19.2.1正比例函数(第1课时) 教学详案--人教版

第十九章 一次函数
19.2 一次函数
19.2.1　正比例函数（第1课时）
教学目标 1.认识正比例函数的意义，掌握正比例函数解析式特点，会用待定系数法求正比例函数的解析式，能利用所学知识解决相关实际问题. 2.经历思考、探究问题的过程，发展总结归纳能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，体验数形之间的联系，逐步学会利用数形结合思想分析解决有关问题，体会解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新意识. 3.积极参与数学活动，对其产生好奇心和求知欲，形成合作交流、独立思考的学习习惯. 教学重难点 重点：理解正比例函数的意义及解析式特点. 难点：利用正比例函数解决实际问题，提高数学应用能力. 教学过程 导入新课 导入1：（课件出示下面问题） 一九九六年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥（候鸟）套上标志环.4个月零1周后人们在2.56万千米外的澳大利亚发现了它. 1.这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米（精确到1千米）？ 2.这只燕欧的行程y（千米）与飞行时间x（天）之间有什么关系？ 3.这只燕欧飞行1个半月的行程大约是多少千米？ 师生活动：学生在练习本上独立完成，有困难的小组讨论、交流. 教师总结，全班讲评. 一个月按30天计算，这只燕鸥平均每天飞行的路程不少于25 600÷（30×4+7）≈202（千米）. 若设这只燕鸥每天飞行的路程为202千米，那么它的行程y（千米）就是飞行时间x（天）的函数.函数解析式为y＝202x（0≤x≤127）. 这只燕欧飞行1个半月的行程大约是x＝45时函数y＝202x的值.即y＝202×45＝9 090（千米）. 以上我们用y＝202x对燕鸥在4个月零1周的飞行路程问题进行了刻画.尽管这只是近似的，但它可以作为反映燕鸥的行程与时间的对应规律的一个模型. 类似于y＝202x这种形式的函数在现实世界中还有很多.它们都具备什么样的特征呢？今天学习的课题：正比例函数. 导入2： 创设情境 2011年开始运营的京沪高速铁路全长1 318 km.设列车的平均速度为300 km/h.考虑以下问题： （1）乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需多少小时（结果保留小数点后一位）？ （2）京沪高铁列车的行程y（单位：km）与运行时间t（单位：h）之间有何数量关系？ （3）京沪高铁列车从北京南站出发2.5 h后，是否已经过了距始发站1 100 km的南京南站？ 师生活动：学生尝试解答，小组交流解题中遇到的问题，教师对疑难点加以点拨. 解：（1）1 318÷300≈4.4（h）. （2）y＝300t（0≤t≤4.4）. （3）y＝300×2.5＝750（km），这时列车尚未到达距始发站1 100 km的南京南站. 以上我们用函数y＝300t（0≤t≤4.4）对京沪高铁列车的行程问题进行了讨论.尽管实际情况可能会与此有一些小的不同，但这个函数基本上反映了列车的行程与运行时间之间的对应规律. 我们这节课就来学习正比例函数的问题. 探究新知 活动1：思考下列问题： 1.在y＝300t中，变量和常量分别是什么？其对应关系是函数关系吗？哪个是自变量，哪个是函数？ 2.自变量与常量是用什么运算符号连接起来的？ 3.（1）与（2）之间有何联系？（2）与（3）呢？ 师生活动：学生思考后请学生代表回答，教师点拨记录： 1.变量是列车的行程y与运行时间t，常量是300；是函数关系；自变量是时间t，列车的行程y是运行时间t的函数. 活动2：下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式. （1）圆的周长l随半径r的变化而变化. （2）铁的密度为7.9 g/cm3，铁块的质量m（单位：g）随它的体积V（单位：cm3）的变化而变化. （3）每个练习本的厚度为0.5 cm，一些练习本摞在一起的总厚度h（单位：cm） 随练习本的本数n的变化而变化. （4）冷冻一个0 ℃的物体，使它每分下降2 ℃，物体的温度T（单位：℃）随冷冻时间t（单位：min）的变化而变化. 师生活动：学生独立完成后小组交流问题答案. （1）是，l＝2πr； （2）是，m＝7.9V； （3）是，h＝0.5n； （4）是，T＝-2t. 问题探究：在l＝2πr，m＝7.9V，h＝0.5n和T＝-2t中， （1）它们的对应关系都是函数关系吗？其变量和常量分别是什么？进一步指出哪个是自变量，哪个是函数？ （2）认真观察自变量和常量是用什么运算符号连接起来的？这些常量可以取哪些值？ （3）这4个函数解析式与y＝300t有何共同特征？请你用语言加以描述. 师生活动：学生独立思考后小组交流，选派学生代表回答.学生回答后教师加以点拨，答案略. 活动3：形成概念 1.在l＝2πr，m＝7.9V，h＝0.5n和T＝-2t中，如果我们把其中的常数记为k，你能用数学式子表达吗？ y＝kx. 2.对这个常数k有何要求呢？ k≠0. 3.请你尝试给这类特殊函数下个定义. 一般地， 形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数. 4.这个函数解析式在形式上是一个单项式还是多项式？你能指出它的系数是什么，次数为多少吗？ 形式上是一个一次单项式，单项式系数就是比例系数. 5.正比例函数y＝kx（k为常数，k≠0）的自变量x的取值范围是什么？ 一般情况下正比例函数的自变量的取值范围为一切实数，但在特殊情况下自变量取值范围会有所不同. 6.在正比例函数y＝kx（k为常数，k≠0）中关键是确定哪个量？如果比例系数k确定，那么正比例函数确定了吗？怎样确定k呢？ 从函数关系看，关键是确定比例系数k，比例系数k确定，正比例函数就确定了；只需知道两个变量x，y的一对对应值即可确定k的值. 从方程角度看，若三个量x，y，k中已知其中两个量，则一定可以求出第三个量. 师生活动：学生通过对具体问题的探究和讨论，在独立思考、互相交流的基础上，归纳得出结论. 新知应用 例1　下列式子，哪些表示y是x的正比例函数？如果表示的是正比例函数，请你指出比例系数k的值. （1）y＝-0.1x；（2）y＝； （3）y＝2x2；（4）y2＝4x； （5）y＝-4x+3；（6）y＝2（x-x2）+2x2. 师生活动：学生思考讨论后回答，根据学生的回答情况得出答案. 解：（1）是正比例函数，比例系数为-0.1； （2）是正比例函数，比例系数为； （3）不是正比例函数； （4）不是正比例函数； （5）不是正比例函数； （6）是正比例函数，比例系数为2. 提示：判断一个函数是不是正比例函数，要先化简然后再判断. 例2　列式表示下列问题中的y与x的函数关系，并指出哪些是正比例函数. （1）正方形的边长为x cm，周长为y cm. （2）某人一年内的月平均收入为x元，他这年（12个月）的总收入为y元. （3）一个长方体的长为2 cm，宽为1.5 cm，高为x cm ，体积为y cm3. 师生活动：学生独立思考后得出答案，教师点拨归纳. 解：（1）y＝4x，是正比例函数；（2）y＝12x，是正比例函数；（3）y＝3x，是正比例函数. 例3　（1）若y＝（k-1）x是y关于x的正比例函数，则k满足　　　　. （2）若y＝kxk-1是y关于x的正比例函数，则k＝　　　　. （3）若y＝3x+k-4是y关于x的正比例函数，则k＝　　　　. （4）若y＝（k-2）是y关于x的正比例函数，则k＝　　　　. 师生活动：学生通过对具体问题的思考和讨论，教师加以点拨得出答案. 答案：（1）k≠1　（2）2　（3）4　（4）-2 例4　（1）已知正比例函数y＝kx，当x＝3时，y＝-15，求k的值. （2）若y关于x成正比例函数关系，当x＝4时，y＝-2. ①求y与x的解析式； ②当x＝6时，求对应的函数值y. 师生活动：学生先独立思考后小组讨论解决，共同得出答案. 解：（1）把x＝3，y＝-15代入y＝kx，解得k＝-5. （2）①设y与x的解析式为y＝kx，把x＝4，y＝-2代入y＝kx，解得k＝-.所以y与x的解析式为y＝-x. ②把x＝6代入y＝-x，解得y＝-3. 利用待定系数法求正比例函数解析式的一般步骤： ①设出所求的正比例函数解析式. ②把已知的自变量的值和对应的函数值代入所设的解析式，得到以比例系数k为未知数的方程，解这个方程求出比例系数k. ③把k的值代入所设的解析式. 合作探究 你如何理解正比例函数的意义？能从哪几个方面去认识正比例函数？ 师生活动：学生小组合作交流，教师加以点拨后得出答案. 1.从语言描述看： 函数解析式是常量与自变量的乘积. 2.从外形特征看： （1）一般情况下y＝kx（k为常数，k≠0）； （2）在特定条件下自变量可能不是x，要注意问题中自变量的变化. 3.从结果形式看： 函数解析式要化简后才能确认是不是正比例函数. 4.从函数关系看： 若比例系数k确定，则正比例函数确定；必须知道两个变量x，y的一对对应值才能确定k. 5.从方程角度看： 如果三个量x，y，k中已知其中两个量，那么一定可以求出第三个量. 课堂练习（见导学案“当堂达标”） 参考答案 当堂达标 1.B　2.D　3.（1）×　（2）×　（3）√　（4）√ 4.k≠2　5.3　y＝6x　6.y＝-3x 7.k＝3，比例系数为6.　8.y＝-4x+8. 9.解：（1）由题意可得v＝2t. （2）因为小球到达坡底时的速度为40 m/s， 所以t的取值范围为0≤t≤20. （3）当t＝3.5时，v＝2×3.5＝7（m/s）. （4）当v＝16时，16＝2t，则t＝8. 课后提升 解：（1）y＝2x+3；（2）11；（3）. 课堂小结 1.正比例函数的概念：一般地，形如y＝kx （k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数. 2.求正比例函数解析式的两种方法： （1）直接根据已知的比例系数求出解析式； （2）待定系数法. 布置作业 教材第87 页练习第1，2题.预习教材第87~89页. 板书设计 19.2.1　正比例函数（第1课时）一、正比例函数的概念　 二、正比例函数的解析式 y＝kx（k是常数，k≠0） 例1　　　　　　例2 例3　　　　　　例4
教学反思