18.2.3正方形(第2课时) 教学详案--人教版

第十八章 平行四边形
18.2 特殊的平行四边形
18.2.3　正方形（第2课时）
教学目标 1.掌握正方形的判定定理，并能进行相关计算与证明. 2.能运用正方形的性质定理与判定定理进行综合推理与证明. 3.在探究与证明正方形判定定理的过程中，进一步体会一般与特殊的辩证关系，提高分析问题与解决问题的能力. 教学重难点 重点：根据平行四边形、矩形、菱形与正方形之间的关系，归纳出正方形的判定定理. 难点：正方形与矩形、菱形的关系及正方形的性质与判定定理的灵活运用. 教学过程 导入新课 由课件展示下面的问题 八年级（2）班的小兰同学想买一条方纱巾.有一天她在商店里看到一块漂亮的纱巾，非常想买，但她拿起来看时感觉纱巾不太像正方形.商店老板看她犹豫不决的样子，马上过来拉起方巾的一组对角，让她看另一组对角是否对齐，她还有些疑惑，老板又拉起另一组对角让她检验，比较之后小兰同学终于买下了这块纱巾.你认为她买的这块纱巾是正方形的吗？采用什么方法可以检验出来？ 学了这节后，你就能做出准确的判断了. 教师：上一节课我们学习了正方形的概念和性质，这一节课我们将探讨正方形的判定. 思考：具备什么条件的平行四边形是正方形？ 教师提示：从正方形的定义入手考虑. 几何语言：如图1所示，在平行四边形ABCD中， ∵ AB＝BC，∠A＝90°，∴ 平行四边形ABCD是正方形. 教师：除了用定义法判定一个四边形为正方形外，我们还有哪些方法呢？ 学生猜想：1.有一个角是直角的菱形是正方形； 2.有一组邻边相等的矩形是正方形. 探究新知 猜想1：有一个角是直角的菱形是正方形. 图1 已知：如图1所示，四边形ABCD是菱形，∠A＝90°. 求证：四边形ABCD是正方形. 分析：要证明四边形ABCD是正方形，可用“有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形”来证明. 证明：∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ AB＝BC，四边形ABCD是平行四边形. ∵ ∠A＝90°，∴ 四边形ABCD是正方形. 几何语言：∵ 四边形ABCD是菱形，∠A＝90°， ∴ 四边形ABCD是正方形. 猜想2：有一组邻边相等的矩形是正方形. 已知：如图1所示，四边形ABCD是矩形，AB＝BC.求证：四边形ABCD是正方形. 分析：要证明四边形ABCD是正方形，可用“有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形”来证明. 证明：∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠A＝90°，四边形ABCD是平行四边形. ∵ AB＝BC，∴ 四边形ABCD是正方形. 几何语言：∵ 四边形ABCD是矩形，AB＝BC， ∴ 四边形ABCD是正方形. 讨论1：对角线相等的菱形是正方形. 图2 已知：如图2所示，四边形ABCD是菱形，且对角线AC＝BD. 求证：四边形ABCD是正方形. 证明：∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AB＝BC，四边形ABCD是平行四边形. ∵ AC＝BD，∴ 四边形ABCD是矩形. ∵ AB＝BC，∴ 四边形ABCD是正方形. 几何语言： ∵ 四边形ABCD是菱形，AC＝DB， ∴ 四边形ABCD是正方形. 讨论2：对角线互相垂直的矩形是正方形. 已知：四边形ABCD是矩形，且AC⊥BD. 求证：四边形ABCD是正方形. 证明：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ ∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形. ∵ AC⊥BD，∴ 四边形ABCD是菱形. ∵ ∠ABC＝90°，∴ 四边形ABCD是正方形. 几何语言：∵ 四边形ABCD是矩形，AC⊥BD， ∴ 四边形ABCD是正方形. 新知应用 图3 例1　已知：如图3所示，四边形ABCD是正方形，分别过A，C两点作l1∥l2，过点B作BM⊥l1于点M，过点D作DN⊥l1于点N，直线MB，DN分别交l2于Q，P两点. 求证：四边形PQMN是正方形. 分析：由已知可以证出四边形PQMN是矩形，再证△ABM≌△DAN，证出AM＝DN，用同样的方法证AN＝DP，即可证出MN＝NP，从而得出结论. 证明：∵ PN⊥l1，QM⊥l1， ∴ ∠PNM＝∠AMB＝90°，PN∥QM. ∵ PQ∥NM，∴ 四边形PQMN是矩形. ∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ ∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝DC（正方形的四条边都相等，四个角都是直角），∴ ∠1+∠2＝90°. ∵ ∠3+∠2＝90°，∴ ∠1＝∠3. 又∵ ∠AMB＝∠DNA＝90°，∴ △ABM≌△DAN. ∴ AM＝DN.同理可得AN＝DP. ∴ AM+AN＝DN+DP，即MN＝PN， ∴ 四边形PQMN是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）. 图4 例2　如图4所示，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC与BD相交于点O.若不增加任何字母与辅助线，要使得四边形ABCD是正方形，还需增加的一个条件是　　　　. 解析：在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，所以四边形ABCD是菱形.当AC＝BD时，四边形ABCD是正方形（两条对角线相等的菱形是正方形）. 答案：AC＝BD（答案不唯一.如∠ABC＝90°，OA＝OB，∠BAD+∠BCD＝180°等） 课堂练习（见导学案“当堂达标”） 参考答案 当堂达标 1.①×；②×；③×；④√；⑤√　2.D　3.B 4.C　解析：∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝∠D＝∠BAD＝90°. ∵ △AEF是等边三角形，∴ AE＝EF＝AF，∠EAF＝60°， ∴ ∠BAE+∠DAF＝30°. 在Rt△ABE和Rt△ADF中，∵ Rt△ABE ≌ Rt△ADF（HL）， ∴ BE＝DF，①正确. ∵ △ABE≌△ADF，∴ ∠BAE＝∠DAF， ∴ ∠DAF+∠DAF＝30°，∴ ∠DAF＝15°，②正确. ∵ BC＝CD，∴ BC-BE＝CD-DF，即CE＝CF. ∵ AE＝AF，∴ AC垂直平分EF，③正确. 设EC＝x，由勾股定理，得EF＝x， ∴ AE＝x，CG＝EG＝x，∴ AG＝x， ∴ AC＝，∴ AB＝，∴ BE＝-x＝， ∴ BE+DF＝x-x≠x，④错误. ∵ S△CEF＝，S△ABE＝＝， ∴ 2S△ABE＝＝S△CEF，⑤正确. 综上所述，正确的结论有4个. 5.证明：（1）∵ BD平分∠ABC，∴ ∠ABD＝∠CBD. 在△ABD与△CBD中，∵ ∴ △ABD≌△CBD（SAS），∴ ∠ADB＝∠CDB. （2）∵ PM⊥AD，PN⊥CD，∴ ∠PMD＝∠PND＝90°. ∵ ∠ADC＝90°，∴ 四边形MPND是矩形. ∵ ∠ADB＝∠CDB，PM⊥AD，PN⊥CD，∴ PM＝PN. ∴ 矩形MPND是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）. 6.（1）证明：∵ DE∥AC，DF∥AB， ∴ 四边形AEDF是平行四边形. 又∵ AD平分∠BAC，∴ ∠BAD＝∠CAD. ∵ DE∥AC，∴ ∠EDA＝∠CAD， ∴ ∠BAD＝∠EDA，∴ EA＝ED， ∴ 平行四边形AEDF是菱形. （2）解：当∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形. 理由：由（1）知四边形AEDF是菱形. 又∵ ∠BAC＝90°， ∴ 菱形AEDF是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）. 课后提升 （1）证明：∵ O为AB的中点，OE＝OD， ∴ 四边形AEBD是平行四边形. ∵ AB＝AC，AD是△ABC的角平分线， ∴ AD⊥BC，∴ ∠ADB＝90°， ∴ 平行四边形AEBD是矩形. （2）解：当∠BAC＝90°时，矩形AEBD是正方形. 理由：∵ ∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴ AD＝BD＝CD. 由（1）得四边形AEBD是矩形， ∴ 四边形AEBD是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）. 课堂小结 1.通过本节课的学习，你有什么收获？ 2.正方形的判定； （1）有一组邻边相等的矩形是正方形； （2）有一个角是直角的菱形是正方形. 布置作业 教材第60页练习第3题. 板书设计 18.2.3　正方形（第2课时）正方形的判定： 1.有一组邻边相等的矩形是正方形； 2.有一个角是直角的菱形是正方形. 例1 例2
教学反思