9.2 三角形的内角和外角 教案

9.2 三角形的内角和外角
第1课时 三角形的内角和
教学目标1.探究活动掌握三角形内角和定理；会用这些关系进行有关角的计算和比较.2.经历探究三角形内角和的定理的过程.教学重点难点重点：理解和应用三角形内角和定理.难点：会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°.教学过程导入新课听三角形三兄弟的对话：老大：“我有一个钝角，我的内角和最大！”老二：“我的个头大，我的内角和一定比你们大！”老三：“我不服气，咱们来比一比！”师生活动：教师提问，学生思考、回答，从而引出本节课的内容——三角形的内角和.【设计意图】从问题情景出发，创设情境，提出问题，可以激发学生强烈的好奇心和求知欲，使学生在观察、思考的活动中，对三角形内角和先有初步的感性认识.探究新知我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°，与三角形的形状、大小无关，所以它们的说法都是错误的.思考：除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢？动手操作： ①请同学们将事先准备好的三角形卡纸的其中一个或两个角剪下，拼到另一个顶角处，你发现了什么？ ②你还能用剪纸拼图的其他方法验证三角形的内角和是180°吗？ 师生活动：教师提问，引导学生动手操作，通过拼图将三角形三个内角拼成一个平角.从而猜想：三角形内角和为180°. PPT展示：拼图情况. 【设计意图】通过引导学生动手操作，让学生感受到亲自动手拼图的乐趣，通过观察拼图动态演示的过程，进一步强化对内角和为180°的感知，在解决问题过程中体会合情推理的作用，从而学会观察、猜想、验证等解决问题的方法. 合作探究： 问题1：我们已经用剪纸拼图的方法知道了三角形的内角和是180°，这些方法可靠吗？要验证这一结果的真实性，需要怎么办？你能利用学过的知识证明这个结论吗？ 问题2：有什么方法可以得到180°？从刚才拼角的过程你能想出证明的方法吗？ 问题3：这里的几个图与刚才的拼图有什么关系？请说明几种情况的证明思路与过程. 师生活动：教师提出问题，进行适当引导，让学生自己发现：证明内角和为180°，需要将三个内角转化为一个平角或同旁内角的方法，而图形中平角和同旁内角，但这里只有三角形，可见需添加辅助线，构造平角和同旁内角，将三角形问题转化到平行线中来解决，使难点得以突破. 定理证明：已知：△ABC.求证：∠A+∠B+∠C＝180°.证法1：过点A作l∥BC，∴ ∠B＝∠1.（两直线平行，内错角相等）∠C＝∠2.（两直线平行，内错角相等）∵ ∠2+∠1+∠BAC＝180°，∴ ∠B+∠C+∠BAC＝180°.证法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA，∴ ∠A＝∠1.（两直线平行，内错角相等）∠B＝∠2.（两直线平行，同位角相等）又∵ ∠1+∠2+∠ACB＝180°，∴ ∠A+∠B+∠ACB＝180°.证法3：过D作DE∥AC，作DF∥AB.∴ ∠C＝∠EDB，∠B＝∠FDC，（两直线平行，同位角相等）∠A+∠AED＝180°，∠AED+∠EDF＝180°，（两直线平行，同旁内角相补）∴ ∠A＝∠EDF.∵ ∠EDB+∠EDF+∠FDC＝180°，∴ ∠A+∠B+∠C＝180°.想一想：同学们还有其他的方法吗？延伸迁移 （1） （2） （3）得出结论：三角形内角和等于180°.【设计意图】让学生体会到借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.（口答）下列各组角是同一个三角形的内角吗？为什么？（1）3°， 150°， 27°；（2）60°， 40°， 90°；（3）30°， 60°， 50°.答案：（1）是；（2）不是；（3）不是.例 如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝65°，求∠C的度数. 解：∵ ∠A＋∠B+∠C＝180°（三角形的内角和定理），∴ ∠C＝180°-（∠A＋∠B）.∵ ∠A＝30°，∠B＝65°，（已知）∴ ∠C＝180°-（30°＋65°）＝85°.课堂练习1.（1）在△ABC中，∠A＝35°，∠B＝43°，则∠C＝________. （2）在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，则∠A＝________. （3）在△ABC中，∠A＝40°，∠A＝2∠B，则∠C＝________.2.如果三角形的三个内角的度数比是1:3:5,则它是（ ）A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.钝角或直角三角形3.已知在△ABC中，∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，则∠A＝_________.4.如图，在△ABC中，AE是角平分线，且∠B＝52°，∠C＝78°，求∠AEC的度数.学生活动：学生自主学习，分小组练习，学生代表上台板书. 教师活动：评改学生的结果并对过程进行补充与讲解.参考答案1.（1）102°（2）30°（3）120°2.B3.40°4.解：在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C＝180°，∠B＝52°，∠C＝78°，∴ ∠BAC＝50°.∵ AE是∠BAC的平分线，∴ ∠EAC＝∠BAC＝25°.∴ AEC＝180°-∠EAC-∠C＝180°-25°-78°＝77°.课堂小结1.三角形的内角和为180°；2.认识了辅助线及其作用；3.数学中的转化思想.布置作业教材第105页习题A组第1，2，3，4题.板书设计9.2 三角形的内角和外角第1课时 三角形的内角和三角形的内角和定理三角形的内角和是180° 教学反思教学反思教学反思教学反思教学反思
9.2 三角形的内角和外角
第2课时 三角形的外角
教学目标1.经历三角形内角和外角关系的探究过程，了解三角形内角和外角的关系.2.会利用三角形的内角 、外角关系进行有关的计算.教学重点难点重点：了解三角形外角的概念，理解三角形外角的性质.难点：运用三角形内角和定理及外角的性质解决相关问题.教学过程旧知回顾1.在△ABC中，∠A＝80°, ∠B＝52°,则∠C＝_______.2.如图，在△ABC中， ∠A＝70°, ∠B＝60°, 则∠ACB＝_______，∠ACD＝_______. 3.什么是三角形的内角？其内角和等于多少？教师出示问题，学生回答：1.48° 2.50° 130°3.三角形相邻两边组成的角叫作三角形的内角，它们的和是180 °.探究新知教师提出问题：问题如图，把△ABC 的一边BC延长，得到∠ACD.这个角还是三角形的内角吗？ 学生回答：不是.教师给出三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.∠ACD就是三角形的一个外角.让学生画出△ABC的所有外角，共有几个呢？ 学生动手画出三角形所有的外角，让学生到黑板上去画，并解释为什么是三角形的一个外角.师生总结：1.外角应具备的条件：①角的顶点是三角形的顶点；②角的一边是三角形的一边；③另一边是三角形中一边的延长线. 2.每一个三角形都有6个外角. 每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角.问题：如图，∠ACD 与∠ACB 的位置是怎样的？∠ACD 与∠ACB 有什么数量关系？∠ACD（外角）+ ∠ACB（相邻的内角）＝180°.如图，∠ACD 与∠A，∠B 的位置是怎样的？∠ACD 与∠A，∠B 的大小有什么关系？你能证明你的结论吗？学生独立思考后小组内交流，把答案写在练习本上，然后找小组代表发言.∵ ∠ACD +∠ACB ＝180°，∠A +∠B +∠ACB ＝180°，∴ ∠ACD ＝∠A +∠B.学生可能有多种不同的做法，学生说出答案后师生给予评价，出现问题，让其他学生补充，最后师生总结.结论：（1） ∠ACD（外角）+ ∠ACB（相邻的内角）＝180°.（2） ∠ACD ＝∠A +∠B， ∠ACD>∠A, ∠ACD>∠B.结论：三角形的外角与内角的关系 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角.练习：1.如图，口答：（1）∠1 ＝ _____+______；（2）∠2 ＝_____+_______. 2.如图，说出图形中∠1 和∠2 的度数. （1）　 　（2） 　　（3）答案：1.（1）∠C ∠DAC （2）∠3 ∠4 2.（1）∠1＝40°∠2＝140°（2）∠1＝110°∠2＝70°（3）∠1＝50° ∠2＝140°学习三角形外角与内角的关系是为了解决和三角形有关的角的计算或者证明. 我们利用这两条性质解决下列问题： 例 如图，∠BCD＝92°，∠A＝27°，∠BED＝44°，求：（1）∠B的度数.（2）∠BFD的度数.解：（1）在△ABC中，∵ ∠BCD＝∠A+∠B（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），∠BCD＝92°，∠A＝27°， ∴ ∠B＝∠BCD∠A＝92°27°＝65°.（2）在△BEF中，∵ ∠ BFD＝ ∠ B＋∠ BED（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），∠BED＝44°，∠B＝65°，∴ ∠BFD＝44°+65°＝109°.教师规范解题过程，强调我们在利用三角形外角等于与它不相邻的两个内角的和来解决问题时一定要看清楚，是哪个三角形的外角.练习：填空（1）一个三角形最多有_______个直角，因为________________；（2）一个三角形最多有_______ 个钝角，因为________________； （3）一个三角形至少有_______ 个锐角，因为__________________.答案：（1）1 三角形内角和等于180 °（2）1 三角形内角和等于180 °（3）2 三角形内角和等于180 °问题：按照三角形内角的大小，三角形可以分为哪几类？ 让学生尝试按边对三角形分类.归纳：三角形的分类1.三角形可以按内角的大小进行分类2.按边分练习：已知某三角形的一个外角是55°，这个三角形是锐角三角形、直角三角形，还是钝角三角形？解： 是钝角三角形.∵ 已知一个外角是55°，∴ 和这个外角相邻的内角是125°.∴ 这个三角形是钝角三角形.课堂练习1.计算： ∠1＝ 　　∠2＝ 　　　　∠3＝ ∠4＝ 　　∠5＝ 　　　　∠6＝ 2.如图，在△ABC中，O为其内部一点，则∠BOC　　　　∠A（填“>”“<”或“＝”）.3.如图，AB∥CD，∠D＝∠E＝35°，则∠B的度数为（　　）A.60° B.65° C.70° D.75°4.如图，AB∥CD，∠1＝110°，∠ECD＝70°，∠E的大小是　　　　.5.如图，直线AB，CD被BC所截，若AB∥CD，∠1＝45°，∠2＝35°，则∠3＝　　　　.6.如图，AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，∠B＝30°，∠DAE＝50°，试求：（1）∠D的度数；（2）∠ACD的度数.7.如图，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝81°，求∠DAC的度数.参考答案1.75°　140°　130°　60°　30°　60°2.> 3.C 4. 40° 5. 80°6.解：（1）∵ ∠DAE＝∠B+∠D，∴ ∠D＝∠DAE-∠B＝50°-30°＝20°.（2）∵ AD平分∠CAE，∴ ∠CAE＝2∠DAE＝100°，∴ ∠BAC＝80°，∴ ∠ACD＝∠B+∠BAC＝110°.7.解：设∠1＝x，则∠1＝∠2＝x.∵ ∠3＝∠1+∠2，∴ ∠3＝∠4＝2x.∴ ∠BAC＝180°-∠2-∠4＝180°-x-2x＝81°，解得x＝33°，∴ ∠DAC＝81°-33°＝48°.课堂小结 布置作业教材第108页习题A组.板书设计9.2 三角形的内角和外角 三角形的外角1.定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.例2.性质：（1）∠ACD＝∠A+∠B.　　　　　　　　　（2）∠ACD>∠A，∠ACD>∠B.三角形的分类 教学反思教学反思教学反思教学反思教学反思教学反思