10.1随机事件与概率 同步练习（含解析）

10.1随机事件与概率同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如果，是互斥事件，下列选项正确的是（ ）
A．事件与不互斥 B．
C．与互斥 D．
2．如图所示茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为（ ）

A． B． C． D．
3．2023年9月第14届中国国际园林博览会在安徽合肥举行．某媒体甲、乙、丙三名记者去河南园、北京园、香港园进行现场报道，若每个地方恰有一名记者，则甲去河南园的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，由A，B两盏正常的小灯泡组成并联电路，当闭合开关时，下列事件为必然事件的是（ ）
A．A灯亮，B灯不亮 B．A灯不亮，B灯亮
C．A，B两盏灯均亮 D．A，B两盏灯均不亮
5．2023年9月28日，沪宁沿江高速铁路开通运营，形成上海至南京间的第二条城际高速铁路，沪宁沿江高速铁路共设8座车站（如图）.为体验高铁速度，游览各地风光，甲乙两人准备同时从南京南站出发，甲随机选择金坛 武进 江阴 张家港中的一站下车，乙随机选择金坛 武进 江阴 张家港 常熟中的一站下车.已知两人不在同一站下车，则甲比乙晚下车的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．安徽省新高考拟采用“”模式，其中“3”指的是语文、数学、英语三科必选科目，“1”指的是从物理或历史两科中选一科，即“首选科目”，“2”指的是从化学、生物、思想政治、地理四科中选两科，即“再选科目”.已知某工业大学工程类招生选科要求首选科目为物理，再选科目为化学、生物中至少有1科.从所有选科组合中任意选取1个，则选科组合符合该工业大学工程类招生选科要求的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．同时抛掷两颗骰子，观察向上的点数，记“点数之和为5”是事件，“点数之和为4的倍数”是事件，则（ ）
A．为不可能事件 B．与为互斥事件
C．为必然事件 D．与为对立事件
8．掷一个骰子，观察朝上的面的点数，设事件“点数为偶数”，事件“点数为3的倍数”，则（ ）
A． B．
C．与是互斥事件 D．与互为对立事件
二、多选题
9．中国四大名楼是一种泛称，特指山西永济鹳雀楼、江西南昌滕王阁、湖北武汉黄鹤楼、湖南岳阳岳阳楼．记事件“只去黄鹤楼”，事件“至少去两个名楼”，事件“只去一个名楼”，事件“一个名楼也不去”，事件“至多去一个名楼”，则下列命题正确的是（ ）
A．E与H是互斥事件 B．F与I是互斥事件，且是对立事件
C． D．
10．某电商平台对去年春节期间消费的前1000名网购者，按性别等比例分层抽样100名，并对其性别（（男）、（女））及消费金额（（消费金额>400），B（200<消费金额≤400），（0<消费金额≤200）进行调查分析，得到如人数统计表，则下列选项正确的是（ ）
18 20 14
17 24 7
A．这1000名网购者中女性有490人 B．
C． D．
11．为了研究某种作物在特定温度下（要求最高气温满足：）的生长状况，某农学家需要在10月份去某地进行为期10天的连续观察试验．现有关于该地区近十年10月份日平均最高气温和日平均最低气温（单位：）的记录如下：

根据上述记录，下列说法正确的有（ ）
A．农学家观察试验的起始日期为10月7日或10月8日
B．设该地区今年10月上旬（10月1日至10月10日）的最高气温的方差和最低气温的方差分别为，，则
C．设该地区今年10月上旬（10月1日至10月10日）的最高气温的方差和最低气温的方差分别为，，则
D．从10月份的31天中随机选择连续3天，则所选3天中日平均最高气温值都在的概率为
12．同时掷红、蓝两枚质地均匀的正四面体骰子，骰子的面上标有1、2、3、4，记录骰子朝下的面上的点数，事件表示“两枚骰子的点数之和为”，事件表示“红色骰子的点数是偶数”，事件表示“两枚骰子的点数相同”，事件表示“至少一枚骰子的点数是偶数”．则下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．一个不透明口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，现随机取一个小球然后放回，再随机取出一个小球，则第一次取出的小球标号大于第二次取出的小球标号的概率为 ．
14．设样本空间含有等可能的样本点，且，则 ．
15．九宫格的起源可以追溯到远古神话中的洛书，洛书上的图案正好对应着从1到9九个数字，并且纵向、横向、斜向三条线上的三个数字的和（这个和叫做幻和）都等于15，即现代数学中的三阶幻方.根据洛书记载：“以五居中，五方皆为阳数，四隅为阴数”，其意思为：九宫格中5位于居中位置，四个顶角为偶数，其余位置为奇数.如图所示，若随机填写一组幻和等于15的九宫格数据，记事件”，则的值为 .
5
16．现有编号为1，2，3，…，的n个相同的袋子，每个袋中均装有n个形状和大小都相同的小球，且编号为的袋中有k个红球，个白球. 当n=5时，从编号为3的袋中无放回依次摸出两个球，则摸到的两个球都是红球的概率为 ；现随机从个袋子中任选一个，再从袋中无放回依次摸出三个球，若第三次取出的球为白球的概率为，则n的值为 .
四、解答题
17．从某学校800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第六组的人数为4．
(1)求第七组的频率；
(2)估计该校800名男生身高的中位数；
(3)从样本身高属于第六组和第八组的男生中随机抽取两名，若他们的身高分别为x，y，记为事件E，求．
18．1981年，在大连召开的第一届全国数学普及工作会议上，确定将数学竞赛作为中国数学会及各省、市、自治区数学会的一项经常性工作，每年9月第二个星期日举行“全国高中数学联合竞赛”，竞赛分为一试（满分120分）和二试（满分180分），在这项竞赛中取得优异成绩的学生有资格参加由中国数学会奥林匹克委员会主办的“中国数学奥林匹克暨全国中学生数学冬令营”，已知2023年某地区有50名学生参加全国高中数学联赛，其取得的一试成绩绘制成如图所示的频率分布直方图．

(1)求实数的值并估计这50名学生一试成绩的70%分位数；
(2)若一试成绩在100分及以上的试卷需要主委会抽样进行二次审阅，评审员甲在这50名学生一试成绩中按照分层抽样的原则从和内抽取3份试卷进行审阅，已知同学的成绩是105分，同学的成绩是111分，求这两位同学的试卷同时被抽到的概率．
19．某科研机构研究成年牛蛙体内所含的维生素E和锌、硒等微量元素（这些元素可以延缓衰老，还能起到抗癌的效果）对人体的作用，研究人员专程到一大型牛蛙养殖场，从同一批大数量养殖的成年牛蛙中随机抽取了只作为科研样本．研究工作首先需对样本进行称重，现测得此批样本牛蛙的体重（单位：克）的分组频数分布表如下：
的分组
牛蛙只数
(1)请估计该养殖场养殖的这批成年牛蛙中体重不低于克的牛蛙数量所占比例；
(2)已知样本体重位于分组区间（单位：克）内的只牛蛙中，有只雌蛙和只雄蛙，从该组中任选只牛蛙进行研究试验，求选出的只牛蛙中至少有只雄蛙的概率是多少；
(3)求该养殖场养殖的这批成年牛蛙体重的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．（精确到，）
20．已知函数，其中且在上有且仅有2个零点，2个极值点．
(1)求的最小正周期；
(2)设集合且，已知△，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中，，现从集合A的所有元素中任取一值作为角A的值，求使得△存在的概率．
21．某校组织《反间谍法》知识竞赛，将所有学生的成绩（单位：分）按照，，…，分成七组，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求这次竞赛成绩平均数的估计值；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
(2)从竞赛成绩不低于85分的学生中用分层随机抽样的方法抽取12人，再从第六组和第七组被抽到的学生中任选2人做主题演讲，求至少有1名第七组的学生做主题演讲的概率.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．B
【分析】根据互斥事件的有关概念逐一判断即可.
【详解】对A：若，对立，则与也对立，所以与可以互斥，故A错误；
对B：因为，互斥，所以为不可能事件，故为必然事件，所以；
又，所以，故B正确；
对C：根据互斥事件的概念，，互斥，与一定不互斥，故C错误；
对D：只有，对立时，才有，故D错误.
故选：B
2．B
【分析】设乙在5次综合测评中的成绩中被污损数字为x，由题意求得甲乙两人的平均值或平均值表达式，列不等式求出x的范围，确定被污损数字，根据古典概型的概率公式，即可求得答案.
【详解】设乙在5次综合测评中的成绩中被污损数字为x，
则，
依题意得甲的平均值为，
甲的平均值为，
由题意可得，解得，
即甲的平均成绩不超过乙的平均成绩时被污损的数字可能为7、8、9，
故甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为，
故选：B
3．A
【分析】利用列举法，结合古典概型的概率公式即可得解.
【详解】记河南园、北京园、香港园分别为，
则样本空间(甲1，乙2，丙3)，(甲1，乙3，丙2)，(甲2，乙1，丙3)，
(甲2，乙3，丙1)，(甲3，乙2，丙1)，(甲3，乙1，丙2)}，共6个基本事件，
则甲去河南园的基本事件有2件，
所以甲去河南园的概率为.
故选：A.
4．C
【分析】根据并联电路的特点及必然事件的概念判断即可.
【详解】由A，B两盏正常的小灯泡组成并联电路，当闭合开关时，可知A，B两盏灯均亮.
故选：C.
5．D
【分析】根据题意，结合古典概型运算公式、列举法进行求解即可.
【详解】设金坛站 武进站 江阴站 张家港占、常熟站用，
甲、乙两人用字符对表示下车的站，
于是有以下情形：
共有16种情形，
其中甲比乙晚下车的情况是，共有6种情形，
所以甲比乙晚下车的概率为，
故选：D
6．C
【分析】写出样本空间，确定所求事件含有的样本点，然后由概率公式计算．
【详解】用，，，，，分别表示“选择物理”“选择历史”“选择化学”“选择生物”“选择思想政治”“选择地理”，
则所有选科组合的样本空间，
共有12个样本点，且每个样本点出现的可能性相同.
设事件表示“选科组合符合该工业大学工程类招生选科要求”，
则，共有5个样本点，
∴.
故选：C.
7．B
【分析】利用事件的基本关系判断即可.
【详解】同时抛掷两颗骰子，有36个结果，
“点数之和为5”是事件有共有4种情况；
“点数之和为4的倍数”是事件有共有9种情况；
对于选项A: 表示“点数之和为5或是4的倍数”， 不是不可能事件.故A错误；
对于选项B：A与B不可能同时发生．故B正确；
对于选项C：表示“点数之和为5且是4的倍数”，是不可能事件，故C错误；
对于选项D：与不能包含全部基本事件，故D错误.
故选:B．
8．A
【分析】根据事件的关系及古典概型概率公式可得结果.
【详解】掷骰子有点数为1，2，3，4，5，6六种结果，即，事件,
由古典概型的概率公式可得,,故A正确，B错误；
又，即事件A、B既不互斥也不对立.故CD错误；
故选：A.
9．ABC
【分析】根据互斥事件、对立事件的定义和事件间的运算即可得出答案.
【详解】对于A，事件E，H不可能同时发生，是互斥事件，故A正确；
对于B，事件F与I不可能同时发生，且发生的概率之和为1，是互斥事件，且为对立事件，故B正确；
事件“至多去一个名楼”刚好包含事件“只去一个名楼”与事件“一个名楼也不去”，所以，，故C正确，D错误
故选：ABC．
10．BC
【分析】根据样本表格来估计总体，计算各个不同积事件与和事件的概率即可.
【详解】对于，由表格可知，在样本中女性占比是，所以估计这名网购者中有480名女性，故错误；
对于，表格中可知共有35名，所以，故正确；
对于，包含的样本有17个，所以，故正确；
对于，包含个，故，故错误.
故选：BC
11．ACD
【分析】选项A，从图中可以看出，从7日到17日时，最高温度满足，因此选择起始日期为7日或8日，从而判断出选项A的正误；通过图，分别求出前10天的最高温度和最低温度的方差，即可判断出选项B和C的正误；对于选项D，随机选择连续三天，共有29种可能，满足题意的选择有10种可能，由古典概型概率公式可得结论，从而得出结果．
【详解】因为某种作物要求最高气温满足：，
由图可知，10月6日的平均最高气温为，从10月18日起的平均最高气温均低于，
所以农学家观察试验的起始日期为10月7日或10月8日，故选项A正确；
因为10月1日至10月10的最高气温分别为：，
其平均数为，
所以，
又10月1日至10月10的最低气温分别为：，
其平均数为，
所以，
故，所以选项B错误，选项C正确，
对于选项D，设“所选3天中日平均最高气温值都在”为事件，
易知，基本事件为，共个，
又由题图可以看出，事件中包含，，
，共10个，
所以，故选项D正确，
故选：ACD.
12．BCD
【分析】根据题意，列举法找到所有可能情况，由古典概型的概率计算公式分别计算.
【详解】设红骰子朝下的面上的点数为m，蓝骰子朝下的面上的点数为n，样本点为，
则样本空间为，则，
事件表示“两枚骰子的点数之和为”，
，
所以，故A错误；
事件表示“红色骰子的点数是偶数”，
所以，故B正确；
事件表示“两枚骰子的点数相同”，
，
所以，故C正确；
事件表示“至少一枚骰子的点数是偶数”,
，
所以，故D正确.
故选：BCD
13．
【分析】画出树状图,借助古典概型计算即可.
【详解】画出树状图:
由树状图可知：基本事件的总数共有16种，
其中第一次取出的小球标号大于第二次取出的小球标号有6种，
所以第一次取出的小球标号大于第二次取出的小球标号的概率为.
故答案为：.
14．2
【分析】根据概率公式求得后再计算可得．
【详解】由题意，，又，同理，
∴，
故答案为：2.
15．/
【分析】根据题意先求出满足题意的总情况有种，再求出满足有多少种，然后利用古典概率知识即可求解.
【详解】由题意九宫格的中间位置填，位置填偶数，位置填奇数，
因为每一横行，每一竖列以及两条对角线上三个数字之和都等于，
所以、位置填或，
先从中任意选出一个数填入位置，则有个结果，
若填，
则填，填，填，填，填，填，填；
或填，填，填，填，填，填，填；
共包含个结果；
所以总的结果个数为个
其中符合的情况有，，，，，共个，
所以.
故答案为：.
16． /0.3 10
【分析】利用古典概率进行求解，利用互斥事件概率加法公式解决即可.
【详解】当n=5时编号为3的袋中有3个红球，2个白球.则从编号为3的袋中无放回依次摸出两个球，摸到的两个球都是红球的概率为.
现随机从个袋子中任选一个，所以有n种选法；
假设袋子中有个红球，个白球，从袋中无放回依次摸出三个球，有种方法；
若第三次取出的球为白球有四种情况：红红白、红白白，白红白，白白白，取法数为
；
则若第三次取出的球为白球的概率为，
因为，
所以第三次取出的球为白球的概率为
，
解得=10.
故答案为：.
17．(1)0.06
(2)174.5cm
(3)
【分析】（1）由频率和（即小矩形的面积和）为，求得结果即可；
（2）频率分布直方图中的中位数两侧矩形的面积和（频率）各占；
（3）由古典概型的计算公式分别计算基本事件总数和事件E包含的基本事件个数，求解即可.
【详解】（1）第六组的频率为，
则第七组的频率为；
（2）由图知，身高在的频率为，
在的频率为，
在的频率为，
在的频率为，
由于，，
设这所学校的800名男生的身高中位数为m，则，
由，得，
所以这所学校800名男生身高的中位数为174.5cm；
（3）样本身高在第六组的人数为4，设为a，b，c，d，
在第八组的人数为，设为A，B，
则从中随机抽取两名男生有：，，，，，，，，，，，，，，共15种情况，
当且仅当随机抽取的两名男生在同一组时，事件E发生，所以事件E包含的基本事件为，，，，，，共7种情况，
所以．
18．(1)，70%分位数为91；
(2).
【分析】（1）根据频率分布直方图中各矩形面积之和为1，即可求得m的值；根据由频率分布直方图估计百分位数的方法即可求得这50名学生一试成绩的70%分位数；
（2）根据直方图确定和内的人数，由分层抽样原则可得各组抽取人数，列举出所有的可能的事件，根据古典概型的概率公式，即可求得答案.
【详解】（1）由上表可知，，解得，
设这50名学生一试成绩的70%分位数为，
由于前三个矩形面积，前四个矩形面积，
故得，，解得，
即这50名学生一试成绩的70%分位数约为91．
（2）由图知，成绩在有人，成绩在有人，
根据分层抽样的原则，成绩在抽2份，成绩在抽1份，
设，，，四位同学的成绩在，，两位同学的成绩在，
根据分层抽样的原则有，，，，，，，，，
，，共12个样本，符合条件的，，共3个样本，
所以符合条件的概率为，
即，两位同学的试卷都被抽到的概率为．
19．(1)
(2)
(3)平均数为克，标准差为克
【分析】（1）由表格中的数据计算范围内的频率；
（2）由古典概型的特征，通过列举基本事件计算概率；
（3）利用公式计算平均值和标准差.
【详解】（1）由频数分布表，知所抽取的只成年牛蛙的体重不低于克的牛蛙频率为，
用样本频率分布估计总体分布，得该养殖场养殖的这批成年牛蛙中体重不低于克的牛蛙数量所占比例为．
（2）记只雌蛙分别为，只雄蛙分别为，
从只牛蛙中任取只的所有结果分别为：，共有种，
其中至少有只雄蛙的结果分别为，共有种，
故所求概率为．
（3）依题意，得（克）．
，
则（克）．
答：该养殖场养殖的这批成年牛蛙体重的平均数与标准差的估计值分别为克，克．
20．(1)
(2)
【分析】（1）将函数式展开，降幂，运用辅助角公式化成正弦型函数，再根据题设条件确定取整计算即得；
（2）根据（1）中确定的函数解析式，利用集合中的规定求出集合，再由“边边角”的情形下能组成三角形的条件可确定角的个数，运用古典概型公式即得概率.
【详解】（1）由
，
设，因，则，如图：
由的图象可知，要使在上有且仅有2个零点，2个极值点，需使，
解得：，因，则，即，故其最小正周期为.
（2）由可得，解得：即（*）
由集合A可知，代入（*），化简得：，又且，
故可得：，则有.
因，，若角A的值可使△存在，需使，即，
而满足此条件的角有共6个，故使得△存在的概率为.
21．(1)
(2)
【分析】（1）利用频率之和为1，列式求解，利用平均数的计算公式求解即可；
（2）根据分层抽样确定第六组和第七组分别抽取的人数，利用古典概型的概率公式计算.
【详解】（1），解得，
这次竞赛成绩平均数的估计值为.
（2）不低于85分的三组频率之比为，用分层随机抽样的方法抽取12人，应从第六组和第七组分别抽取4人和2人，
设第六组的4人为，，，，第七组的2人为甲、乙，
于是从这6人中任选2人的所有情况为：甲乙，甲，甲，甲，甲，乙，乙，乙，乙，，，，，，，共15种，
其中甲、乙至少有1人被选中的有9种，
所以至少有1名第七组的学生做主题演讲的概率为.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页