17.1勾股定理(第3课时) 教学详案--人教版
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| 名称 | 17.1勾股定理(第3课时) 教学详案--人教版 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-02-21 19:37:03 | ||
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文档简介
第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理（第3课时）
教学目标 1.能用勾股定理证明直角三角形全等的“斜边、 直角边”判定定理. 2.能应用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点. 3.体会数与形的密切联系，增强应用意识，提高运用勾股定理解决问题的 能力. 教学重难点 重点：用勾股定理作出长度为无理数的线段. 难点：确定以无理数为斜边长的直角三角形的两条直角边长. 教学过程 导入新课 导入1： 回顾：直角三角形两直角边长a，b的平方和等于斜边长c的平方.（即a2+b2＝c2） 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是已知直角三角形的两边，求第三边. 问题：在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？ 已知：如图1所示，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′.求证：△ABC≌△A′B′C′. 图1 证明：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C ′＝90°， 根据勾股定理，得 BC＝，B′C′＝. 又AB＝A′B′，AC＝A′C′，∴ BC＝B′C′. ∴ △ABC≌△A′B′C′（SSS）. 导入2：同学们，我们一起来欣赏一幅图形： 图2 这个美丽的图案是怎么画出来的呢？它依据的是什么数学知识？ 通过本节课的学习，相信你一定能得出答案. 探究新知 我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示的点吗？的点呢？ 师生活动：学生动脑思考. 教师分析：我们只能找到数轴上表示有理数的点，而对于像和这样的无理数却找不到，如果能画出长为和的线段，就能在数轴上画出表示和的点.容易发现长为的线段是两条直角边的长为1的直角三角形的斜边；长为的线段可以看作是两条直角边的长分别为2，3的直角三角形的斜边. 师：请同学们在数轴上画出表示的点，学生画完后，总结画图步骤，师板书如下： 1.如图3，在数轴上找到点A，使OA＝3. 2.过点A作直线l⊥OA，在l上取点B，使AB＝2. 3.以原点O为圆心，OB为半径作弧，弧与数轴交于点C，则点C即为表示的点. 师追问：在数轴上表示-的点，如何做呢？ 图3 图4 思考：（1）根据勾股定理，还可以作出长为无理数的线段，你能作出哪些长为无理数的线段呢？ （2）欣赏图4，你会得到什么启示？ 图5 （3）你还能找到其他作长为无理数的线段的方法吗？ 师生活动：学生思考；教师重点分析：能否将无理数转化为某个直角三角形的斜边长？ 答：（1）类似地，利用勾股定理，可以作出长为，，，…的线段.（2）按照同样方法，可以在数轴上画出表示，，，，，…的点（如图5所示）. 新知应用 例1 如图6所示，长方形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧，交数轴的正半轴于点M，点M表示的数为 . 图6 师生活动：首先让学生独立完成，然后小组内交流答案，通过交流争论，最后由小组长公布答案. 解析：AC＝＝， ∴ AM＝，OM＝AM-OA＝-1. ∴ 点M表示的数为-1. 答案： -1 例2 在数轴上作出表示和-的点. 师生活动：要求学生独立完成，并写出作图步骤，总结在数轴上表示和-的方法，对于总结较好的小组表扬鼓励. 解：如图7所示. 图7 （1）在数轴上找到点A，使OA＝4. （2）过点A作直线l⊥OA，并截取AC＝1. （3）连接OC，以点O为圆心，OC的长为半径作弧交数轴正半轴于点B，点B表示，交数轴负半轴于点D，点D表示-. 课堂练习（见导学案“当堂达标”） 参考答案 当堂达标 1.A 解析：∵ 点P的坐标为（-2，3）， ∴ OP＝＝. ∵ 点A，P均在以点O为圆心，以OP为半径的圆上， ∴ OA＝OP＝. ∵ 9<13<16， ∴ 3<<4. 又∵ 点A在x轴的负半轴上， ∴ 点A的横坐标介于-4和-3之间.故选A. 2. 解析：由勾股定理得OP4＝＝. 又∵ OP1＝，OP2＝， 依此类推可得OPn＝， ∴ OP2020＝. 3.解：（1）A城会受到影响，理由如下： 如图8，过点A作AC⊥ BM，交BM于点C. ∵ 在Rt△ABC中，∠ABM＝30°， ∴ AC＝AB ＝× 240＝120（km）. ∵ 120<150， ∴ A城会受到这次沙尘暴的影响. 图8 （2）如图8，以点A为圆心，以150 km为半径画弧，与BM交于E，F两点. 由题意，得CE＝＝＝90（km）. ∵ AE＝AF， ∴ ∠AEF＝∠AFE. 又∵ ∠ACE＝∠ACF，AC＝AC， ∴ △ACE≌△ACF（AAS）. ∴ CE＝CF. ∴ EF＝2CE＝2×90＝180（km）. ∴ 180÷ 12＝15（h）. ∴ A城遭受这次沙尘暴影响的时间为15 h. 4.解：∵ 使E到C，D两镇的距离相等， ∴ CE＝DE. ∵ CA⊥AB，DB⊥AB， ∴ ∠A＝∠B＝90°， ∴ AE2+AC2＝CE2，BE2+DB2＝DE2， ∴ AE2+AC2＝BE2+BD2. 设AE＝x km， 则BE＝（25-x）km，CA＝15 km，DB＝10 km，x2+152＝（25-x）2+102， 解得x＝10. 即AE＝10 km. ∴ 滑雪场E应建在距点A 10 km处，才能使它到两个镇的距离相等. 课后提升 证明：（1）∵ △ACB和△ECD都是等腰直角三角形， ∴ CE＝CD，AC＝BC. ∵ ∠ECD＝∠ACB＝90°， ∴ ∠ECD-∠ACD＝∠ACB-∠ACD，即∠ACE＝∠BCD. 在△ACE和△BCD中， ∴ △ACE≌△BCD（SAS）. （2）∵ △ACE≌△BCD， ∴ AE＝BD，∠EAC＝∠B＝45°. ∵ ∠EAD＝∠EAC+∠BAC＝∠B+∠BAC＝90°， 在Rt△EAD中，ED2＝AD2+AE2， ∴ ED2＝AD2+DB2. 又∵ ED2＝EC2+CD2＝2CD2， ∴ 2CD2＝AD2+DB2. 课堂小结 1.勾股定理有哪些方面的应用，本节课学习了勾股定理哪几个方面的应用？ 勾股定理的主要应用：（1）已知直角三角形的两边长求第三边长或已知直角三角形的一边长及另外两边的关系求另外两边长； （2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题； （3）求作长度为的线段. 2.你能说说勾股定理求线段长的基本思路吗？ 3.本节课体现出哪些数学思想方法？ 布置作业 必做：教材第28页习题17.1第6题、第8题、第10题； 选做：教材29页第14题. 板书设计 17.1 勾股定理（第3课时）1.勾股定理：a2+b2＝c2 2.用数轴上的点表示无理数的方法 例1 例2
教学反思
17.1 勾股定理（第3课时）
教学目标 1.能用勾股定理证明直角三角形全等的“斜边、 直角边”判定定理. 2.能应用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点. 3.体会数与形的密切联系，增强应用意识，提高运用勾股定理解决问题的 能力. 教学重难点 重点：用勾股定理作出长度为无理数的线段. 难点：确定以无理数为斜边长的直角三角形的两条直角边长. 教学过程 导入新课 导入1： 回顾：直角三角形两直角边长a，b的平方和等于斜边长c的平方.（即a2+b2＝c2） 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是已知直角三角形的两边，求第三边. 问题：在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？ 已知：如图1所示，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′.求证：△ABC≌△A′B′C′. 图1 证明：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C ′＝90°， 根据勾股定理，得 BC＝，B′C′＝. 又AB＝A′B′，AC＝A′C′，∴ BC＝B′C′. ∴ △ABC≌△A′B′C′（SSS）. 导入2：同学们，我们一起来欣赏一幅图形： 图2 这个美丽的图案是怎么画出来的呢？它依据的是什么数学知识？ 通过本节课的学习，相信你一定能得出答案. 探究新知 我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示的点吗？的点呢？ 师生活动：学生动脑思考. 教师分析：我们只能找到数轴上表示有理数的点，而对于像和这样的无理数却找不到，如果能画出长为和的线段，就能在数轴上画出表示和的点.容易发现长为的线段是两条直角边的长为1的直角三角形的斜边；长为的线段可以看作是两条直角边的长分别为2，3的直角三角形的斜边. 师：请同学们在数轴上画出表示的点，学生画完后，总结画图步骤，师板书如下： 1.如图3，在数轴上找到点A，使OA＝3. 2.过点A作直线l⊥OA，在l上取点B，使AB＝2. 3.以原点O为圆心，OB为半径作弧，弧与数轴交于点C，则点C即为表示的点. 师追问：在数轴上表示-的点，如何做呢？ 图3 图4 思考：（1）根据勾股定理，还可以作出长为无理数的线段，你能作出哪些长为无理数的线段呢？ （2）欣赏图4，你会得到什么启示？ 图5 （3）你还能找到其他作长为无理数的线段的方法吗？ 师生活动：学生思考；教师重点分析：能否将无理数转化为某个直角三角形的斜边长？ 答：（1）类似地，利用勾股定理，可以作出长为，，，…的线段.（2）按照同样方法，可以在数轴上画出表示，，，，，…的点（如图5所示）. 新知应用 例1 如图6所示，长方形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧，交数轴的正半轴于点M，点M表示的数为 . 图6 师生活动：首先让学生独立完成，然后小组内交流答案，通过交流争论，最后由小组长公布答案. 解析：AC＝＝， ∴ AM＝，OM＝AM-OA＝-1. ∴ 点M表示的数为-1. 答案： -1 例2 在数轴上作出表示和-的点. 师生活动：要求学生独立完成，并写出作图步骤，总结在数轴上表示和-的方法，对于总结较好的小组表扬鼓励. 解：如图7所示. 图7 （1）在数轴上找到点A，使OA＝4. （2）过点A作直线l⊥OA，并截取AC＝1. （3）连接OC，以点O为圆心，OC的长为半径作弧交数轴正半轴于点B，点B表示，交数轴负半轴于点D，点D表示-. 课堂练习（见导学案“当堂达标”） 参考答案 当堂达标 1.A 解析：∵ 点P的坐标为（-2，3）， ∴ OP＝＝. ∵ 点A，P均在以点O为圆心，以OP为半径的圆上， ∴ OA＝OP＝. ∵ 9<13<16， ∴ 3<<4. 又∵ 点A在x轴的负半轴上， ∴ 点A的横坐标介于-4和-3之间.故选A. 2. 解析：由勾股定理得OP4＝＝. 又∵ OP1＝，OP2＝， 依此类推可得OPn＝， ∴ OP2020＝. 3.解：（1）A城会受到影响，理由如下： 如图8，过点A作AC⊥ BM，交BM于点C. ∵ 在Rt△ABC中，∠ABM＝30°， ∴ AC＝AB ＝× 240＝120（km）. ∵ 120<150， ∴ A城会受到这次沙尘暴的影响. 图8 （2）如图8，以点A为圆心，以150 km为半径画弧，与BM交于E，F两点. 由题意，得CE＝＝＝90（km）. ∵ AE＝AF， ∴ ∠AEF＝∠AFE. 又∵ ∠ACE＝∠ACF，AC＝AC， ∴ △ACE≌△ACF（AAS）. ∴ CE＝CF. ∴ EF＝2CE＝2×90＝180（km）. ∴ 180÷ 12＝15（h）. ∴ A城遭受这次沙尘暴影响的时间为15 h. 4.解：∵ 使E到C，D两镇的距离相等， ∴ CE＝DE. ∵ CA⊥AB，DB⊥AB， ∴ ∠A＝∠B＝90°， ∴ AE2+AC2＝CE2，BE2+DB2＝DE2， ∴ AE2+AC2＝BE2+BD2. 设AE＝x km， 则BE＝（25-x）km，CA＝15 km，DB＝10 km，x2+152＝（25-x）2+102， 解得x＝10. 即AE＝10 km. ∴ 滑雪场E应建在距点A 10 km处，才能使它到两个镇的距离相等. 课后提升 证明：（1）∵ △ACB和△ECD都是等腰直角三角形， ∴ CE＝CD，AC＝BC. ∵ ∠ECD＝∠ACB＝90°， ∴ ∠ECD-∠ACD＝∠ACB-∠ACD，即∠ACE＝∠BCD. 在△ACE和△BCD中， ∴ △ACE≌△BCD（SAS）. （2）∵ △ACE≌△BCD， ∴ AE＝BD，∠EAC＝∠B＝45°. ∵ ∠EAD＝∠EAC+∠BAC＝∠B+∠BAC＝90°， 在Rt△EAD中，ED2＝AD2+AE2， ∴ ED2＝AD2+DB2. 又∵ ED2＝EC2+CD2＝2CD2， ∴ 2CD2＝AD2+DB2. 课堂小结 1.勾股定理有哪些方面的应用，本节课学习了勾股定理哪几个方面的应用？ 勾股定理的主要应用：（1）已知直角三角形的两边长求第三边长或已知直角三角形的一边长及另外两边的关系求另外两边长； （2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题； （3）求作长度为的线段. 2.你能说说勾股定理求线段长的基本思路吗？ 3.本节课体现出哪些数学思想方法？ 布置作业 必做：教材第28页习题17.1第6题、第8题、第10题； 选做：教材29页第14题. 板书设计 17.1 勾股定理（第3课时）1.勾股定理：a2+b2＝c2 2.用数轴上的点表示无理数的方法 例1 例2
教学反思