11.3 公式法 教案

11.3 公式法
第1课时 用平方差公式分解因式
教学目标1.经历逆用平方差公式的过程．2.会运用平方差公式，并能运用公式进行简单的分解因式．教学重点难点重点：探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想．难点：能会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解.教学过程导入新课填空：（1）（x+5）（x-5） ＝_________________；（）（2）（3x+y）（3x-y）＝________________； （3）（3m+2n）（3m–2n）＝______________；（4）（a+b）（a-b）＝________________.学生独立完成，目的是复习平方差公式，为下面逆用平方差公式分解因式奠定基础.尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积：x2-25＝　　　　 ； （x+5）（x-5）9x2-y2＝　　　　 ； （3x+y）（3x-y）9m2-4n2＝　　　　 ； （3m+2n）（3m–2n）a2-b2＝　　　　 . （a+b）（a-b）学生通过观察、对比，把整式乘法中的平方差公式进行逆向运用，发展学生的观察能力与逆向思维能力.探究新知将多项式a2-b2分解因式∵ 结论：整式乘法公式的逆向变形得到分解因式的方法.这种分解因式的方法称为运用公式法.说一说　找特征（1）公式左边：（是一个将要被分解因式的多项式）.★被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并且能写成（　　）2-（　　）2的形式.（2）公式右边：（是分解因式的结果）.★分解的结果是两个底数的和乘两个底数的差的形式.让学生通过自己的归纳找到因式分解中平方差公式的特征.辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？（1）x2+y2　　　　不能　　（2）x2-y2　　　　能 （3）-x2-y2　　　 不能（4）-x2+y2　　　 能 （5）x2-25y2　　 能 （6）m2-1　　 能 学生独立思考，自主完成，教师给予评议试着将下面的多项式分解因式：（1）p2-16＝；（2）y2-4＝；（3）x2-＝；（4）4a2-b2＝. 学生根据平方差公式，自主完成.例1　把下列各式分解因式：（1）4x2-9y2； （2）（3m-1）2-9.解：（1）4x2-9y2＝（2x）2-（3y）2＝（2x+3y）（2x-3y）.（2）（3m-1）2-9＝（3m-1）2-32＝（3m-1+3）（3m-1-3）＝（3m+2）（3m-4）.学生独立完成，一生板演.教师总结:方法归纳：平方差公式中的a，b，是形式上的两个“数”，它们可以表示单项式，也可以表示多项式.例2　把下列各式分解因式：（1）a3-16a； （2）2ab3-2ab.解：（1）a3-16a＝a（a2-16）＝a（a+4）（a-4）.（2）2ab3-2ab＝2ab（b2-1）＝2ab（b+1）（b-1）.学生完成后进行交流，出现问题教师予以订正.教师总结：当多项式有公因式时，应先提出公因式，再看能否利用平方差公式进行因式分解.课堂练习1.下列各多项式中，不能用平方差公式分解因式的是（　　）A.a2b2-1 B.4-0.25a2C.-a2-b2 D.-x2+12.（浙江台州中考）把多项式2x2-8分解因式，结果正确的是（　　）A.2（x2-8） B.2（x-2）2C.2（x+2）（x-2） D.3.（浙江绍兴中考）分解因式：x2-1＝　　　　.4.（浙江杭州中考）分解因式：1-x2＝　　　　.5.（贵州毕节中考）分解因式：x4-16＝　　　　.6.把下列各式因式分解：（1）x2-b2； （2）9a2-4b2；（3）x2y-4y； （4）-a4+81.7.计算：+++…++.8.如图，大小两圆的圆心相同，已知它们的半径分别是R cm和r cm，求它们所围成的环形的面积.如果R＝8.45 cm，r＝3.45 cm呢？（π＝3.14）参考答案1.C 2.C 3.（x+1）（x-1）4.（1+x）（1-x）5.6.（1）；（2）（3a+2b）（3a-2b）；（3）y（x+2）（x-2）；（4）-（a2+9）（a+3）（a-3）.7.解：把分子利用平方差公式分解因式，原式＝+++…++＝（-1）+（-1）+（-1）+…+（-1）+（-1）＝×（-1）＝-1 011.8.解：πR2-πr2＝π（R+r）（R-r）（cm2），当R＝8.45 cm，r＝3.45 cm时，原式＝（8.45+3.45）×（8.45-3.45）×3.14＝186.83(cm2).课堂小结1.利用平方差公式分解因式：a2-b2＝（a+b）（a-b）.2.因式分解的步骤：首先提取公因式，然后考虑用公式法.3.因式分解应进行到每一个因式不能分解为止.布置作业教材第149页习题A组1，3，4题.板书设计11.3 公式法第1课时 用平方差公式分解因式a2- b2＝（a+b）（a-b） 例1：例2： 教学反思教学反思教学反思教学反思教学反思
11.3 公式法
第2课时 用完全平方公式分解因式
教学目标1.会用完全平方公式进行因式分解. 2.经历探索利用完全平方公式进行因式分解的过程,发展学生的逆向思维. 3.在探究的过程中培养学生独立思考的习惯.教学重点难点重点：理解并掌握用完全平方公式分解因式．难点：灵活运用各种方法分解因式，并能利用因式分解进行计算．教学过程旧知回顾1.因式分解：把一个多项式分解成几个整式乘积的形式.2.我们已经学过哪些因式分解的方法？（1）提公因式法.（2）用平方差公式分解因式：＝（a+b）（a-b）.回忆完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2；（a-b）2＝a2-2ab+b2.探究新知将完全平方公式反过来：a2+2ab+b2＝（a+b）2；a2-2ab+b2＝（a-b）2.便得到用完全平方公式分解因式的方法.[设计意图] 回顾完全平方公式，直入主题将完全平方公式反过来，得到新的分解因式的方法. 从上面的式子来看,两个等式的左边都是三项,其中两项符号为“+”,分别为两个整式的平方,还有一项符号可“+”可“-”,它是那两个整式乘积的两倍.凡具备这些特点的三项式,就是一个二项式的完全平方,将它写成平方形式,便实现了因式分解.左边的特点:（1）多项式是三项式；（2）有两个“项”的平方； （3）有这两“项”积的2倍或-2倍.简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.右边的特点:这两数或两式和（差）的平方.凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解.用语言叙述为:两个数的平方和,加上（或减去）这两个数的乘积的2倍,等于这两个数的和（或差）的平方.例1 对照a2±2ab+b2＝（a±b）2，填空：（1）x2+4x+4＝（x）2+2·（x）·（2）+（2）2＝（x+2）2；（2）m2-6m+9＝（m）2-2·（m）·（3）+（3）2＝（m-3）2；（3）a2+4ab+4b2＝（a）2+2·（a）·（2b）+（2b）2＝（a+2b）2.学生完成后进行交流，指定学生回答，出现问题师生集体订正.例2 下列各式是不是完全平方式？（1）a2-4a+4；　是　　　（2）1+4a2；　不是（3）4b2+4b-1；　不是　　（4）a2+ab+b2；　不是（5）x2+x+0.25.　是分析：（2）因为它只有两项；（3）4b2与-1的符号不统一；（4）因为ab不是a与b的积的2倍.例3　把下列各式分解因式.（1）t2+22t+121；（2）m2+n2-mn；解：（1）t2+22t+121＝t2+2×11t+112＝（t+11）2.（2）m2+n2-mn＝m2-2·m·n+＝.学生向大家展示自己的做法，理由，对某些错误、偏差，师生作出点评，形成统一认识.例4　把下列各式分解因式.（1）ax2+2a2x+a3；（2）（x+y）2-4（x+y）+4；（3）（3m-1）2+（3m-1）+.解：（1）ax2+2a2x+a3＝a（x2+2ax+a2）＝a（x+a）2.（2）（x+y）2-4（x+y）+4＝（x+y）2-2·（x+y）·2+22＝（x+y-2）2.（3）（3m-1）2+（3m-1）+＝（3m-1）2+2·（3m-1）·+＝＝.学生探究，教师指定学生板演.师生总结：1.当多项式有公因式时，应先提出公因式，再利用完全平方公式进行因式分解；2.完全平方公式中的a，b，既可以是单项式，也可以是多项式，把多项式看成一个整体即可.运用平方差公式和完全平方公式分解因式的方法叫做公式法.课堂练习1.下列各式中，能用完全平方公式分解的是（　　）A.a2+b2+ab B.a2+2ab-b2C.a2-ab+2b2 D.-2ab+a2+b22.下列各式中，不能用完全平方公式分解的是（　　）A.x2+y2-2xy B.x2+4xy+4y2C.a2-ab+b2 D.-2ab+a2+b23.下列各式中，能用完全平方公式分解的是（　　）A.x2+2xy-y2 B.x2-xy+y2C.x2-2xy+y2 D.x2-xy+y24.下列各式中，不能用完全平方公式分解的是（　　）A.x4+6x2y2+9y4 B.x2n-2xnyn+y2nC.x6-4x3y3+4y6 D.x4+x2y2+y45.如果100x2+kxy+y2可以分解为（10x-y）2，那么k的值是（　　）A.20 B.-20 C.10 D.-106.如果x2+mxy+9y2是一个完全平方式，那么m的值为（　　）A.6 B.±6 C.3 D.±37.把（a+b）2+4（a+b）+4分解因式得（　　）A.（a+b+1）2 B.（a+b-1）2C.（a+b+2）2 D.（a+b-2）28.计算1002-2×100×99+992的结果是（　　）A.1 B.-1 C.2 D.-29.分解因式.（1）4-4a+a2；（2）16x2y2+24xy+9；（3）x3y+2x2y2+xy3.参考答案1.D2.C3.D4.D5. B6.B7.C8.A9.解：（1）4-4a+a2＝（2-a）2.（2）16x2y2+24xy+9＝（4xy+3）2.（3）x3y+2x2y2+xy3＝xy（x2+2xy+y2）＝xy（x+y）2.课堂小结布置作业教材第152页习题A组题.板书设计11.3 公式法第2课时 用完全平方公式分解因式a2+2ab+b2＝（a+b）2； 例2：a2-2ab+b2＝（a-b）2. 完全平方式： 例3：例1：例4： 教学反思教学反思教学反思教学反思教学反思