19.3课题学习　选择方案(第2课时) 教学详案--人教版

第十九章 一次函数
19.3　课题学习　选择方案（第2课时）
教学目标 1.会用一次函数知识解决方案选择问题，进一步体会函数模型思想. 2.能从不同的角度思考问题，优化解决问题的方法. 3.能进行解决问题过程的反思，总结解决问题的方法. 教学重难点 重点： 应用一次函数模型解决方案选择问题. 难点：应用一次函数模型解决方案选择问题. 教学过程 导入新课 应用数学的知识和方法对各种方案进行分析，可以帮助我们清楚地认识各种方案，做出理性的决策.上节课我们对“怎样选取上网收费方式”进行了讨论，本节课我们将讨论“怎样租车”，请看下面的问题： 探究新知 1.怎样租车？ 例1　某学校计划在总费用2 300元的限额内，租用汽车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆汽车上至少要有1名教师.现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表： 甲种客车乙种客车载客量/ （人/辆）4530租金/（元/辆）400280
（1）共需租多少辆汽车？ （2）给出最节省费用的租车方案. 问题1：影响租车费用的因素有哪些？ 师生活动：教师引导学生通过阅读问题明确问题的条件和目标.主要影响因素是甲、乙两种车所租辆数. 问题2：汽车所租辆数又与哪些因素有关？ 师生活动：学生独立思考后回答，教师点拨引导.与乘车人数有关. 问题3：如何由乘车人数确定租车辆数呢？ 师生活动：教师引导学生认识到租车的条件最少是几辆，最多是几辆. （1）要保证240 名师生都有车坐，汽车总数不能小于6 ；（2）要使每辆汽车上至少有1 名教师，汽车总数不能大于6 . 问题4：在汽车总数确定后，租车费用与租车的种类有关.如果租甲种客车x辆，你能求出租车费用吗？ 师生活动：教师引导学生表示出租车费用y与甲种客车辆数x之间的函数关系式. 设租用甲种客车x辆，则租用乙种客车（6-x）辆；设租车费用为y，则 y＝400x+280（6-x），化简得y＝120x+1 680. 问题5：如何确定租车费用y的最小值？ 师生活动：教师引导学生根据师生数和租车费用讨论x的取值范围，学生小组讨论. （1）为使240名师生有车坐，则45x+30（6-x）≥240； （2）为使租车费用不超过2 300元， 则400x+280（6-x）≤2 300. 由得4≤x≤. 根据实际意义，x可取4 或5.因为y随着x的增大而增大，所以当x＝4时，y最小，y的最小值为2 160. 2.这个实际问题的解决过程是怎样思考的？ 师生活动：学生小组交流，教师点拨引导归纳： 图1 针对图1所示框图的意义，引导学生进行讨论、交流. 新知应用 例2　A城有肥料200吨，B城有肥料300吨，现要把这些肥料全部运往C，D两乡.从A城往C，D两乡运肥料的费用分别为每吨20元和25元；从B城往C，D两乡运肥料的费用分别为每吨15元和24元.现C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨，怎样调运可使总运费最少？ 图2 师生活动：教师引导学生思考以下问题，并完成下表的填写. 影响总运费的变量有哪些？由A，B城分别运往C，D乡的肥料量共有几个量？这些量之间有什么关系？ 　　　 收地 运地　　　CD总计A200吨B300吨总计240吨260吨500吨
解：设从A城运往 C乡的肥料为x吨，总运费为y元，则从A城运往D乡的肥料为（200-x）吨，从B城运往C乡的肥料为（240-x）吨，从B城运往D乡的肥料为（x+60）吨. 所以运费y＝20x+25· （200-x）+15（240-x）+24（x+60）， 化简得y＝4x+10 040（0≤x≤200）. 列出x与y的对应值，并画出图象（如图3）： 图3 x（吨）0200y（元）10 04010 840
由图表可知，一次函数 y＝4x+10 040的函数值 y随x 的增大而增大，所以当x＝0时y 有最小值，最小值为4×0+10 040＝10 040，所以要使总运费最少，这次运肥料的方案应从A城运往C乡0吨，运往D乡200吨；从B城运往C乡240吨，运往D乡60吨. 如果设其他运量，例如从B城运往C乡的肥料为x吨，能得到同样的最佳方案吗？ 学生课下讨论解决. 注意：解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量之间的关系，从中选取有代表性的变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数，以此作为解决问题的数学模型. 合作学习： 某办公用品销售商店推出两种优惠方案：①购一个书包，赠送一支水性笔；②购书包和水性笔一律按9折优惠.书包每个定价20元，水性笔每支定价5元，小丽和同学需买4个书包，水性笔若干（不少于4支）. （1）分别写出两种优惠方案购买费用y（元）与所买水性笔支数x（支）之间的函数关系式； （2）对x的取值情况进行分析，说明按哪种优惠方案购买比较便宜； （3）小丽和同学需买这种书包4个和水性笔12支，请你设计怎样购买最经济. 师生活动：学生小组 讨论解决，请学生代表回答. 解：（1）根据题意可得方案①购买费用y与购买水性笔支数x之间的函数关系式：y1＝4×20+5（x-4）＝5x+60（x≥4）； 方案②购买费用y与购买水性笔支数x之间的函数关系式： y2＝4×20×0.9+5×0.9x＝4.5x+72（x≥4）. （2）在同一坐标系内分别画出y1与y2的图象，如图4， 图4 由图象可知： 当x＝24时，两个函数的函数值相等； 当x>24时，对于同一个x，y1上的点都在y2上的点的上边，即y1>y2；当4≤x<24时，对于同一个x，y2上的点都在y1上的点的上边，即y10，w随x的增大而增大，所以当x＝75时，w有最大值，则购进甲种服装75件，乙种服装25件； 方案2：当a＝10时，所有方案获利相同，所以按哪种方案进货都可以； 方案3：当100，∴ y随x的增大而增大. ∵ x≤且x为正整数， ∴ 当x＝26时，y最大，为500×26+10 000＝23 000. 答：购买冰箱26台时，能使商店销售完这批家电后获得的利润最大，最大利润为23 000元. 3.解：（1）因为甲仓库运往M地的钢材为x t， 所以y＝20×12x+25×10×（100-x）+15×12×（80- x）+20×8×［90-（100-x）］＝240x+25 000-250x+14 400- 180x+160x-1 600＝-30x+37 800. 由题意，得解得10≤x≤80. 所以总运费y（元）关于x（t）的函数解析式为y＝-30x+ 37 800（10≤x≤80）. （2）由（1）得k＝-30<0，所以y随x的增大而减小. 所以当x＝80时，y最小值＝-30×80+37 800＝35 400. 故甲仓库运往M地80 t钢材，运往N地20 t钢材，乙仓库运往N地70 t钢材，能使总运费最节省，最节省的总运费是35 400元. 4.解：（1）设生产A种产品x件，由甲种原料有360千克，得9x+4（50-x）≤360，解得x≤32.由乙种原料有290千克，得3x+10（50-x）≤290，解得x≥30.∴ 30≤x≤32. 由于x为正整数，∴ x＝30，31或32. ∴ 有三种方案：①A：30件，B：20件； ②A：31件，B：19件；③A：32件，B：18件. （2）y＝700x+1 200（50-x）， 化简，得y＝-500x+60 000. ∵ k＝-500<0，∴ y随x的增大而减小，∴ 当x＝30时，y有最大值.∴ 应选用（1）中的方案①，即A：30件，B：20件，获利最多. 最大利润为y＝-500×30+60 000＝45 000（元）. 5.解：设从A水库往甲地调水x万吨，总调运量为y，则从A水库往乙地调水（14-x）万吨，从B水库往甲地调水（15-x）万吨，从B水库往乙地调水［13-（14-x）］万吨，y＝50x+30（14-x）+60（15-x）+45［13-（14-x）］＝5x+1 275（1≤x≤14）. ∵ k＝5>0，∴ y随x的增大而增大，∴ 当x＝1时，y有最小值1 280.∴ 从A水库往甲地调水1万吨，从A水库往乙地调水13万吨，从B水库往甲地调水14万吨，可使水的调运量最小. 课后提升 解：（1）设需要租x辆大巴车，y辆中巴车，根据题意，得40x+20y＝140，∴ y＝7-2x. ∵ x，y均为整数，∴ 当x＝0时，y＝7；当x＝1时，y＝5； 当x＝2时，y＝3；当x＝3时，y＝1. 故可能的租车方案有：①只租7辆中巴车；②租1辆大巴车，5辆中巴车；③租2辆大巴车，3辆中巴车；④租3辆大巴车，1辆中巴车. （2）方案①所需的费用为200×7＝1 400（元）； 方案②所需的费用为350+200×5＝1 350（元）； 方案③所需的费用为350×2+200×3＝1 300（元）； 方案④所需的费用为350×3+200＝1 250（元）. ∵ 1 250<1 300<1 350<1 400，∴ 费用最少的租车方案为：租3辆大巴车，1辆中巴车，最少的租车费用为1 250元. 课堂小结 在本节课中，我们经历了怎样的过程？有怎样的收获？ 通过两堂选择方案课，你能总结用一次函数解决实际问题的方法与策略吗？请大家带着下列问题回顾上述问题的解决过程，谈谈感悟，分享观点. （1）选择方案问题中，选择的方案数量有什么特点？ （2）选择最佳方案，往往可以用函数有关知识解决问题，你能说说建立函数模型的步骤和方法吗？ 布置作业 A市和B市分别有机床12台和6台，现运往C市10台，D市8台，若从A市运一台机床到C市、D市分别需要4万元和8万元，从B市运一台机床到C市、D市分别需要3万元和5万元. （1）设B市运往C市x台机床，求总费用y关于x的函数关系式. （2） 若总费用不超过95万元，问共有多少种调运方法？ （3）求总费用最低的调运方法，最低费用是多少万元？ 板书设计 19.3　课题学习　选择方案（第2课时） 例1　　　　　　　　例2
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