江西省宜春市上高县2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷 (原卷版+解析版)

文档属性

名称 江西省宜春市上高县2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷 (原卷版+解析版)
格式 zip
文件大小 1.0MB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2024-02-21 20:56:25

文档简介

上高县2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷
解析卷
单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.
1. 若在区间上单调递增,则实数a的最大值为( )
A. B. C. D. π
【答案】A
【解析】
【分析】先求出函数的增区间,进而建立不等式组解得答案即可.
【详解】易知将函数的图象向右平移得到函数的图象,则函数的增区间为,而函数又在上单调递增,所以,于是,即a的最大值为.
故选:A.
2. 加工某种产品需要5道工序,分别为A,B,C,D,E,其中工序A,B必须相邻,工序C,D不能相邻,那么有( )种加工方法.
A. 24 B. 32 C. 48 D. 64
【答案】A
【解析】
【分析】考察排列组合的捆绑与插空的方法
【详解】工序A,B必须相邻,可看作一个整体,工序C,D不能相邻,所以先对AB,E工序进行排序,有种方法,AB内部排序,有种方法,排好之后有三个空可以把工序C,D插入,共种情况,所以一共有种可能性
故选:A
3. 某校安排5名同学去A,B,C,D四个爱国主义教育基地学习,每人去一个基地,每个基地至少安排一人,则甲同学被安排到A基地的排法总数为( )
A. 24 B. 36 C. 60 D. 240
【答案】C
【解析】
【分析】分两种情况分类计算,一种是基地只有甲同学在,另外一种是A基地有甲同学还有另外一个同学也在,两种情况相加即可.
【详解】当基地只有甲同学在时,那么总的排法是种;
当A基地有甲同学还有另外一个同学也在时,那么总的排法是种;
则甲同学被安排到A基地的排法总数为种.
故选:C
4. 的展开式中,含的系数为( )
A. 51 B. 8 C. 9 D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】由已知,先写出的展开式的通项公式,然后再写出的展开式的通项公式,即,根据要求的,计算和有几种组合,各自计算加在一起即可.
【详解】的展开式的通项公式为,r=0,1,2,3,4,5,
而的展开式的通项公式为,.
所以.
令,可得:或或,
故的系数为.
故选:A.
5. 的展开式中的常数项为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】写出二项展开式通项,令的指数为零,求出参数的值,代入通项展开即可得解.
【详解】的展开式通项为,
因为,
在中,令,可得,
在中,令,可得,
所以,的展开式中的常数项为.
故选:A.
6. 已知抛物线的焦点在直线上,则此抛物线的标准方程是( )
A. B.
C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】讨论焦点在轴上和焦点在轴上两种情况,分别计算得到答案.
【详解】当抛物线焦点在轴上时:
直线与轴的交点为,此时抛物线为;
当抛物线焦点在轴上时:
直线与轴的交点为,此时抛物线为;
综上所述:抛物线的标准方程是或
故选:
【点睛】本题考查了抛物线的标准方程,漏解是容易发生的错误.
7. 已知直线是圆在点处的切线,则直线的方程为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设出切线方程,对斜率k是否存在进行讨论,利用圆心到直线的距离等于半径即可求解.
【详解】当直线的斜率不存在时,直线l:,此时,圆心到直线的距离为3<5,不合题意;
当直线的斜率存在时,可设直线l:,
因为直线与圆相切,所以圆心到直线的距离等于半径,
即,解得:,
所以直线l:,即.
故选:D
【点睛】求圆的切线方程的思路通常有两种:
(1)几何法:用圆心到直线的距离等于半径;
(2)代数法:直线方程与圆的方程联立,利用Δ=0.
8. 双曲线与椭圆焦点相同且离心率是椭圆离心率的倍,则双曲线的标准方程为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据椭圆的方程求出焦点坐标与离心率,设双曲线的标准方程为,可得,求解即可.
【详解】椭圆的焦点坐标为,离心率为.
设双曲线的标准方程为,
由题意可得,解得.
所以双曲线的标准方程为.
故选:C.
多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
9. 己知直线,,则( )
A. 恒过点 B. 若,则
C. 若,则 D. 当时,不经过第三象限
【答案】BD
【解析】
【分析】对于A,由直接求解即可;对于BC,根据,时系数系数间的关系解决即可;对于D,分类讨论即可.
【详解】对于选项A:直线的方程可化为:,
令得:,
所以直线恒过点,
故选项A错误,
对于选项B:若时,显然不平行,
若时,显然不平行,
所以若,则,
且,
解得,
故选项B正确,
对于选项C:若,则,
解得,
故选项C错误,
对于选项D:若直线不经过第三象限,
当时,直线,符合题意,
当时,则,解得,
综上,,故选项D正确,
故选:BD.
10. 已知圆,则下列说法正确的是( )
A. 圆的半径为
B. 圆截轴所得的弦长为
C. 圆上的点到直线的最小距离为
D. 圆与圆相离
【答案】BC
【解析】
【分析】将圆的一般方程转化为标准方程即可得半径可判断A;利用几何法求出弦长可判断B;求出圆心到直线的距离再减去半径可判断C;求出圆的圆心和半径,比较圆心距与半径之和的大小可判断D,进而可得正确选项.
【详解】对于A:由可得,所以的半径为,故选项A不正确;
对于B:圆心为到轴的距离为,所以圆截轴所得的弦长为
,故选项B正确;
对于C:圆心到直线的距离为,所以圆上的点到直线的最小距离为,故选项C正确;
对于D:由可得,所以圆心,半径,因为,所以两圆相外切,故选项D不正确;
故选:BC.
11. 已知抛物线的焦点为F,直线与抛物线C交于M,N两点,且,,则的取值可以为( )
A. B. C. 2 D. 3
【答案】BC
【解析】
【分析】根据题意得到直线过抛物线的焦点,得出,再结合抛物线焦点弦的性质得到,求得的长,即可求解.
【详解】根据题意,抛物线的焦点为,
可得直线过抛物线的焦点,
因为所以,即,
又由抛物线焦点弦的性质,可得,
联立方程组,可得或或,
又因为,所以或2.
故选:BC.
12. 已知双曲线)的左,右两个顶点分别是,左、右两个焦点分别是,是双曲线上异于的一点,给出下列结论,其中正确的是( )
A. 存在点,使
B. 存在点,使得直线的斜率的绝对值之和
C. 使得应为等腰三角形的点有且仅有四个
D. 若,则
【答案】AD
【解析】
【分析】由双曲线的定义,可判断A;由,结合双曲线的方程,得到可判断B;结合双曲线的几何性质,可判断C;根据数量积的坐标表示可得,进而,可判断D.
【详解】设.对于A,由双曲线的定义,只需即可,即只需P点为线段的中垂线与双曲线的交点,故A正确;
对于B,因为,所以,又,
所以,
故,当且仅当时等号成立,又等号不可能成立,故B错误;
对于C,若P在第一象限,则当时,,为等腰三角形;
当时,也为等腰三角形,
故点P在第一象限且使得为等腰三角形的点P有两个;
同理,在第二、三、四象限且使得为等腰三角形的点P也各有两个,
因此使得为等腰三角形的点P共有八个,故C错误;
对于D,由,得,
从而,故D正确.
故选:AD.
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13. 若,则x的可能的值是___________.
【答案】1或2或3.
【解析】
【分析】由组合数性质即可得到.
【详解】由题得或
∴或,
又,且,
∴的可能的值是或或.
故答案为:1或2或3.
14. 已知是双曲线的左、右焦点,双曲线上一点P满足,则△的面积是________.
【答案】2
【解析】
【分析】假设在左支上,由双曲线定义及已知条件可得,再用余弦定理求,进而求其正弦值,利用三角形面积公式求△的面积.
【详解】不妨假设在左支上,则,又,
所以,而,则,
所以,故,
综上,△的面积是.
故答案为:2.
15. 双曲线C:(,)的焦点为、,P在双曲线右支上,且,为C的渐近线方程,若的面积为,则双曲线C的焦距长为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据双曲线的渐近线可求c与a的关系,根据即双曲线的定义可求,在焦点三角形中,利用余弦定理可求出cos∠,从而可求sin∠,根据即可求出a,从而可求2c.
【详解】∵C的渐近线方程是,∴C为等轴双曲线,a=b,
∴.
设,则2a=3m-m=2m,即m=a,则,
设∠=θ,在△中,由余弦定理得,

即,化简可得,
∴,
∵,
,,,,.
故答案为:.
16. 设抛物线的焦点为,过的直线交抛物线于两点,过的中点作轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点,若,则直线的方程为__________.
【答案】
【解析】
【详解】分析:求出抛物线焦点为,准线为,设,直线方程为,由与抛物线方程消去得关于的一元二次方程,利用根与系数的关系算出的坐标,根据,利用两点间的距离公式解出,进而得到结论.
详解:
抛物线方程为,
抛物线焦点为,准线为,
设,
因为在第一象限,所以直线的斜率,
设直线方程为,
代入抛物线方程消去,得,

过中点作准线的垂线与抛物线交于点,
设点的坐标为,可得,


得到,可得,
,,解之得,
所以,直线方程为,即,
,故答案为.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.
17. 已知直线l过点A(﹣3,1),且与直线4x﹣3y+t=0垂直.
(1)求直线l的一般式方程;
(2)若直线l与圆C:x2+y2=m相交于点P,Q,且|PQ|=8,求圆C的方程.
【答案】(1)3x+4y+5=0
(2)x2+y2=17
【解析】
【分析】(1)由垂直关系得过直线l的斜率,由点斜式化简即可求解l的一般式方程;
(2)结合勾股定理建立弦心距(由点到直线距离公式求解),半弦长,圆半径的基本关系,解出,即可求解圆C的方程.
【小问1详解】
因为直线l与直线4x﹣3y+t=0垂直,所以直线l的斜率为,
故直线l方程为,即3x+4y+5=0,
因此直线l的一般式方程为3x+4y+5=0;
【小问2详解】
圆C:x2+y2=m的圆心为(0,0),半径为,
圆心(0,0)到直线l的距离为,
则半径满足m=42+12=17,即m=17,所以圆C:x2+y2=17.
18. (1)已知点在圆上运动,定点,点为线段的中点,求点的轨迹方程;
(2)已知两定点,动点满足,求点的轨迹方程.
【答案】(1);(2)
【解析】
【分析】(1)设,根据题意得代入圆的方程解决即可;(2)设,得,,根据题意解决即可.
【详解】(1)由题知,点在圆上运动,定点,
设,
因为点为线段的中点,
所以,即,
因为点在圆上,即,
所以,化简得
所以点的轨迹方程为;
(2)由题知,两定点,动点满足,即,
设,
所以,
因为,
所以,化简得,
所以点的轨迹方程为;
19. 如图,在三棱锥中,平面平面,,为的中点.
(1)证明:;
(2)若是边长为1的等边三角形,点在棱上,,且二面角的大小为,求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
【分析】(1)由题意首先证得线面垂直,然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可;
(2)方法二:利用几何关系找到二面角的平面角,然后结合相关的几何特征计算三棱锥的体积即可.
【详解】(1)因为,O是中点,所以,
因为平面,平面平面,
且平面平面,所以平面.
因为平面,所以.
(2)[方法一]:通性通法—坐标法
如图所示,以O为坐标原点,为轴,为y轴,垂直且过O的直线为x轴,建立空间直角坐标系,
则,设,
所以,
设为平面的法向量,
则由可求得平面的一个法向量为.
又平面的一个法向量为,
所以,解得.
又点C到平面的距离为,所以,
所以三棱锥的体积为.
[方法二]【最优解】:作出二面角的平面角
如图所示,作,垂足为点G.
作,垂足为点F,连结,则.
因为平面,所以平面,
为二面角的平面角.
因为,所以.
由已知得,故.
又,所以.
因为,

[方法三]:三面角公式
考虑三面角,记为,为,,
记二面角为.据题意,得.
对使用三面角的余弦公式,可得,
化简可得.①
使用三面角的正弦公式,可得,化简可得.②
将①②两式平方后相加,可得,
由此得,从而可得.
如图可知,即有,
根据三角形相似知,点G为的三等分点,即可得,
结合的正切值,
可得从而可得三棱锥的体积为.
【整体点评】(2)方法一:建立空间直角坐标系是解析几何中常用的方法,是此类题的通性通法,其好处在于将几何问题代数化,适合于复杂图形的处理;
方法二:找到二面角的平面角是立体几何的基本功,在找出二面角的同时可以对几何体的几何特征有更加深刻的认识,该法为本题的最优解.
方法三:三面角公式是一个优美的公式,在很多题目的解析中灵活使用三面角公式可以使得问题更加简单、直观、迅速.
20. 已知抛物线,其中,过B的直线l交抛物线C于M,N两点.
(1)当直线l垂直于x轴,且为直角三角形,求实数m的值;
(2)若四边形是平行四边形,当点P在直线l上时,求实数m,使得.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)根据向量垂直,即可利用坐标运算求解,
(2)根据平行得斜率关系,进而联立方程得韦达定理,结合向量垂直由坐标运算即可求解.
【小问1详解】
由题意,代入中,解得,
不妨取,
则,
为直角三角形,故只能是为直角,
即,
故或1,易知不合题意,舍去,故.
【小问2详解】
由题意四边形为平行四边形,则,
设直线,
联立得,
由题意,判别式,

要使,则,
又,
即,
化简,得,
即,代入得故.
故时,有.
21. 已知抛物线的焦点为坐标原点,是抛物线C上异于O的两点.
(1)求抛物线C方程;
(2)若直线的斜率之积为,求证:直线过定点,并求出定点坐标.
【答案】(1),(2)证明见解析,定点
【解析】
【分析】
(1)利用抛扔线的焦点坐标,求出,然后求抛物线的方程;
(2)通过直线的斜率是否存在,设出直线方程,与抛物线方程联立,利用韦达定理以及斜率乘积关系,转化求解即可
【详解】解:(1)因为抛物线的焦点坐标为,
所以,得,
所以抛物线方程为,
(2)①当直线的斜率不存在时,设,
因为直线的斜率之积为,所以,化简得,
所以,此时直线的方程为,
②当直线的斜率存在时,设其方程为,,
由,得,则,
因为的斜率之积为,所以,
即,即可,
解得(舍去),或,
所以,即,所以,即,
综上所述,直线过轴上的一定点
【点睛】关键点点睛:此题考查直线与抛物线的位置关系的应用,抛物线的方程的求法,解题的关键是将直线方程与抛物线方程联立方程组可得,再利用根与系数的关系可得,再结合直线的斜率之积为,可得到的关系,从而可得答案,考查计算能力,属于中档题
22. 已知椭圆方程E:左焦点为F,直线()与椭圆E相交于A,B,点A在第一象限,直线与椭圆E的另一点交点为C,且点C关于原点O的对称点为D.
(1)设直线,的斜率分别为,,证明:为常数;
(2)求面积的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)3
【解析】
【分析】(1)设出,,则,表达出,,由点差法得到证明;
(2)三角形面积等于三角形的面积2倍,设直线方程为,联立椭圆方程,得到两根之和,两根之积,求出,换元后,结合对勾函数性质求出最值,得到答案.
【小问1详解】
由题意知,,若,此时直线的斜率不存在,不合要求,舍去,
设,,,此时,
则,,,
又①,②,
式子①-②得,
所以;
【小问2详解】
由题意可知,三角形面积等于三角形的面积2倍,
椭圆左焦点F为,可设直线方程为,
联立方程组,
即,
故,,
所以三角形的面积为

令,,
由对勾函数性质可得在单调递增,
故,当且仅当取得最小值成立,
所以,当且仅当,即时成立,
三角形的面积的最大值为,
所以面积的最大值为3.
【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法:
(1)几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用几何法来解决;
(2)代数法,若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系,则可首先建立目标函数,再求这个函数的最值或范围.上高县2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷
单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.
1. 若在区间上单调递增,则实数a的最大值为( )
A. B. C. D. π
2. 加工某种产品需要5道工序,分别为A,B,C,D,E,其中工序A,B必须相邻,工序C,D不能相邻,那么有( )种加工方法.
A. 24 B. 32 C. 48 D. 64
3. 某校安排5名同学去A,B,C,D四个爱国主义教育基地学习,每人去一个基地,每个基地至少安排一人,则甲同学被安排到A基地的排法总数为( )
A. 24 B. 36 C. 60 D. 240
4. 的展开式中,含的系数为( )
A. 51 B. 8 C. 9 D. 10
5. 的展开式中的常数项为( )
A. B. C. D.
6. 已知抛物线的焦点在直线上,则此抛物线的标准方程是( )
A. B.
C. 或 D. 或
7. 已知直线是圆在点处的切线,则直线的方程为( )
A. B. C. D.
8. 双曲线与椭圆焦点相同且离心率是椭圆离心率的倍,则双曲线的标准方程为( )
A. B. C. D.
多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
9. 己知直线,,则( )
A. 恒过点 B. 若,则
C. 若,则 D. 当时,不经过第三象限
10 已知圆,则下列说法正确的是( )
A. 圆的半径为
B. 圆截轴所得的弦长为
C. 圆上的点到直线的最小距离为
D. 圆与圆相离
11. 已知抛物线的焦点为F,直线与抛物线C交于M,N两点,且,,则的取值可以为( )
A. B. C. 2 D. 3
12. 已知双曲线)的左,右两个顶点分别是,左、右两个焦点分别是,是双曲线上异于的一点,给出下列结论,其中正确的是( )
A. 存在点,使
B. 存在点,使得直线的斜率的绝对值之和
C. 使得应为等腰三角形的点有且仅有四个
D. 若,则
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13. 若,则x的可能的值是___________.
14. 已知是双曲线的左、右焦点,双曲线上一点P满足,则△的面积是________.
15. 双曲线C:(,)的焦点为、,P在双曲线右支上,且,为C的渐近线方程,若的面积为,则双曲线C的焦距长为______.
16. 设抛物线的焦点为,过的直线交抛物线于两点,过的中点作轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点,若,则直线的方程为__________.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.
17. 已知直线l过点A(﹣3,1),且与直线4x﹣3y+t=0垂直.
(1)求直线l的一般式方程;
(2)若直线l与圆C:x2+y2=m相交于点P,Q,且|PQ|=8,求圆C的方程.
18. (1)已知点在圆上运动,定点,点为线段的中点,求点的轨迹方程;
(2)已知两定点,动点满足,求点的轨迹方程.
19. 如图,在三棱锥中,平面平面,,为的中点.
(1)证明:;
(2)若是边长为1的等边三角形,点在棱上,,且二面角的大小为,求三棱锥的体积.
20. 已知抛物线,其中,过B的直线l交抛物线C于M,N两点.
(1)当直线l垂直于x轴,且为直角三角形,求实数m的值;
(2)若四边形是平行四边形,当点P在直线l上时,求实数m,使得.
21. 已知抛物线的焦点为坐标原点,是抛物线C上异于O的两点.
(1)求抛物线C方程;
(2)若直线的斜率之积为,求证:直线过定点,并求出定点坐标.
22. 已知椭圆方程E:左焦点为F,直线()与椭圆E相交于A,B,点A在第一象限,直线与椭圆E的另一点交点为C,且点C关于原点O的对称点为D.
(1)设直线,的斜率分别为,,证明:为常数;
(2)求面积的最大值.
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