18.2.3正方形(第1课时) 教学详案--人教版

第十八章 平行四边形
18.2 特殊的平行四边形
18.2.3　正方形（第1课时）
教学目标 1.会归纳正方形的特性并进行证明. 2.能运用正方形的性质定理进行简单的计算与证明. 3.在比较、归纳、总结的过程中，进一步体会特殊与一般之间的辩证关系. 教学重难点 重点：归纳正方形的性质并运用正方形的性质定理进行简单的计算与证明. 难点：经历观察、实验、猜想、证明等活动，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力. 教学过程 导入新课 导入1： 师：（出示一块方巾）它是什么几何图形？ 生：正方形. 师：哪一位同学试着给出一些实物是正方形的形状的例子，或有关“正”“方”的词语？ 生：堂堂正正、端端正正、外圆内方、正大光明；地板砖、国际象棋棋盘的格子…… 师：同学们都说得非常好.正方形就是“端端正正”的图形，今天我们就从“理性”的角度来研究这个“端端正正”的图形的性质. 导入2： 复习回顾 1.矩形、菱形与平行四边形的关系（如图1所示）. 图1 2.怎样用一张矩形的纸片折出一个正方形？ 做一做：用一张矩形的纸片（如图2所示）折出一个正方形. 思考：矩形怎样变化后就成了正方形呢？ 　　　 图2　　　　 　　图3 3.怎样将一个菱形的木框变成一个正方形的木框？（如图3所示）（教师演示菱形教具） 思考：菱形怎样变化后就成了正方形呢？ 教师：今天我们探讨正方形的概念和性质. 探究新知 活动1：探究正方形的概念. 教师：经过同学们探究，我们发现（如图4所示）： 图4 正方形的概念：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 指出：正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包括了两方面： （1）有一组邻边相等的平行四边形（菱形）； （2）有一个角是直角的平行四边形（矩形）. 启发学生：由矩形、菱形到正方形各需补充一个条件，进而完成正方形的定义. 前面我们学行四边形、矩形、菱形，请同学们总结平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系.（如图5所示） 活动2：探究并证明正方形的性质. 教师：由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形.（如图6所示） 　图5　　　　　　　　　图6 教师：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，所以正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质. 正方形的四个角都是直角，四条边都相等. 图7 已知：如图7所示，四边形ABCD是正方形. 求证：∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA. 分析：因为正方形具有矩形和菱形的所有性质，所以结论易证. 证明：∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ 四边形ABCD既是矩形，也是菱形. ∴ ∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA. 定理：正方形的四个角都是直角，四条边都相等. 几何语言：如图7， ∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ ∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA. 2.正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角. 已知：如图8所示，四边形ABCD是正方形，AC，BD是它的两条对角线. 图8 求证：（1）AC＝BD，AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO； （2）AC平分∠BAD，CA平分∠BCD，BD平分∠ABC，DB平分∠ADC. 分析：因为正方形具有矩形和菱形的所有性质，所以结论易证. 证明：∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ 四边形ABCD是矩形，也是菱形， ∴ AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，AC⊥BD，AC平分∠BAD，CA平分∠BCD，BD平分∠ABC，DB平分∠ADC. 定理：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角. 几何语言：如图8所示，∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ AC＝BD，AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，AC平分∠BAD，CA平分∠BCD，BD平分∠ABC，DB平分∠ADC. 3.正方形的对称性 教师：正方形既是特殊的平行四边形，又是特殊的矩形和菱形，所以正方形既是中心对称图形也是轴对称图形.它有四条对称轴（两条对角线所在的直线，两组经过对边中点的直线），对称轴通过对称中心，对称中心是对角线的交点. 学生小组讨论平行四边形、矩形、菱形、正方形的对称性（如图9所示）. 　 　 图9 4.正方形的面积 教师：如图8所示，怎样计算正方形的面积呢？ 学生：S正方形ABCD＝AB·BC＝AB2. 教师：计算正方形的面积除了上述方法外， 能不能利用菱形的面积公式进行计算？鼓励学生动脑思考，自己探究解答方法，不明白的可在小组内交流意见. 学生总结： S正方形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝AC·BD， 即S正方形＝对角线乘积的一半. 学生讨论并完成下表： 性质边角对角线对称性图形 语言轴对称图形（4条对称轴），中心对称图形文字语言对边平行，四条边都相等四个角都是直角对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角几何语言∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ AB∥CD， AD∥BC， AB＝BC＝CD＝AD∵ 四边形ABCD是正方形，∴ ∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AC⊥ BD，AC＝BD，OA＝OB＝OC＝OD，AC平分∠BAD，CA平分∠BCD，BD平分∠ABC，DB平分∠ADC
新知应用 例1　求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形. 已知：如图10所示，四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O. 图10 求证：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO是全等的等腰直角三角形. 分析：利用正方形的性质：对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角.平分可以产生线段等量关系，垂直可以产生直角，于是可以得到四个全等的等腰直角三角形. 证明：∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ AC⊥BD，AO＝BO＝CO＝DO（正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分）. ∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOA＝90°， ∴ △ABO，△BCO，△CDO，△DAO都是等腰直角三角形，并且 △ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO. 图11 例2　已知：如图11所示，在正方形ABCD中，对角线AC，BD的交点为O，E是OB上的一点，连接AE，过点D作DG⊥AE于点G，DG交OA于点F. 求证：OE＝OF. 分析：要证明OE＝OF，只需证明△AEO≌△DFO，由于正方形的对角线互相垂直平分且相等，可以得到∠AOE＝∠DOF＝90°，AO＝DO.再由同角或等角的余角相等可以得到∠EAO＝∠FDO，根据ASA可以得到这两个三角形全等，故结论可得. 证明：∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ ∠AOE＝∠DOF＝90°，AO＝DO（正方形的对角线互相垂直平分且相等）. 又∵ DG⊥AE，∴ ∠EAO+∠AEO＝∠FDO+∠AEO＝90°. ∴ ∠EAO＝∠FDO. ∴ △AEO≌△DFO，∴ OE＝OF. 课堂练习（见导学案“当堂达标”） 参考答案 当堂达标 C 图12 2.　解析：作FM⊥AB于点M，如图12所示.由折叠可知EX＝EB＝AM＝1，AM＝DF＝YF＝1，∴ AE＝，∴ 正方形边长AB＝FM＝+1，EM＝-1，∴ EF＝＝＝. 3. cm；4 cm2；8 cm2 4. 平行四边形矩形菱形正方形对边平行且相等 √√ √ √ 四边都相等√√四个角都是直角 √ √ 对角线互相平分√ √√√对角线互相垂直√√对角线相等√√
5.（1）证明：∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ ∠ABC＝90°，AB＝BC. ∵ BE⊥BF，∴ ∠FBE＝90°. ∵ ∠ABE+∠EBC＝90°，∠CBF+∠EBC＝90°， ∴ ∠ABE＝∠CBF. 在△AEB和△CFB中，∵ ∴ △AEB≌△CFB（SAS），∴ AE＝CF. （2）解：∵ BE⊥BF，∴ ∠FBE＝90°. ∵ BE＝BF，∴ ∠BEF＝∠EFB＝45°. ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ ∠ABC＝90°. 又∵ ∠ABE＝55°，∴ ∠EBC＝90°-55°＝35°， ∴ ∠EGC＝∠EBC+∠BEF＝35°+45°＝80°. 6.（1）证明：∵ 四边形ABCD为正方形，∴ AB＝BC，∠A＝∠C＝90°.在 △ABF和△CBE中，∵ ∴ △ABF≌△CBE（SAS）. （2）解：由已知可得正方形ABCD的面积为16，△ABF与△CBE面积均为×4×1＝2，∴ 四边形BEDF的面积为16-2×2＝12. 课后提升 解：（1）AE＝BF.理由如下： ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AB＝CB，∠ABC＝∠C＝90°，在△ABE和△BCF中，∵ ∴ △ABE≌△BCF（SAS），∴ AE＝BF. （2）AE⊥BF.理由如下： ∵ △ABE≌△BCF，∴ ∠BEA＝∠BFC，即∠BEG＝∠BFC， ∴ ∠EBG+∠BEG＝∠EBG+∠BFC＝90°， ∴ ∠BGE＝90°，∴ AE⊥BF. 课堂小结 1.正方形的定义 2.正方形的性质： （1）边：对边平行，四条边都相等. （2）角：四个角都相等，都等于90°. （3）对角线：相等、垂直且互相平分，每一条对角线平分一组对角. （4）对称性：轴对称图形、中心对称图形. （5）面积求法：①边长的平方；②两条对角线乘积的一半. 布置作业 教材第59页练习第1，2题. 板书设计 18.2.3　正方形（第1课时）一、正方形的定义 二、正方形的性质： 1.边； 2.角； 3.对角线； 4.对称性. 例1　　　　　　　　　　例２
教学反思