18.2.2菱形(第2课时) 教学详案--人教版
文档属性
| 名称 | 18.2.2菱形(第2课时) 教学详案--人教版 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 2.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-02-21 19:36:55 | ||
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文档简介
第十八章 平行四边形
18.2 特殊的平行四边形
18.2.2 菱形（第2课时）
教学目标 1.掌握菱形判定定理的证明并会灵活运用. 2.经历探索、猜想、证明的过程，从中体会探索结论的思考方法，理解对猜想进行证明的必要性，不断感受合情推理是人们正确认识事物的重要途径. 3.通过菱形与矩形判定方法的类比，进一步体会类比思想方法的作用. 教学重难点 重点：菱形判定定理的证明及应用. 难点：菱形判定定理的综合应用. 教学过程 导入新课 导入1： 图1 问题1：两张宽度相等的纸条，交叉在一起，重叠部分（图1）是什么图形？你是怎样判断的？ 师生活动：学生讨论后，学生代表发言，教师板书.它是菱形.因为宽度相等的纸条对边都是平行的，首先构成了平行四边形，还能观察出邻边是相等的，根据菱形的定义可判断是菱形.（作出判断容易，但证明有难度，若不能证出也无妨，可留待后解，只要能引出问题2即可） 问题2：运用菱形的定义进行菱形的判定，应具备几个条件？ 师生活动：学生讨论后，学生代表发言，教师板书.应具备两个条件，一要看是不是平行四边形，二要看邻边是否相等，即一组邻边相等的平行四边形是菱形. 问题3：要判定一个四边形是菱形，除根据定义判定外，还有其他的判定方法吗？ 导入课题：菱形的判定. 导入2： 1.平行四边形、矩形的判定方法是什么？ 2.菱形的概念及性质是什么？ 探究新知 教师：菱形是有一组邻边相等的平行四边形，因此在识别一个四边形是不是菱形时，可首先看这个四边形是不是平行四边形，再看它两邻边是不是相等，这种用“定义”识别的方法是最重要和最基本的识别方法. 几何语言： 在?ABCD中，∵ AB＝BC，∴ 四边形ABCD是菱形. 教师：今天我们类比平行四边形、矩形的判定方法继续研究菱形的判定方法. 活动1：探讨对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 教师：大家都知道，菱形的特别之处在于对角线互相垂直，那么能否从对角线的特点来识别菱形呢？ 如图2所示，用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形.转动木条，这个四边形什么时候变成菱形？ 图2 学生猜想1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. （先让学生根据菱形对角线的特殊性猜想，并进行证明，从而得出一种判定方法.在探索的过程中，让学生自己写出已知、求证和证明，培养他们的能力） 图3 已知：如图3所示，在?ABCD中，对角线AC⊥BD. 求证：四边形ABCD是菱形. 分析：要证明?ABCD是菱形，可以利用垂直平分线的性质证明有一组邻边相等. 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AO＝CO. ∵ AC⊥BD，∴ DA＝DC.∴ ?ABCD是菱形. 定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 几何语言：在?ABCD中，∵ AC⊥BD， ∴?ABCD是菱形. 注意此方法包括两个条件：（1）平行四边形；（2）两条对角线互相垂直. 活动2：探讨四条边相等的四边形是菱形. 教师：菱形的特别之处在于它的邻边相等，能否从边的特点来识别菱形呢？ 如图4所示，先画两条等长的线段AB，AD，然后分别以B，D为圆心，AB长为半径画弧，得到两弧的交点C，连接BC，CD，就得到了一个四边形，猜一猜，这是一个怎样的四边形.说出你的理由. 图4 图5 学生猜想2：四条边相等的四边形是菱形. 已知：如图5所示，在四边形ABCD中， AB＝BC＝CD＝DA. 求证：四边形ABCD是菱形. 分析：利用菱形的定义和两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可使问题得证. 证明：∵ AB＝BC＝CD＝DA，∴ AB＝CD，BC＝DA， ∴ 四边形ABCD是平行四边形. ∵ AB＝AD，∴ 四边形ABCD是菱形. 定理：四条边相等的四边形是菱形. 几何语言：在四边形ABCD中，∵ AB＝BC＝CD＝AD，∴ 四边形ABCD是菱形. 新知应用 图6 例1 如图6所示，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AB＝5，AO＝4，BO＝3. 求证：?ABCD是菱形. 分析：因为四边形ABCD为平行四边形，所以只需利用勾股定理的逆定理证明对角线互相垂直即可. 证明：∵ AB＝5，AO＝4，BO＝3， ∴ AB2＝AO2+BO2， ∴ △OAB是直角三角形，∠AOB＝90°， ∴ AC⊥BD.∴?ABCD是菱形. 图7 例2 如图7所示，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH.求证：四边形EFGH是菱形. 证明：连接AC，BD. ∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AC＝BD. ∵ 点E，F，G，H为各边中点， ∴ EF＝GH＝BD，FG＝EH＝AC， ∴ EF＝FG＝GH＝HE， ∴ 四边形EFGH是菱形. 课堂练习（见导学案“当堂达标”） 参考答案 当堂达标 1.B 2.B 3.（1） 菱；（2）矩；（3）矩；（4）菱 4. 解析：因为平行四边形两条对角线互相平分，所以它们的长的一半分别为2和.因为22+（）2＝32，所以两条对角线互相垂直.所以这个四边形是菱形，所以其面积S为×4×＝. 图8 5.证明：如图8所示，∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AE∥FC， ∴ ∠1＝∠2. ∵ ∠AOE＝∠COF，AO＝CO， ∴ △AOE≌△COF，∴ EO＝FO， ∴ 四边形AFCE是平行四边形. 又∵ EF⊥AC，∴?AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）. 6.证明：∵ 四边形ABCD为平行四边形， ∴ AD∥BC，∴ ∠EDO＝∠BFO. ∵ EF垂直平分BD，∴ BO＝DO. 在△EOD和△FOB中，∵ ∴ △EOD≌△FOB（ASA），∴ OE＝OF. ∵ OB＝OD，∴ 四边形BFDE是平行四边形. ∵ EF⊥BD，∴ 四边形BFDE是菱形. 课后提升 （1）证明：∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AB∥CD， ∴ ∠DFO＝∠BEO. ∵ ∠DOF＝∠BOE，OD＝OB， ∴ △DOF≌△BOE（ASA），∴ DF＝BE. 又∵ DF∥BE，∴ 四边形DEBF是平行四边形. （2）解：∵ DE＝DF，四边形DEBF是平行四边形， ∴ 四边形DEBF是菱形， ∴ DE＝BE，EF⊥BD，OE＝OF. 设AE＝x，则DE＝BE＝8-x， 在Rt△ADE中，根据勾股定理，得AE2+AD2＝DE2， 即x2+62＝（8-x）2，解得x＝， ∴ DE＝8-＝. 在Rt△ABD中，根据勾股定理，得AB2+AD2＝BD2， ∴ BD＝＝10，∴ OD＝BD＝5. 在Rt△DOE中，根据勾股定理，得OD2+OE2＝DE2， ∴ OE＝＝，∴ EF＝2OE＝. 课堂小结 菱形可根据下列方法进行识别. 文字语言图形语言几何语言判定 方法一一组邻边相等的平行四边形是菱形在?ABCD中， ∵ AB＝AD， ∴ 四边形 ABCD是菱形判定 方法二对角线互相垂直的平行四边形是菱形在?ABCD中， ∵ AC⊥BD， ∴ 四边形 ABCD是菱形判定 方法三四条边相等的四边形是菱形∵ AB＝BC＝CD＝DA， ∴ 四边形ABCD是菱形
布置作业 教材第58页练习第1，2，3题. 板书设计 18.2.2 菱形（第2课时）菱形的判定方法： 1.定义 2.对角线 3.四条边 例1 例2
教学反思
18.2 特殊的平行四边形
18.2.2 菱形（第2课时）
教学目标 1.掌握菱形判定定理的证明并会灵活运用. 2.经历探索、猜想、证明的过程，从中体会探索结论的思考方法，理解对猜想进行证明的必要性，不断感受合情推理是人们正确认识事物的重要途径. 3.通过菱形与矩形判定方法的类比，进一步体会类比思想方法的作用. 教学重难点 重点：菱形判定定理的证明及应用. 难点：菱形判定定理的综合应用. 教学过程 导入新课 导入1： 图1 问题1：两张宽度相等的纸条，交叉在一起，重叠部分（图1）是什么图形？你是怎样判断的？ 师生活动：学生讨论后，学生代表发言，教师板书.它是菱形.因为宽度相等的纸条对边都是平行的，首先构成了平行四边形，还能观察出邻边是相等的，根据菱形的定义可判断是菱形.（作出判断容易，但证明有难度，若不能证出也无妨，可留待后解，只要能引出问题2即可） 问题2：运用菱形的定义进行菱形的判定，应具备几个条件？ 师生活动：学生讨论后，学生代表发言，教师板书.应具备两个条件，一要看是不是平行四边形，二要看邻边是否相等，即一组邻边相等的平行四边形是菱形. 问题3：要判定一个四边形是菱形，除根据定义判定外，还有其他的判定方法吗？ 导入课题：菱形的判定. 导入2： 1.平行四边形、矩形的判定方法是什么？ 2.菱形的概念及性质是什么？ 探究新知 教师：菱形是有一组邻边相等的平行四边形，因此在识别一个四边形是不是菱形时，可首先看这个四边形是不是平行四边形，再看它两邻边是不是相等，这种用“定义”识别的方法是最重要和最基本的识别方法. 几何语言： 在?ABCD中，∵ AB＝BC，∴ 四边形ABCD是菱形. 教师：今天我们类比平行四边形、矩形的判定方法继续研究菱形的判定方法. 活动1：探讨对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 教师：大家都知道，菱形的特别之处在于对角线互相垂直，那么能否从对角线的特点来识别菱形呢？ 如图2所示，用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形.转动木条，这个四边形什么时候变成菱形？ 图2 学生猜想1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. （先让学生根据菱形对角线的特殊性猜想，并进行证明，从而得出一种判定方法.在探索的过程中，让学生自己写出已知、求证和证明，培养他们的能力） 图3 已知：如图3所示，在?ABCD中，对角线AC⊥BD. 求证：四边形ABCD是菱形. 分析：要证明?ABCD是菱形，可以利用垂直平分线的性质证明有一组邻边相等. 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AO＝CO. ∵ AC⊥BD，∴ DA＝DC.∴ ?ABCD是菱形. 定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 几何语言：在?ABCD中，∵ AC⊥BD， ∴?ABCD是菱形. 注意此方法包括两个条件：（1）平行四边形；（2）两条对角线互相垂直. 活动2：探讨四条边相等的四边形是菱形. 教师：菱形的特别之处在于它的邻边相等，能否从边的特点来识别菱形呢？ 如图4所示，先画两条等长的线段AB，AD，然后分别以B，D为圆心，AB长为半径画弧，得到两弧的交点C，连接BC，CD，就得到了一个四边形，猜一猜，这是一个怎样的四边形.说出你的理由. 图4 图5 学生猜想2：四条边相等的四边形是菱形. 已知：如图5所示，在四边形ABCD中， AB＝BC＝CD＝DA. 求证：四边形ABCD是菱形. 分析：利用菱形的定义和两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可使问题得证. 证明：∵ AB＝BC＝CD＝DA，∴ AB＝CD，BC＝DA， ∴ 四边形ABCD是平行四边形. ∵ AB＝AD，∴ 四边形ABCD是菱形. 定理：四条边相等的四边形是菱形. 几何语言：在四边形ABCD中，∵ AB＝BC＝CD＝AD，∴ 四边形ABCD是菱形. 新知应用 图6 例1 如图6所示，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AB＝5，AO＝4，BO＝3. 求证：?ABCD是菱形. 分析：因为四边形ABCD为平行四边形，所以只需利用勾股定理的逆定理证明对角线互相垂直即可. 证明：∵ AB＝5，AO＝4，BO＝3， ∴ AB2＝AO2+BO2， ∴ △OAB是直角三角形，∠AOB＝90°， ∴ AC⊥BD.∴?ABCD是菱形. 图7 例2 如图7所示，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH.求证：四边形EFGH是菱形. 证明：连接AC，BD. ∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AC＝BD. ∵ 点E，F，G，H为各边中点， ∴ EF＝GH＝BD，FG＝EH＝AC， ∴ EF＝FG＝GH＝HE， ∴ 四边形EFGH是菱形. 课堂练习（见导学案“当堂达标”） 参考答案 当堂达标 1.B 2.B 3.（1） 菱；（2）矩；（3）矩；（4）菱 4. 解析：因为平行四边形两条对角线互相平分，所以它们的长的一半分别为2和.因为22+（）2＝32，所以两条对角线互相垂直.所以这个四边形是菱形，所以其面积S为×4×＝. 图8 5.证明：如图8所示，∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AE∥FC， ∴ ∠1＝∠2. ∵ ∠AOE＝∠COF，AO＝CO， ∴ △AOE≌△COF，∴ EO＝FO， ∴ 四边形AFCE是平行四边形. 又∵ EF⊥AC，∴?AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）. 6.证明：∵ 四边形ABCD为平行四边形， ∴ AD∥BC，∴ ∠EDO＝∠BFO. ∵ EF垂直平分BD，∴ BO＝DO. 在△EOD和△FOB中，∵ ∴ △EOD≌△FOB（ASA），∴ OE＝OF. ∵ OB＝OD，∴ 四边形BFDE是平行四边形. ∵ EF⊥BD，∴ 四边形BFDE是菱形. 课后提升 （1）证明：∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AB∥CD， ∴ ∠DFO＝∠BEO. ∵ ∠DOF＝∠BOE，OD＝OB， ∴ △DOF≌△BOE（ASA），∴ DF＝BE. 又∵ DF∥BE，∴ 四边形DEBF是平行四边形. （2）解：∵ DE＝DF，四边形DEBF是平行四边形， ∴ 四边形DEBF是菱形， ∴ DE＝BE，EF⊥BD，OE＝OF. 设AE＝x，则DE＝BE＝8-x， 在Rt△ADE中，根据勾股定理，得AE2+AD2＝DE2， 即x2+62＝（8-x）2，解得x＝， ∴ DE＝8-＝. 在Rt△ABD中，根据勾股定理，得AB2+AD2＝BD2， ∴ BD＝＝10，∴ OD＝BD＝5. 在Rt△DOE中，根据勾股定理，得OD2+OE2＝DE2， ∴ OE＝＝，∴ EF＝2OE＝. 课堂小结 菱形可根据下列方法进行识别. 文字语言图形语言几何语言判定 方法一一组邻边相等的平行四边形是菱形在?ABCD中， ∵ AB＝AD， ∴ 四边形 ABCD是菱形判定 方法二对角线互相垂直的平行四边形是菱形在?ABCD中， ∵ AC⊥BD， ∴ 四边形 ABCD是菱形判定 方法三四条边相等的四边形是菱形∵ AB＝BC＝CD＝DA， ∴ 四边形ABCD是菱形
布置作业 教材第58页练习第1，2，3题. 板书设计 18.2.2 菱形（第2课时）菱形的判定方法： 1.定义 2.对角线 3.四条边 例1 例2
教学反思