上高县2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷
解析卷
单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1. 若在区间上单调递增，则实数a的最大值为（ ）
A. B. C. D. π
【答案】A
【解析】
【分析】先求出函数的增区间，进而建立不等式组解得答案即可.
【详解】易知将函数的图象向右平移得到函数的图象，则函数的增区间为，而函数又在上单调递增，所以，于是，即a的最大值为.
故选：A.
2. 加工某种产品需要5道工序，分别为A，B，C，D，E，其中工序A，B必须相邻，工序C，D不能相邻，那么有（ ）种加工方法．
A. 24 B. 32 C. 48 D. 64
【答案】A
【解析】
【分析】考察排列组合的捆绑与插空的方法
【详解】工序A，B必须相邻，可看作一个整体，工序C，D不能相邻，所以先对AB，E工序进行排序，有种方法，AB内部排序，有种方法，排好之后有三个空可以把工序C，D插入，共种情况，所以一共有种可能性
故选：A
3. 某校安排5名同学去A，B，C，D四个爱国主义教育基地学习，每人去一个基地，每个基地至少安排一人，则甲同学被安排到A基地的排法总数为（ ）
A. 24 B. 36 C. 60 D. 240
【答案】C
【解析】
【分析】分两种情况分类计算，一种是基地只有甲同学在，另外一种是A基地有甲同学还有另外一个同学也在，两种情况相加即可.
【详解】当基地只有甲同学在时，那么总的排法是种；
当A基地有甲同学还有另外一个同学也在时，那么总的排法是种；
则甲同学被安排到A基地的排法总数为种.
故选：C
4. 的展开式中，含的系数为（ ）
A. 51 B. 8 C. 9 D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】由已知，先写出的展开式的通项公式，然后再写出的展开式的通项公式，即，根据要求的，计算和有几种组合，各自计算加在一起即可.
【详解】的展开式的通项公式为，r=0，1，2，3，4，5，
而的展开式的通项公式为，．
所以．
令，可得：或或，
故的系数为．
故选：A．
5. 的展开式中的常数项为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】写出二项展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项展开即可得解.
【详解】的展开式通项为，
因为，
在中，令，可得，
在中，令，可得，
所以，的展开式中的常数项为.
故选：A.
6. 已知抛物线的焦点在直线上,则此抛物线的标准方程是（ ）
A. B.
C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】讨论焦点在轴上和焦点在轴上两种情况，分别计算得到答案.
【详解】当抛物线焦点在轴上时：
直线与轴的交点为，此时抛物线为；
当抛物线焦点在轴上时：
直线与轴的交点为，此时抛物线为；
综上所述：抛物线的标准方程是或
故选：
【点睛】本题考查了抛物线的标准方程，漏解是容易发生的错误.
7. 已知直线是圆在点处的切线，则直线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设出切线方程，对斜率k是否存在进行讨论，利用圆心到直线的距离等于半径即可求解.
【详解】当直线的斜率不存在时，直线l：，此时，圆心到直线的距离为3<5,不合题意；
当直线的斜率存在时，可设直线l：，
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，
即，解得：，
所以直线l：，即.
故选：D
【点睛】求圆的切线方程的思路通常有两种:
（1）几何法:用圆心到直线的距离等于半径；
（2）代数法:直线方程与圆的方程联立,利用Δ=0．
8. 双曲线与椭圆焦点相同且离心率是椭圆离心率的倍，则双曲线的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据椭圆的方程求出焦点坐标与离心率，设双曲线的标准方程为，可得，求解即可.
【详解】椭圆的焦点坐标为,离心率为.
设双曲线的标准方程为，
由题意可得，解得.
所以双曲线的标准方程为.
故选:C.
多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
9. 己知直线，，则（ ）
A. 恒过点 B. 若，则
C. 若，则 D. 当时，不经过第三象限
【答案】BD
【解析】
【分析】对于A，由直接求解即可；对于BC，根据，时系数系数间的关系解决即可；对于D，分类讨论即可.
【详解】对于选项A：直线的方程可化为：，
令得：，
所以直线恒过点，
故选项A错误，
对于选项B：若时，显然不平行，
若时，显然不平行，
所以若，则，
且，
解得，
故选项B正确，
对于选项C：若，则，
解得，
故选项C错误，
对于选项D：若直线不经过第三象限，
当时，直线，符合题意，
当时，则，解得，
综上，，故选项D正确，
故选：BD.
10. 已知圆，则下列说法正确的是（ ）
A. 圆的半径为
B. 圆截轴所得的弦长为
C. 圆上的点到直线的最小距离为
D. 圆与圆相离
【答案】BC
【解析】
【分析】将圆的一般方程转化为标准方程即可得半径可判断A；利用几何法求出弦长可判断B；求出圆心到直线的距离再减去半径可判断C；求出圆的圆心和半径，比较圆心距与半径之和的大小可判断D，进而可得正确选项.
【详解】对于A：由可得，所以的半径为，故选项A不正确；
对于B：圆心为到轴的距离为，所以圆截轴所得的弦长为
，故选项B正确；
对于C：圆心到直线的距离为，所以圆上的点到直线的最小距离为，故选项C正确；
对于D：由可得，所以圆心，半径，因为，所以两圆相外切，故选项D不正确；
故选：BC.
11. 已知抛物线的焦点为F，直线与抛物线C交于M，N两点，且，，则的取值可以为（ ）
A. B. C. 2 D. 3
【答案】BC
【解析】
【分析】根据题意得到直线过抛物线的焦点，得出，再结合抛物线焦点弦的性质得到，求得的长，即可求解.
【详解】根据题意，抛物线的焦点为，
可得直线过抛物线的焦点，
因为所以，即，
又由抛物线焦点弦的性质，可得，
联立方程组，可得或或，
又因为，所以或2.
故选：BC.
12. 已知双曲线）的左，右两个顶点分别是，左、右两个焦点分别是，是双曲线上异于的一点，给出下列结论，其中正确的是（ ）
A. 存在点，使
B. 存在点，使得直线的斜率的绝对值之和
C. 使得应为等腰三角形的点有且仅有四个
D. 若，则
【答案】AD
【解析】
【分析】由双曲线的定义，可判断A；由，结合双曲线的方程，得到可判断B；结合双曲线的几何性质，可判断C；根据数量积的坐标表示可得，进而，可判断D．
【详解】设．对于A，由双曲线的定义，只需即可，即只需P点为线段的中垂线与双曲线的交点，故A正确；
对于B，因为，所以，又，
所以，
故，当且仅当时等号成立，又等号不可能成立，故B错误；
对于C，若P在第一象限，则当时，，为等腰三角形；
当时，也为等腰三角形，
故点P在第一象限且使得为等腰三角形的点P有两个；
同理，在第二、三、四象限且使得为等腰三角形的点P也各有两个，
因此使得为等腰三角形的点P共有八个，故C错误；
对于D，由，得，
从而，故D正确．
故选：AD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若，则x的可能的值是___________.
【答案】1或2或3.
【解析】
【分析】由组合数性质即可得到.
【详解】由题得或
∴或,
又，且，
∴的可能的值是或或.
故答案为：1或2或3.
14. 已知是双曲线的左、右焦点，双曲线上一点P满足，则△的面积是________．
【答案】2
【解析】
【分析】假设在左支上，由双曲线定义及已知条件可得，再用余弦定理求，进而求其正弦值，利用三角形面积公式求△的面积.
【详解】不妨假设在左支上，则，又，
所以，而，则，
所以，故，
综上，△的面积是.
故答案为：2.
15. 双曲线C：(，)的焦点为、，P在双曲线右支上，且，为C的渐近线方程，若的面积为，则双曲线C的焦距长为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据双曲线的渐近线可求c与a的关系，根据即双曲线的定义可求，在焦点三角形中，利用余弦定理可求出cos∠，从而可求sin∠，根据即可求出a，从而可求2c．
【详解】∵C的渐近线方程是，∴C为等轴双曲线，a=b，
∴．
设，则2a=3m-m=2m，即m=a，则，
设∠=θ，在△中，由余弦定理得，
，
即，化简可得，
∴，
∵，
，，，，．
故答案为：．
16. 设抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，过的中点作轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点，若，则直线的方程为__________．
【答案】
【解析】
【详解】分析：求出抛物线焦点为，准线为，设，直线方程为，由与抛物线方程消去得关于的一元二次方程，利用根与系数的关系算出的坐标，根据，利用两点间的距离公式解出，进而得到结论.
详解：
抛物线方程为，
抛物线焦点为，准线为，
设，
因为在第一象限，所以直线的斜率，
设直线方程为，
代入抛物线方程消去，得，
，
过中点作准线的垂线与抛物线交于点，
设点的坐标为，可得，
，
，
得到，可得，
，，解之得，
所以，直线方程为，即,
，故答案为.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.
17. 已知直线l过点A（﹣3，1），且与直线4x﹣3y+t＝0垂直．
（1）求直线l的一般式方程；
（2）若直线l与圆C：x2+y2＝m相交于点P，Q，且|PQ|＝8，求圆C的方程．
【答案】（1）3x+4y+5＝0
（2）x2+y2＝17
【解析】
【分析】（1）由垂直关系得过直线l的斜率，由点斜式化简即可求解l的一般式方程；
（2）结合勾股定理建立弦心距（由点到直线距离公式求解），半弦长，圆半径的基本关系，解出，即可求解圆C的方程．
【小问1详解】
因为直线l与直线4x﹣3y+t＝0垂直，所以直线l的斜率为，
故直线l方程为，即3x+4y+5＝0，
因此直线l的一般式方程为3x+4y+5＝0；
【小问2详解】
圆C：x2+y2＝m的圆心为（0，0），半径为，
圆心（0，0）到直线l的距离为，
则半径满足m＝42+12＝17，即m＝17，所以圆C：x2+y2＝17．
18. （1）已知点在圆上运动，定点，点为线段的中点，求点的轨迹方程；
（2）已知两定点，动点满足，求点的轨迹方程.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）设，根据题意得代入圆的方程解决即可；（2）设，得，，根据题意解决即可.
【详解】（1）由题知，点在圆上运动，定点，
设，
因为点为线段的中点，
所以，即，
因为点在圆上，即，
所以，化简得
所以点的轨迹方程为；
（2）由题知，两定点，动点满足，即，
设，
所以，
因为，
所以，化简得，
所以点的轨迹方程为；
19. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.
（1）证明：；
（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】
【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可；
(2)方法二：利用几何关系找到二面角的平面角，然后结合相关的几何特征计算三棱锥的体积即可.
【详解】（1）因为，O是中点，所以，
因为平面，平面平面，
且平面平面，所以平面．
因为平面，所以.
（2）[方法一]：通性通法—坐标法
如图所示，以O为坐标原点，为轴，为y轴，垂直且过O的直线为x轴，建立空间直角坐标系，
则，设,
所以，
设为平面的法向量，
则由可求得平面的一个法向量为．
又平面的一个法向量为，
所以，解得．
又点C到平面的距离为，所以，
所以三棱锥的体积为．
[方法二]【最优解】：作出二面角的平面角
如图所示，作，垂足为点G．
作，垂足为点F，连结，则．
因为平面，所以平面，
为二面角的平面角．
因为，所以．
由已知得，故．
又，所以．
因为，
．
[方法三]：三面角公式
考虑三面角，记为，为，，
记二面角为．据题意，得．
对使用三面角的余弦公式，可得，
化简可得．①
使用三面角的正弦公式，可得，化简可得．②
将①②两式平方后相加，可得，
由此得，从而可得．
如图可知，即有，
根据三角形相似知，点G为的三等分点，即可得，
结合的正切值，
可得从而可得三棱锥的体积为．
【整体点评】(2)方法一：建立空间直角坐标系是解析几何中常用的方法，是此类题的通性通法，其好处在于将几何问题代数化，适合于复杂图形的处理；
方法二：找到二面角的平面角是立体几何的基本功，在找出二面角的同时可以对几何体的几何特征有更加深刻的认识，该法为本题的最优解.
方法三：三面角公式是一个优美的公式，在很多题目的解析中灵活使用三面角公式可以使得问题更加简单、直观、迅速.
20. 已知抛物线，其中，过B的直线l交抛物线C于M，N两点．
（1）当直线l垂直于x轴，且为直角三角形，求实数m的值；
（2）若四边形是平行四边形，当点P在直线l上时，求实数m，使得．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量垂直，即可利用坐标运算求解，
（2）根据平行得斜率关系，进而联立方程得韦达定理，结合向量垂直由坐标运算即可求解.
【小问1详解】
由题意，代入中，解得，
不妨取，
则，
为直角三角形,故只能是为直角，
即，
故或1，易知不合题意，舍去，故．
【小问2详解】
由题意四边形为平行四边形，则，
设直线，
联立得，
由题意，判别式，
，
要使，则，
又，
即，
化简，得，
即，代入得故．
故时，有．
21. 已知抛物线的焦点为坐标原点，是抛物线C上异于O的两点.
（1）求抛物线C方程；
（2）若直线的斜率之积为，求证：直线过定点，并求出定点坐标.
【答案】（1），（2）证明见解析，定点
【解析】
【分析】
（1）利用抛扔线的焦点坐标，求出，然后求抛物线的方程；
（2）通过直线的斜率是否存在，设出直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理以及斜率乘积关系，转化求解即可
【详解】解：（1）因为抛物线的焦点坐标为，
所以，得，
所以抛物线方程为，
（2）①当直线的斜率不存在时，设，
因为直线的斜率之积为，所以，化简得，
所以，此时直线的方程为，
②当直线的斜率存在时，设其方程为，，
由，得，则，
因为的斜率之积为，所以，
即，即可，
解得（舍去），或，
所以，即，所以，即，
综上所述，直线过轴上的一定点
【点睛】关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的方程的求法，解题的关键是将直线方程与抛物线方程联立方程组可得，再利用根与系数的关系可得，再结合直线的斜率之积为，可得到的关系，从而可得答案，考查计算能力，属于中档题
22. 已知椭圆方程E：左焦点为F，直线（）与椭圆E相交于A，B，点A在第一象限，直线与椭圆E的另一点交点为C，且点C关于原点O的对称点为D．
（1）设直线，的斜率分别为，，证明：为常数；
（2）求面积的最大值．
【答案】（1）证明见解析
（2）3
【解析】
【分析】（1）设出，，则，表达出，，由点差法得到证明；
（2）三角形面积等于三角形的面积2倍，设直线方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，求出，换元后，结合对勾函数性质求出最值，得到答案.
【小问1详解】
由题意知，，若，此时直线的斜率不存在，不合要求，舍去，
设，，，此时，
则，，，
又①，②，
式子①－②得，
所以；
【小问2详解】
由题意可知，三角形面积等于三角形的面积2倍，
椭圆左焦点F为，可设直线方程为，
联立方程组，
即，
故，，
所以三角形的面积为
，
令，，
由对勾函数性质可得在单调递增，
故，当且仅当取得最小值成立，
所以，当且仅当，即时成立，
三角形的面积的最大值为，
所以面积的最大值为3.
【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．上高县2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷
单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1. 若在区间上单调递增，则实数a的最大值为（ ）
A. B. C. D. π
2. 加工某种产品需要5道工序，分别为A，B，C，D，E，其中工序A，B必须相邻，工序C，D不能相邻，那么有（ ）种加工方法．
A. 24 B. 32 C. 48 D. 64
3. 某校安排5名同学去A，B，C，D四个爱国主义教育基地学习，每人去一个基地，每个基地至少安排一人，则甲同学被安排到A基地的排法总数为（ ）
A. 24 B. 36 C. 60 D. 240
4. 的展开式中，含的系数为（ ）
A. 51 B. 8 C. 9 D. 10
5. 的展开式中的常数项为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知抛物线的焦点在直线上,则此抛物线的标准方程是（ ）
A. B.
C. 或 D. 或
7. 已知直线是圆在点处的切线，则直线的方程为（ ）
A. B. C. D.
8. 双曲线与椭圆焦点相同且离心率是椭圆离心率的倍，则双曲线的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
9. 己知直线，，则（ ）
A. 恒过点 B. 若，则
C. 若，则 D. 当时，不经过第三象限
10 已知圆，则下列说法正确的是（ ）
A. 圆的半径为
B. 圆截轴所得的弦长为
C. 圆上的点到直线的最小距离为
D. 圆与圆相离
11. 已知抛物线的焦点为F，直线与抛物线C交于M，N两点，且，，则的取值可以为（ ）
A. B. C. 2 D. 3
12. 已知双曲线）的左，右两个顶点分别是，左、右两个焦点分别是，是双曲线上异于的一点，给出下列结论，其中正确的是（ ）
A. 存在点，使
B. 存在点，使得直线的斜率的绝对值之和
C. 使得应为等腰三角形的点有且仅有四个
D. 若，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若，则x的可能的值是___________.
14. 已知是双曲线的左、右焦点，双曲线上一点P满足，则△的面积是________．
15. 双曲线C：(，)的焦点为、，P在双曲线右支上，且，为C的渐近线方程，若的面积为，则双曲线C的焦距长为______．
16. 设抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，过的中点作轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点，若，则直线的方程为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.
17. 已知直线l过点A（﹣3，1），且与直线4x﹣3y+t＝0垂直．
（1）求直线l的一般式方程；
（2）若直线l与圆C：x2+y2＝m相交于点P，Q，且|PQ|＝8，求圆C的方程．
18. （1）已知点在圆上运动，定点，点为线段的中点，求点的轨迹方程；
（2）已知两定点，动点满足，求点的轨迹方程.
19. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.
（1）证明：；
（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.
20. 已知抛物线，其中，过B的直线l交抛物线C于M，N两点．
（1）当直线l垂直于x轴，且为直角三角形，求实数m的值；
（2）若四边形是平行四边形，当点P在直线l上时，求实数m，使得．
21. 已知抛物线的焦点为坐标原点，是抛物线C上异于O的两点.
（1）求抛物线C方程；
（2）若直线的斜率之积为，求证：直线过定点，并求出定点坐标.
22. 已知椭圆方程E：左焦点为F，直线（）与椭圆E相交于A，B，点A在第一象限，直线与椭圆E的另一点交点为C，且点C关于原点O的对称点为D．
（1）设直线，的斜率分别为，，证明：为常数；
（2）求面积的最大值．
