福建省南平市2023-2024学年高一上学期期末质量检测数学试题（含答案）

南平市2023-2024学年高一上学期期末质量检测
数学试题
（考试时间：120分钟满分：150分 考试形式：闭卷）
注意事项：
1．答卷前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名、班级和座号。考生要认真核对答题卡上粘贴条形码的“准考证号、姓名”。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
第I卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列Venn图能正确表示集合和关系的是（ ）
A． B．
C． D．
2．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
3．命题“”的否定为（ ）
A． B．
C． D．
4．设，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．函数的部分图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
6．不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
7．若函数在恰好有3个零点，则正实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列各式中，值为1的是（ ）
A． B．
C． D．
10．若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于点对称
B．在上单调递减
C．若，则
D．为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点向右平移个单位长度
12．若函数为奇函数，则（ ）
A．
B．函数的值域为
C．，且，有
D．，“”是“”的充分不必要条件
第II卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，其中第16题第1空2分，第2空3分，共20分．
13．半径为2的圆中，的圆心角所对的弧的长度是______．
14．已知幂函数．若是奇函数，则的值为______．
15．如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形中较小的内角为，大正方形的面积为1，小正方形的面积是，则______．
15题
16．已知函数，用表示中的较小者，记为，则函数的最大值为______；若，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题共10分）
已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点．
（1）求的值；
（2）求的值．
18．（本小题共12分）
设函数．
（1）若，求不等式的解集；
（2）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围．
19．（本小题共12分）
已知函数．
（1）求函数的定义域，并判断函数的奇偶性；
（2）解关于的不等式．
20．（本小题共12分）
燕子每年都要进行秋去春来的南北大迁徙，已知某种燕子在飞行时的耗氧量与飞行速度（米/秒）之间满足关系：．
（1）当该燕子的耗氧量为1280时，它的飞行速度是多少？
（2）若该燕子飞行时的耗氧量增加到原来的3倍，则它的飞行速度大约增加多少？
（参考数据：）
21．（本小题共12分）
已知函数是偶函数．
（1）求实数的值；
（2）若函数的最大值为1，求实数的值；
（3）若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围．
22．（本小题共12分）
已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）若方程在区间上恰有三个实数根，且，求的取值范围．
南平市2023-2024学年高一上学期期末质量检测
数学参考答案及评分标准
说明：
1、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．
2、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3、只给整数分数． 选择题和填空题不给中间分
一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分．
1．B 2．C 3．B 4．A 5．B 6．D 7．C 8．D
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．AD 10．BD 11．BC 12．ACD
三、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分．
13． 14．3 15． 16．1，
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题满分10分）
解：（1）因为的终边过点，所以
所以．
（2）因为的终边过点，所以，
所以
.
18．（本题满分12分）
解：（1）当，，不等式即为，
解得或，
所以的解集为．
（2）因为所以不等式可化为，依题意对恒成立．所以
当时，，不符合要求；
当时，由一元二次函数性质，可知即
解得，
因此实数的取值范围是．
注：本题第（1）问中解出得2分，解出得2分
19．（本题满分12分）
解：（1）由得所以函数定义域为，
又，
所以，所以函数奇函数；
（2）因为
所以不等式可化为，
因为在是增函数，
所以原不等式等价于
解得，
故不等式的解集为．
20．（本题满分12分）
解：（1）依题意，有，即，.
又，
所以，所以，
解得，故该燕子的飞行速度是35（米/秒）．
设该燕子原来的耗氧量为，飞行速度为，则该燕子的耗氧量为，飞行速度记为，依题意，有
所以，
，.
，所以它的飞行速度大约增加8（米/秒）．
21. （本题满分12分）
解：（解法1）（1）因为是偶函数，所以，
即对任意恒成立，
所以，，，所以.
（2）由题意的最大值为1，
令，则的最大值为1，
①当，即时，时，， 所以；
②当，即时，时，，得（舍去）．
综上可知，实数．
（3）由（1）可得，
函数有且只有一个零点，即方程有且只有一个实数根．
由得，
即，，
又，且在单调递减，所以，
故.所以的取值范围是.
（解法2）（1）由
得，解得.
经检验符合题意.
（2）同解法1
（3）由（1）可得，
函数有且只有一个零点，即方程有且只有一个实数根．
令，则函数的图象与直线有且只有一个交点，
因为，
又在上单调递减，且，
所以，且在上单调递减，
所以的取值范围是.
22．（本题满分12分）
解：（1）依题意，
=
所以函数的最小正周期为．
（2）由得，令，则，
因为，所以，
依题意，在上有三个实根，且，，，
所以,
即，
又，
所以，
因为，所以，从而，
所以的取值范围是．