2024年中考数学总复习验收卷（四）（含解析）

2024年中考数学总复习验收卷（四）
数学试卷
考试范围：初中；考试时间：120分钟；满分：120分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1．已知与4互为相反数，则的倒数是（ ）
A．4 B． C． D．
2．下列汽车标志中，既是轴对称又是中心对称图形的是( )
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
4．笔筒中有10支型号、颜色完全相同的铅笔，将它们逐一标上1﹣10的号码，若从笔筒中任意抽出一支铅笔，则抽到编号是3的倍数的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转角度（）得到．若，则的值为（ ）
A．65° B．75° C．85° D．95°
6．如图，矩形中，，点E在边上运动，连接，将绕点A顺时针旋转得到，旋转角等于，连接．设，，则y关于x的函数图象大致为（ ）
A．B．C． D．
7．某乒乓球队12名队员年龄情况如下：
年龄 20 22 18 21 19
人数 3 2 1 2 4
则这12名队员年龄的众数、中位数分别是（ ）
A．3，4 B．4，3 C．19，20 D．20，19
8．如图是由8个大小相同的小立方体搭成的几何体从正面和上面看到的形状图，则这个几何体从左面看到的形状图是（ ）
A． B． C． D．
9．在“双减”政策下，王老师把班级里43名学生分成若干小组，每组只能是4人或5人，则分组方案有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
10．如图，抛物线与x轴正半轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C．若点．①；②；③；④若，则；⑤若抛物线的对称轴是直线，为任意实数，则；则上述结论中，正确的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二、填空题（每小题3分，满分21分）
11．纳米（nm）是长度单位，1纳米=10-9米，一根头发的直径约为0.048毫米，0.048毫米=_________纳米（用科学记数法表示）
12．函数的自变量的取值范围是______．
13．如图，已知，，点、、、在一条直线上，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是___________．
14．若关于的分式方程无解，则的值为 __．
15．在平行四边形ABCD中，AD＝10cm，AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，且EF＝4cm，则AB＝______cm．
16．如图，直线AB交双曲线于A、B两点，交x轴于点C，且B恰为线段AC的中点，连结OA．若，则k的值为___________.
17．如图，，点是平分线上一点，，作，，垂足分别为点，，以为边作等边三角形；作，，垂足分别为点，，以为边作等边三角形；作，，垂足分别为点，，以为边作等边三角形；…按这样的方法继续下去，则的面积为______（用含正整数n的代数式表示）．
三、解答题（共7道大题，共69分）
18．（本题共2个小题，第（1）题6分，第（2）题4分，共10分）
(1)
（2）因式分解：
19．（本题满分5分）解方程：
20．（本题满分8分）为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，绘制了如图所示的两幅尚不完整的统计图．（其中A表示“”；B表示“”；C表示“”；D表示“”）．
请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
(1)本次调查一共随机抽取了______名学生的成绩，扇形统计图中______．
(2)请补全条形统计图．
(3)在一次交流活动中，老师决定从成绩为B的4名学生中随机选取2名学生来进行采访，已知这4名学生中只有1名男同学，请用画树状图或列表的方法求选取到2名同学中刚好有这位男同学的概率．
21．（本题满分10分）如图，C、D两点在以为直径的半圆上，平分，连接交于点E．
(1)求证：．
(2)若，，连结，求的长．
22．（本题满分10分）甲、乙两人参加从地到地的长跑比赛，两人在比赛时所跑的路程（米）与时间（分钟）之间的函数关系如图所示，请你根据图象，回答下列问题：
(1)______先到达终点（填“甲”或“乙”）；
(2)根据图象，求出甲的函数表达式；
(3)求何时甲乙相遇？
(4)根据图象，直接写出何时甲与乙相距250米．
综合与实践（本题满分12分）
( 定义：长宽比为 ∶1（n为正整数）的矩形称为矩形．下面，我们通过折叠的方式折出一个矩形，如图a所示．
操作1：将正方形ABEF沿过点A的直线折叠，使折叠后的点B落在对角线AE上的点G处，折痕为AH．
操作2：将FE沿过点G的直线折叠，使点F、点E分别落在边AF，BE上，折痕为CD．则四边形ABCD为矩形．
(1)证明：四边形ABCD为矩形；
(2)点M是边AB上一动点．
①如图b，O是对角线AC的中点，若点N在边BC上，OM⊥ON，连接MN．求ON：OM的值；
②若AM＝AD，点N在边BC上，当△DMN的周长最小时，求NB：CN的值；
③连接CM，作BR⊥CM，垂足为R．若AB＝2，则DR的最小值＝
24．综合与探究（本题满分14分）
已知抛物线经过点和点，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．
(1)抛物线的解析式为___________，抛物线的顶点坐标为___________．
(2)如图1，是否存在点P，使四边形的面积为9？若存在，请求出点Р的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，连接交于点，当时，请直接写出点D的坐标；
(4)如图3，点E的坐标为，点C为x轴负半轴上的一点，，连接PE，若，请求出点Р的坐标．
参考答案：
1．D
【分析】根据相反数的含义先求解a，再求解a的倒数即可．
【详解】解：∵与4互为相反数，
∴，
∴的倒数是，
故选D．
【点睛】本题考查的是相反数，倒数的含义，能够正确的求解一个数的相反数与倒数是解本题的关键．
2．D
【分析】根据轴对称、中心对称图形的概念对各选项分析判断后求解．
【详解】解：A．是轴对称，不是中心对称图形，故选项不合题意；
B．不是轴对称，是中心对称图形，故选项不合题意；
C．不是轴对称，也不是中心对称图形，故选项不合题意；
D．是轴对称，也是中心对称图形，故选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称、中心对称图形，解题的关键是掌握中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合．
3．D
【分析】根据，，，即可．
【详解】解：A、，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，不符合题意；
D、，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了幂和整式的运算，解题的关键是熟练掌握，，．
4．C
【详解】【分析】由标有1﹣10的号码的10支铅笔中，标号为3的倍数的有3、6、9这3种情况，利用概率公式计算可得．
【详解】∵在标有1﹣10的号码的10支铅笔中，
标号为3的倍数的有3、6、9这3种情况，
∴抽到编号是3的倍数的概率是，
故选C．
【点睛】本题考查了简单的概率计算，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
5．B
【分析】由三角形内角和定理可得，根据旋转的性质得出，利用平行线的性质即可得出，即为旋转角．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∵将绕点A逆时针旋转角度（）得到，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴旋转角的度数是，
故选：B．
【点睛】本题主要考查平行线的性质及旋转的性质，三角形内角和定理，理解题意，找准各角之间的数量关系是解题关键．
6．A
【分析】勾股定理求出，作于M，证明，得到，由此求出，然后根据勾股定理即可得结论．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
作于M，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，图象对称轴为y轴，开口向上，
当点E与点C重合时，，
∴y关于x的函数图象大致为A，
故选：A．
【点睛】此题考查了动点问题的函数图象，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的图象和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
7．C
【分析】根据众数定义、中位数的定义及计算方法直接求解即可得到答案．
【详解】解：由年龄统计表可知，这12名队员年龄的众数为；
按照年龄从小到大的顺序可知，18岁1人，19岁4人，20岁3人，因此中位数为；
故选：C．
【点睛】本题考查众数及中位数的定义及计算方法，熟记相关定义并正确分析数据是解决问题的关键．
8．B
【分析】利用俯视图，在相应位置上摆不同的小立方体的个数，使其满足主视图，然后再画出左视图，做出选择．
【详解】解：用从上面看的图形，数字表示该位置上小立方体的个数如下（后面的数量没有8个舍去）
可得左视图为．
故选：B．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，简单几何体的三视图，把握“长对正，宽相等，高平齐”，利用好俯视图，在相应的位置上摆个数不同的小立方体是常用的方法．
9．A
【分析】设可以分成x组4人组，y组5人组，根据各组的人数之和为43人，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为自然数，即可得出共有2种分组方案．
【详解】解：设可以分成x组4人组，y组5人组，
依题意得：，
∴．
又∵x，y均为自然数，
∴或，
∴共有2种分组方案．
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
10．B
【分析】根据函数的开口，判断a的符号，根据对称轴，判断b的符号，根据于y轴交点，判断c的符号，即可判断①；把点代入得，整理得到，即可判断②；根据该函数图象与x轴的交点个数，即可判断③；根据可得，则当时，，把和分别代入，消去a，即可判断④；根据函数开口向下，对称轴为直线，可知函数的最大值为对应的函数值，则当时，函数值不大于对应的函数值，即可判断⑤．
【详解】解：∵函数开口向下，
∴，
∵函数对称在在y轴左侧，
∴，则，
∵函数图象与y轴相交于负半轴，
∴，
∴，故①正确；
把点代入得：
，
∴，则，
∵，
∴，故②正确；
∵该函数图象与x轴有2个交点，
∴，故③不正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴当时，，
把代入得：，即
∵，
∴，整理得：，
∵，
∴，故④正确；
把代入得：，
∵抛物线的对称轴是直线，函数图象开口向下，
∴该函数的顶点坐标为：，即该函数最大值为，
当时，，
∴，
整理得：，即，故⑤正确；
综上：正确的有①②④⑤，共4个；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和系数的关系．
11．4.8
【分析】先把毫米换算成米，再根据1纳米=10-9米得出1米=109纳米，利用同底数幂的乘法运算，结合科学记数法的表示方法即可求解．
【详解】解：0.048毫米=0.048×米=4.8××米=4.8米，
∵1纳米=10-9米，
∴1米=109纳米，
∴0.048毫米=4.8米=4.8×109纳米=4.8纳米．
故答案为：4.8．
【点睛】本题考查用科学记数法，长度单位的换算，同底数幂的乘法运算，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题关键．
12．且
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
【详解】解：根据题意得：，
解得：且．
故答案为：且．
【点睛】本题考查了函数自变量的范围的求法，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
13．（答案不唯一）
【分析】要判定，已知，，则，具备了一组角和一组边对应相等，故可以添加，利用可证全等．
【详解】解：增加一个条件：，
∵，
∴．
∵，
∴，即，
∴，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定；判定方法有、、、等，在选择时要结合其它已知在图形上的位置进行选取．
14．10或或3
【分析】分式方程无解的情况有两种：（1）原方程存在增根；（2）原方程约去分母后，整式方程无解．
【详解】解：（1）为原方程的增根，
此时有，即，
解得；
（2）为原方程的增根，
此时有，即，
解得．
（3）方程两边都乘，
得，
化简得：．
当时，整式方程无解．
综上所述，当或或时，原方程无解．
故答案为：10或或3．
【点睛】本题考查的是分式方程的解，解答此类题目既要考虑分式方程有增根的情形，又要考虑整式方程无解的情形．
15．7或3
【分析】根据平行线的性质得到∠ADF=∠DFC，由DF平分∠ADC，得到∠ADF=∠CDF，等量代换得到∠DFC=∠FDC，根据等腰三角形的判定得到CF=CD，同理BE=AB，根据已知条件得到四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AB=CD，AD=BC，即可得到结论．
【详解】①如图1，
在 ABCD中，∵ADBC，
∴∠ADF=∠DFC，
∵DF平分∠ADC，
∴∠ADF=∠CDF，
∴∠DFC=∠FDC，
∴CF=CD，
同理BE=AB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，
∴AB=BE=CF=CD，
∵BC=BE+CF-EF=10cm，
∴BE=CF=7cm，即AB=7cm．
②如图2，
在 ABCD中，∵ADBC，
∴∠ADF=∠DFC，
∵DF平分∠ADC，
∴∠ADF=∠CDF，
∴∠DFC=∠FDC，
∴CF=CD，
同理BE=AB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，
∴AB=BE=CF=CD，
∵BC=BE+CF+EF=10cm，
∴BE=CF=3cm，即AB=3cm；
综上所述：AB的长为7cm或3cm．
故答案为：7或3．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行四边形的性质，解答本题的关键是判断出BA=BE=CF=CD．
16．
【分析】设A点坐标为（a，），C点坐标为（b，0），根据线段中点坐标公式得到B点坐标为（，），利用反比例函数图象上点的坐标特征得到 k，得到b=3a，
然后根据三角形面积公式得到b ，于是可计算出k的值．
【详解】设A点坐标为（a，），C点坐标为（b，0）．
∵B恰为线段AC的中点，∴B点坐标为（，）．
∵B点在反比例函数图象上，∴ k，∴b=3a．
∵S△OAC=，∴b ，∴ 3a ，∴k=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数解析式．
17．
【分析】设A1B1，A2B2，A3B3与角平分线的交点为C1，C2，C3，根据等边三角形的判定和性质求得OC1，可得△A1B1O1面积，由△A1B1O1∽△A2B2C2，求得相似比OA1∶OA2，可得面积比；同理可得△A3B3C3面积，…，△AnBnOn面积；
【详解】解：如图，设A1B1，A2B2，A3B3与角平分线的交点为C1，C2，C3，
∵∠O1OA1=∠O1OB1=30°，O1A1⊥OA，O1B1⊥OB，OO1=2，
∴OA1=OB1=OO1cos30°=，
∠AOB=60°，则△OA1B1是等边三角形，
∵OO3平分∠AOB，
∴OO1⊥A1B1，OC1=OA1cos30°=，
∴O1C1=2-=，
∴△A1B1O1面积=A1B1 O1C1=，
△O2A1B1是等边三角形，O2A1=A1B1=OA1=，O2O⊥A1B1，则O2C1=O2A1 cos30°=，
∴O2O= OC1+ O2C1=3，
∴OA2=OO2 cos30°=，
△A1B1O1中，∠O1A1B1=∠O1A1O-∠B1A1O=30°，∠O1B1A1=∠O1B1O-∠A1B1O=30°，
OA2=OB2=OO2cos30°，∠AOB=60°，则△OA2B2是等边三角形，
△A2B2O2中，∠O2A2B2=∠O2A2O-∠B2A2O=30°，∠O2B2A2=∠O2B2O-∠A2B2O=30°，
∴△A1B1O1∽△A2B2O2，
相似比为A1B1∶A2B2= OA1∶OA2=∶=2∶3，
∴△A1B1O1和△A2B2C2面积比为4∶9，
△A2B2C2面积=×，
同理可得△A2B2O2和△A3B3C3面积比为4∶9，
△A3B3C3面积=△A2B2C2面积=×，
…，
△AnBnOn面积=×=，
故答案为：；
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识；掌握相似三角形的性质是解题关键．
18．(1)；
(2)．
【详解】（1）解：
；
(2)解：
19．，．
【详解】解：
或
，．
20．(1)60；25
(2)详见解析
(3)
【分析】（1）由C组的人数除以所占百分比得出本次调查一共随机抽取的学生人数，用A组人数除以本次调查一共随机抽取的学生人数即可得到m的值；
（2）求出D组的人数，补全学生成绩人数条形统计图即可；
（3）画树状图，共有12种等可能结果，其中刚好有这位男同学的结果数为6，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：一共随机抽取的学生人数：（名）
；
（2）解：（名），
补全条形统计图如下．
（3）解：设成绩为B的四名学生分别用女1、女2、女3、男表示，画出的树状图如下：
共有12种等可能结果，其中刚好有这位男同学的结果数为6，
∴选取到两名同学中，刚好有这位男同学的概率为．
【点睛】本题考查了用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识，解题的关键是明确条形统计图和扇形统计图求总人数的方法，画树状图要不重复不遗漏的列出所有可能的结果．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据角平分线的定义得出，根据等腰三角形的性质得出，求出，再根据平行线的判定得出即可；
（2）根据圆周角定理得出，根据平行线的性质得出，根据勾股定理求出，根据三角形的中位线求出，求出，根据相似求出，再根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出即可．
【详解】（1）证明：平分，
，
，
，
，
；
（2）解：设交于，
是的直径，
，
，
，
由勾股定理得：，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，则，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的中位线，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，能求出长和是解此题的关键，综合性比较强．
22．(1)乙
(2)甲的表达式为：
(3)甲乙在12分钟时相遇
(4)5分钟或11分钟或13分钟或19分钟时甲乙相距250米
【分析】（1）依据函数图象可得到两人跑完全程所用的时间，从而可知道谁先到达终点；
（2）甲的函数图象是正比例函数，直线经过点，可求出解析式；
（3）当时，甲乙两人相遇，求得乙的路程与时间的函数关系式，再求得两个函数图象的交点坐标即可；
（4）根据题意列方程解答即可．
【详解】（1）解：由函数图象可以：甲跑完全程需要20分钟，乙跑完全程需要16分钟，所以乙先到达终点，
故答案为：乙；
（2）解：设甲跑的路程（米）与时间（分钟）之间的函数关系式为：，经过点，
，解得：，
甲的函数解析式为：；
（3）解：设甲乙相遇后（即），乙跑的路程（米）与时间（分钟）之间的函数关系式为：，经过点，，联立方程可得：
，解得，
乙的函数解析式为：，
再联立方程：，解得，
甲乙在12分钟时相遇；
（4）解：设此时起跑了分钟，
根据题意得，或或或，
解得：或或或，
5分钟或11分钟或13分钟或19分钟时甲乙相距250米．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，求得甲乙两人的路程与时间的函数关系式是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)①；②；③2
【分析】（1）设正方形的边长为，先根据折叠的性质证四边形是矩形，再根据是等腰直角三角形得出和的比例关系，即可得证结论；
（2）①作，，垂足分别为，，证，根据线段比例关系得出即可得出结论；
②作点关于直线的对称点，连接交于点，连接，此时周长最小，根据平行线分线段成比例求出此时线段的比值即可；
③根据题意得出点在以为直径的圆上，根据勾股定理求出的最小值即可．
【详解】（1）证明：设正方形的边长为，
是正方形的对角线，
，
由折叠的性质可知，
，
四边形的矩形，
是等腰直角三角形，
，
，
四边形是矩形；
（2）解：①如图，作，，垂足分别为，，
四边形是矩形，，
四边形是矩形，
，，，
，，
为的中点，
，，
，
，
，
，
；
②作点关于直线的对称点，连接交于点，连接，
此时最小等于，
则此时的周长最小，
，
，
设，则，
，
；
即
③四边形是矩形，，
，
，
点在以为直径的圆上，即的中点为，
，
最小，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查四边形的综合知识，解题的关键是熟练掌握矩形的性质，明确矩形的定义及掌握平行线分线段成比例、相似三角形的判定和性质等知识．
24．(1)；；
(2)不存在满足条件的点
(3)
(4)，
【分析】（1）设函数的表达式为：，即可求解；
（2）利用，即可求解；
（3），则，即可求解；
（4），，则，故，即可求解．
【详解】（1）解：设函数的表达式为：，
即：，
解得：．
故抛物线的表达式为：．
顶点坐标为；
故答案是：；；
（2）不存在，理由：
如答图1，连接，过点作轴的平行线交于点，
由题意得：，
∴直线的表达式为：，
设点，点，
则，
整理得：，
解得：，故方程无解，
则不存在满足条件的点；
（3）∵，
，
过作于，
，
，
∴
∴
∴点；
（4）如答图2，设直线交轴于点，
，，
，
，
则直线的表达式为：，
联立方程，得
解得：（舍去正值），
故点，．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、一元二次方程应用、图形的面积计算，掌握函数图像上点的坐标特征，待定系数法是关键．