+EG2， 即（8-x）2＝42+x2，解得x＝3，即AG＝3. 课堂小结 1.什么叫做矩形？ 2.矩形的性质： 边的性质； 角的性质； 对角线的性质； 对称性. 3.直角三角形的性质. 布置作业 教材第53页练习第1，2，3题. 板书设计 18.2.1 矩形（第1课时）一、定义 二、性质 1.边： 2.角： 3.对角线： 三、推论 例1 例2
教学反思