18.2.2菱形(第1课时) 教学详案--人教版

第十八章 平行四边形
18.2 特殊的平行四边形
18.2.2菱形（第1课时）
教学目标 1.理解菱形的定义，掌握菱形的性质. 2.了解菱形在生活中的应用实例，能根据菱形性质解决相关问题. 3.理解菱形的面积公式，会选择适当的方法计算菱形的面积. 4.通过观察、实验、猜想、验证、推理交流等数学活动，发展学生的合情推理能力和动手操作能力及应用数学的意识与能力. 教学重难点 重点：菱形的性质定理的证明及应用. 难点：菱形的性质探究及菱形知识的综合应用. 教学过程 导入新课 出示问题：什么叫平行四边形？什么叫矩形？平行四边形和矩形的性质是什么？平行四边形和矩形有什么关系？ 教师：我们已经学习了矩形，它是一种特殊的平行四边形，其实还有另外的特殊平行四边形，请看演示：（可用一组对边可以活动的教具（如图1所示）进行演示），改变平行四边形的边，使其一组邻边相等，从而引出菱形的概念. 图1 感受生活 教师：你能说出生活中用到菱形的实例吗？课件展示含有菱形的实物图片，如图2所示. 图2 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 教师强调注意：菱形具备的两个条件：（1）平行四边形；（2）一组邻边相等. 因为菱形是特殊的平行四边形，所以菱形具有平行四边形所具有的所有性质.由于菱形的特殊性，它还具有哪些性质呢？ 探究新知 活动1：猜想菱形的性质. 学生活动：同学们拿出长方形纸片、剪刀，将矩形对折两次，沿图中虚线剪下，再打开，即可得到菱形，如图3所示. 图3 操作完之后，教师提出问题： （1）它是轴对称图形吗？有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？ （2）哪些线段是相等的？哪些角是相等的？ （3）有哪些是等腰三角形？有哪些是直角三角形？ 总结：（1）菱形是一个轴对称图形，它有两条对称轴，对称轴是对角线所在的直线. （2）菱形的四条边都相等；对角线互相垂直平分并且每一条对角线平分一组对角. （3）对角线把菱形分成2对分别全等的等腰三角形和 4个全等的直角三角形. 教师：菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分.菱形还具有哪些特殊的性质呢？猜一猜. 学生猜想：1.菱形的四条边都相等. 2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角. 对称性：菱形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心.菱形也是轴对称图形，对角线所在的直线是对称轴. 活动2：证明菱形的性质. 猜想1：菱形的四条边都相等. 图4 已知：如图4所示，四边形ABCD是菱形. 求证：AB＝BC＝CD＝DA. 分析：由菱形的定义，利用平行四边形的性质可使问题得证. 证明：∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ AB＝AD，四边形ABCD是平行四边形. ∴ AB＝CD，AD＝BC，∴ AB＝BC＝CD＝AD. 定理：菱形的四条边都相等. 几何语言： ∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ AB＝BC＝CD＝AD. 猜想2：菱形的两条对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角. 图5 已知：如图5所示，AC，BD是菱形ABCD的两条对角线，AC，BD相交于点O. 求证：（1）AC⊥BD； （2）AC平分∠BAD，CA平分∠BCD，BD平分∠ABC，DB平分∠ADC. 分析：根据平行四边形对角线互相平分和等腰三角形“三线合一”的性质来证明. 证明：（1）∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ AD＝CD，AO＝CO， ∴ AC⊥BD. （2）∵ AD＝AB，BA＝BC，AC⊥BD， ∴ AC平分∠BAD，BD平分∠ABC. 同理可证CA平分∠BCD，DB平分∠ADC. 定理：菱形的两条对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角. 几何语言：如图5所示， ∵ AC，BD是菱形ABCD的两条对角线， ∴ AC⊥BD，AC平分∠BAD，CA平分∠BCD，BD平分∠ABC，DB平分∠ADC. 活动3：菱形的面积. 教师：如图6所示，菱形是特殊的平行四边形，那么能利用平行四边形的面积公式计算菱形的面积吗？怎样计算？ 图6 学生：S菱形＝BC·AE. 教师：除了上述方法外， 能不能把菱形转化成四个直角三角形或两个等腰三角形求其面积呢？ 鼓励学生动脑思考，自己探究此题的解答方法，不明白的可在小组内交流意见. 学生总结： S菱形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝AC·BD. S菱形＝边长×对应高＝对角线乘积的一半. 注意：教学时教师组织学生总结菱形的性质，从边、角、对角线、对称性四个角度总结，不要忘记“每条对角线平分一组对角”这条性质.根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可利用勾股定理计算菱形中线段的长. 新知应用 图7 例1　如图7所示，菱形花坛ABCD的边长为20 m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长（结果保留小数点后两位）和花坛的面积（结果保留小数点后一位）. 解：∵ 花坛ABCD的形状是菱形， ∴ AC⊥BD，∠ABO＝∠ABC＝×60°＝30°. ∴ 在Rt△OAB中，AO＝AB＝×20＝10 （m）， BO＝＝＝（m）， ∴ 花坛的两条小路长AC＝2AO＝20.00 m，BD＝2BO＝≈34.64（m）， 花坛的面积 S菱形ABCD＝AC·BD＝≈346.4（m2）. 图8 例2　已知：如图8所示，四边形ABCD是菱形，F是AB边上一点，连接DF交AC于点E，连接BE. 求证：∠AFD＝∠CBE. 证明：∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ CB＝CD， CA平分∠BCD， ∴ ∠BCE＝∠DCE. 又 CE＝CE，∴ △BCE≌△DCE（SAS）， ∴ ∠CBE＝∠CDE. ∵ 在菱形ABCD中，AB∥CD， ∴ ∠AFD＝∠CDE， ∴ ∠AFD＝∠CBE. 课堂练习（见导学案“当堂达标”） 参考答案 当堂达标 1.D　2.B 3.D　解析：∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AC⊥BD， BD平分∠ABC，∴ ∠ABD＝∠ABC＝30°， ∴ AO＝AB＝1. 在Rt△AOB中，BO＝＝＝， ∴ BD＝. 4.　解析：∵ 四边形ABCD为菱形，AB＝2，∠DAB＝60°， ∴ AB＝BC＝CD＝2，∠DCB＝60°. ∵ CE＝CD，CF＝CB，∴ CE＝CF＝， ∴ △CEF为等边三角形， ∴ S△CEF＝×＝. 5.　解析：∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ BO＝DO＝4，AO＝CO，AC⊥BD， ∴ BD＝8. ∵ S菱形ABCD＝AC·BD＝24， ∴ AC＝6，∴ OC＝AC＝3， ∴ BC＝＝5. ∵ S菱形ABCD＝BC·AH＝24，∴ AH＝. 图9 6.解：如图9所示，连接BD，交AC于点O. ∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ AB＝BC＝CD＝AD＝5，AC⊥BD. ∵ AC＝6，∴ AO＝AC＝3. 在Rt△ABO中，由勾股定理得 BO＝＝＝4， ∴ BD＝8. ∴ S菱形ABCD＝AC·BD＝×6×8＝24， ∴ BC·AE＝24，∴ AE＝. 课后提升 证明：（1）∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ AB＝AD，AD∥BC， ∴ ∠BPA＝∠DAE. ∵ ∠ABC＝∠AED，∴ ∠BAF＝∠ADE. ∵ ∠ABF＝∠BPF，∠BPF＝∠DAE， ∴ ∠ABF＝∠DAE. 在△ABF和△DAE中， ∵ ∴ △ABF≌△DAE（ASA）. （2）∵ △ABF≌△DAE， ∴ AE＝BF，DE＝AF. ∵ AF＝AE+EF＝BF+EF，∴ DE＝BF+EF. 课堂小结 从定义上来谈——有一组邻边相等的平行四边形是 菱形. 从性质上来谈——①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形是轴对称图形；③菱形的四条边都相等；④菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角. 从计算上来谈—— ①有关菱形的问题可转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决；②菱形的面积等于它的对角线乘积的一半. 布置作业 教材第57页练习第1，2题. 板书设计 18.2.2　菱形（第1课时）一、菱形的定义： 二、菱形的性质： 1.边的性质； 2.角的性质； 3.对角线的性质； 4.对称性. 三、菱形的面积计算公式 例1　例2
教学反思